第章实数集函数
§1实数
授课章节：第章实数集函数——§1实数
教学目：学生掌握实数基性质．
教学重点：
(1)理解熟练运实数序性稠密性封闭性
(2)牢记熟练运实数绝值关性质常见等式．（分析证重工具）
教学难点：实数集概念应．
教学方法：讲授．（部分容学）
教学程序：
引 言
节课中家探讨数学分析门课程研究象容等话题．节课开始基教材序家介绍门课程容．首先家较熟悉实数函数开始．
[问题]什实数开始．
答：数学分析研究基象函数里函数定义实数集（继课复变函数研究定义复数集函数）．先解实数关性质．
实数性质
1实数
．
[问题]理数理数表示统统讨实数利．讨需限数（包括整数）表示限数．作规定：
正限数中记正整数记负限数（包括负整数）先表示限数现数前加负号．0表示
0＝
例：
利述规定实数确定限数表示．规定较实数？
2两实数较
1）定义1定两非负实数 中非负整数整数．称相等记存非负整数称分记．负实数述规定分分称（）．
规定：非负实数负实数．
2） 实数较等价条件（通限数较）．
定义2（足似剩似）：非负实数称理数实数位足似称实数位剩似
负实数位足似位剩似
注：实数足似增时减 剩似n增时增．
命题：记两实数等价条件：存非负整数n（中位足似位剩似）．
命题应
例1．设实数证明存理数满足．
证明：知：存非负整数n．令r理数
．．
3实数常性质（详见附录Ⅱ．）．
1）封闭性（实数集）四运算封闭．意两实数差积商（数0）实数．
2）序性：关系三者必居居
3）传递性：．
4）阿基米德性：．
5）稠密性：两等实数间总实数．
6）应关系：实数集数轴点着应关系．
例2．设证明：正数．
（提示：反证法．利序性取）
二绝值等式
1绝值定义
实数绝值定义．
2意义
数轴数绝值点原点距离．表示数轴点间距离．
3性质
1）（非负性）
2）
3）
4）（三角等式）
5）
6）（）．
三重等式
1
2均值等式记
(算术均值)
(均值)
(调均值)
均值等式：
等号仅时成立
3Bernoulli等式(中学已数学纳法证明)
等式
时严格等式
证：
4利二项展开式等式二项展开式
式右端项
［练］P4．5
［课堂结］：实数：
[作业]P4．1．(1)2．(2)(3)3
§2数集确界原理
授课章节：第章实数集函数——§2数集确界原理
教学目：学生掌握确界原理建立起实数确界清晰概念
教学求：
(1)掌握邻域概念
(2)理解实数确界定义确界原理关命题证明中正确加运
教学重点：确界概念关性质（确界原理）
教学难点：确界定义应
教学方法：讲授
教学程序：先通练形式复节课容检验学效果导入新课
引 言
节课中数学分析研究关键问题作简讨家学第章§1实数相关容面先检验学效果
1证明：：(1)(2)
（）
（）
2证明：
3设证明：正数
4设证明：存理数满足
[引申]：①题1联想什样结呢？样思考做科研时常思路做完完想想否具体问题引出般结：般方法？②述题体会出学数学题中学理性强概念性强推理理非空想象③课未布置作业题做加深理解语言应提请注意种差快掌握门课程术语工具
节容：
1先定义实数集R中两类数集——区间邻域
2讨界集界集
3界集界引出确界定义确界存性定理（确界原理）
区间邻域
1 区间（表示变量变化范围）
设中
2邻域
联想：邻居字面意思：邻区域邻区域底类讲邻域呢？关称区间数学语言表达呢？
（1）邻域：设满足等式全体实数集合称点邻域记作简记
中
（2）点空心邻域
（3）右邻域点空心右邻域
（4）点左邻域点空心左邻域
（5）邻域邻域邻域
（中M充分正数）
二 界集界集
1 定义1（界）：设中数集存数切称S（）界数集数称S界（界）数集S界界称S界集
闭区间开区间限数）邻域等界数集
集合 界数集
数集S界集称S界集
等界数集
集合 界数集
注：1）（）界存唯
2）（）界S关系？例：
例1 讨数集界性
解：取显然界1
界假设界MM>0定义意取
综述知：界界数集界集
例2证明：（1）限区间界集（2）限区间界集（3）限数组成数集界集
[问题]：数集S界界唯？界呢？(答：唯 穷)
三 确界确界原理
1定义
定义2（确界） 设SR中数集数满足：(1) 切
（S界） (2) 存（S界中）称数数集S确界记作
定义中出：确界界中者
命题1 充条件
1）
2）
证明：必性反证法设2）成立界中矛盾
充分性（反证法）设确界界令2）界矛盾
定义3（确界）设SR中数集数满足：（1）切（S界）（2）存（S界中）称数数集S确界记作
定义中出：确界界中者
命题2 充条件：
1）
2）＞0＜
确界确界统称确界
例3（1） 1 0
（2） 1 0
注：非空界数集（）确界唯
命题3：设数集（）确界（）确界必唯
证明：设妨设
矛盾
例：
开区间闭区间相确界确界
例4设非空数集
例5设非空数集
证明：界界
例6非空数集试证明
证明：分界
数集界
界界界界理
综
1 数集确界关系确界定属原集合例3⑵例做解释
2 确界值关系设 数集
（1）值必属确界未必确界种界点
（2）非空界数集必确界(见面确界原理)未必值
（3）存必确界类似结
4 确界原理
Th11(确界原理)设非空数集界必确界界必确界
里接受说明 非空找整数界界然遍查找界界果找第二位数实数确界
证明：（书确界情况出证明面讲确界证明）妨设中元素非负数存非负整数
1）
2）存
区间10等分分点n1ｎ2．．．ｎ9 存
1）
2）存．
开区间10等分理存
1）
2）存
继续重复步骤知存
1）
2）存．
．证明．
（ⅰ）意
（ⅱ）存．
［作业］：P9 1（1）（2） 2 4（2）（4）７
§3函数概念
授课章节：第章实数集函数——§3 函数概念
教学目：学生深刻理解函数概念
教学求：
（１）深刻理解函数定义复合函数反函数初等函数定义熟悉函数种表示法
（２）牢记基初等函数定义性质图象会求初等函数存域会分析初等函数复合关系
教学重点：函数概念
教学难点：初等函数复合关系分析
教学方法：课堂讲授辅提问练部分容学
教学程序：
引 言
关函数概念中学数学中已初步解便学节作进步讨
函数定义
１．定义１ 设果存应法存唯数应称定义数集函数记作
数集称函数定义域应称点函数值记全体函数值集合称函数值域记作
２．点说明
（1）函数定义记号中表示法建立函数关系表示两数集中元素间应关系记作惯称变量变量
（2） 函数三素定义域应法值域应法定义域确定值域便然确定函数基素两：定义域应法函数常表示：
说两函数相指相定义域应法
例：1） （相应法相定义域）
2） （相应法表达形式）
（3）函数公式法（解析法）表示时函数定义域常取该运算式子意义变量全体通常称存域（然定义域）时函数记号中定义域省略写应法表示函数函数函数
（4）映射观点函数质映射称映射象称原象
（5）函数定义中唯值应样定义函数称单值函数值应值称种函数值函数书中讨单值函数（简称函数）
二 函数表示方法
1 方法：解析法（公式法）列表法（表格法）图象法（图示法）
2 特殊方法表示函数
1）分段函数：定义域部分公式表示
例 （符号函数）
（助sgnx表示）
2）语言叙述函数（注意函数分段函数）
例 １）（取整函数）
： [35]3 [3]3 [35]4
常
关函数（非负数函数）图形条锯画出图
２）狄利克雷（Dirichlet）函数
病态函数处法画出图形周期函数没周期事实理数周期
３）黎曼（Riemman）函数
三 函数四运算
定两函数记设定义差积运算：
中值令定义商运算
注：１）进行四运算
２）叙述方便函数差积商常分写：
四复合运算
１．引言
实际问题中函数变量变量通外变量建立起间应关系
例：质量m物体落速度v功率
抽该问题实际意义两函数代入
样函数程称函数复合函数称复合函数
[问题] 两函数复合？考虑例
复合结合例见复合前提条件函数值域外函数定义域交集空（引出面定义）
2．定义（复合函数） 设两函数通应唯值通应唯值确定定义函数变量变量记作简记称函数复合函数称外函数函数中间变量
3 例子
例 求 求定义域
例 ⑴
⑵
A B C D
例 讨函数函数否进行复合求复合函数
4 说明
１）复合函数函数相继复合成次复合验证否进行？数集进行？复合函数终定义域什？
例：复合成：
２）仅会复合更会分解函数分解成干简单函数分解时注意定义域变化
①
②
③
五反函数
１引言
函数中做变量做变量需指出变量变量位绝相例： 讲变量讲变量
惯说函数中变量变量基变化现时变化时仅研究变化状况研究变化状况引入反函数概念
２反函数概念
定义设R函数果
()称 11
称满
满 11 称11应
R11 意味着固定解11 意味着仅解
定义 设11应 唯确定 种应法确定函数称反函数记
反函数定义域值域恰原函数值域定义域
显然
(恒等变换）
(恒等变换)
0
x
y
方程角度函数反函数没什区作函数惯反函数记 样图形 图形关角线称
严格单调函数11应严格单调函数反函数
11 应函数（反函数）定严格单调面例子
反函数
实际求反函数问题分二步进行：
1 确定 定义域值域考虑 11应条件固定 解方程 出
2 惯变量变量互换
例 求 ：R R反函数
解 固定解 令 方程变
( 舍)
称反双曲正弦
定理 定函数定义域值域分记
存函数
分析：证两层结：反函数存证 11 应行二证
证 证反函数存证 11 应
定理条件
11 应
证
反函数定义 定理条件
例 存唯（）动点动点
证 存性设
动点唯性
存动点
唯性： 设
说明 动点唯性
映射观点函数
设函数满足：值域中值Ｄ中值应法定义函数称函数反函数记作
３注释
a) 函数反函数映射观点函数反函数意味着Ｄ间映射称映射逆映射
b) 函数互反函数
c) 反函数表示中变量变量惯做法做变量记号作变量记号函数反函数改写
应该注意样做表示函数定义域应法相仅变量记号已图形坐标系中画出时差
六 初等函数
1基初等函数（６类）
常量函数 （Ｃ常数）
幂函数
指数函数
数函数
三角函数
反三角函数
注：幂函数指数函数涉幂中学数学课程中理指数幂定义面助确界定义理指数幂便理指数幂起构成实指数幂保持理批数幂基性质
定义２．定实数设理数规定：
样解决中学数学仅理数ｘ定义缺陷．
[问题]：样定义意义否？更明确点相应确界否存呢？
２．初等函数
定义３．基初等函数限次四运算复合运算函数统称初等函数
：
初等函数函数称非初等函数Dirichlet函数Riemann函数取整函数等非初等函数
注：初等函数课程研究象基初等函数图象性质应熟练掌握外应常握确定初等函数定义域确定定义域时应注意两点
例２．求列函数定义域
（１） （２）
3初等函数特例 设函数初等函数
（1）初等函数
（2） 初等函数
（3）幂指函数 初等函数
［作业］ ： 34（２）（３） 5（２） 7（３）11
§4具某特性函数
授课章节：第章实数集函数——§4具某特性函数
教学目：熟悉初等函数性态关常见术语
教学目：深刻理解界函数单调函数定义理解奇偶函数周期函数定义
会求简单周期函数周期
教学重点：函数界性单调性
教学难点：周期函数周期计算验证
教学方法：界函数讲授余列出学题纲供学生学完成
教学程序：
引 言
节中介绍常类具某特性函数界函数单调函数奇偶函数周期函数中概念中学里已叙述里简单提界集定义类似先谈谈界函数界函数
界函数
1界函数界函数定义
定义1设定义D函数存数称D（）界函数称D（）界
注：（1）D（）界意味着值域（）界数集
（2）D（） 界Ｍ（Ｌ）数D（）界函数（）界存唯例：1界界－1易见－1数作界1数作界
（3）函数定（）界
（4）（1）界集定义类出界函数定义：
D界界集D界界D界函数D界函数
2界函数定义
定义2设定义D函数存正数Ｍ称D界函数
注：（1）意义：D界函数图象完全落间
（2）D界D界界例子：
（3）关函数D界界界定义
3 例题
例1 证明界充条件：
证明 果界定义>0取
反果令界
例2．证明 界函数
例3．设D界函数证明：（1）
（2）
例4验证函数 界
解法 时
总 界
解法二 令 关二次方程 实数根
解法三 令 应
二单调函数
定义3设定义D函数 （1）称D增函数称D严格增函数（2）称D减函数称D严格减函数
例5．证明：严格增函数
证明：设
证
例6．讨函数单调性
时函数严格增函数
注：1）单调性讨区间关定义域某部分单调单调会求出定函数单调区间
2）严格单调函数意义：图象交点行轴部分更准确讲：严格单调函数图象行轴直线交点特征保证必反函数
总结面结：
定理1．设严格增（减）函数必反函数定义域严格增（减）函数
证明：设严格增函数面证明样事实严格增函数时时总
例7 讨函数反函数存性果存反函数子区间存反函数否？
结：函数反函数讨变量变化范围关
例8 证明：时Ｒ严格增时严格递减
三奇函数偶函数
定义4 设D称原点数集定义D函数（1）称D奇函数（2）称D偶函数
注：（1）函数图形奇函数图象关原点称（中心称）偶函数图象关轴称
（2）奇偶性前提定义域称没必讨奇偶性
（3）奇偶性角度函数分类：
（4）奇偶函数称性特点研究奇偶函数性质时须讨原点左边右边四周期函数
1定义
设定义数集D函数存切称周期函数称周期
2点说明：
（1）周期周期周期存唯基周期说法周期函数周期中周期称周期基周期简称周期
周期
（2）函数定存周期存周期定基周期：1）周期函数2）（Ｃ常数）正数周期
第二章数列极限
引 言
掌握变量变化规律需变化程判断变化趋势例变量开始1然直变然止变化趋势趋势变化程中越越接零说变量极限0
高等数学中重概念方法极限关（导数微分积分级数等）实际问题中极限占重位例求圆面积圆周长（已知：）两公式？
知道获结果容易初知道求边形面积求直线段长度然定义种边形圆渡求观念思考方法突破
问题困难？边形面积求周界直线段分解许三角形圆呢？周界处处弯曲困难曲字面里面着曲直样矛盾
辩证唯物义认定条件曲直矛盾相互转化整圆周曲段圆弧似成直说段似直代曲弦代圆弧
种辩证思想圆周分成许段方说分成等长段代圆先考虑接正边形易知正边形周长
显然会等然直观出正边形边数断增加正边形周长着边数增加断接圆周长 越似程度越高
样算出总边形周长周长似值精确值问题没解决
似值渡精确值然限增记直观明显时记成——极限思想
圆周长接正边形周长极限种方法国刘微（张晋）早第3世纪提出称割圆术方法——限分割直代曲思想极限
外象曲边梯形面积计算均源极限思想必极限作深入研究
§1数列极限概念
教学目：学生建立起数列极限准确概念会数列极限定义证明数列极限等关命题
教学求：学生逐步建立起数列极限定义清晰概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限定义证明数列关命题运语言正确表述数列某实数极限等相应陈述
教学重点：数列极限概念
教学难点：数列极限定义应
教学方法：讲授
教学程序：
什数列
1 数列定义
数列列数列数意列数定规律定次序性具体讲数列定义
函数定义域全体正整数集合称数列
注：1）根函数记号数列记
2）记数列写作：简记
3）严格说法：说数列
2 数列例子
（1）（2）
（3） （4）
二什数列极限
1．引言
问题先例子：古代哲学家庄周著庄子 天篇引句话：尺棰日取半万世竭天截部分长度列出（单位尺）
第1天截
第2天截
第3天截
第天截
数列：
难出数列通项着限增限接零
般说数列限增时限接某常数称数列收敛数列常数称极限具种特性数列收敛数列称发散数列
说数列收敛数列0极限
数列发散数列
需提出面关收敛数列说法严格定义仅种描述性说法数学语言精确定义进步分析
例观察出该数列具特性：
着限增限接1着限增1距离限减少着限增限减少会意充分
：
正数会存数列项该项时
找Ｎ？（存？）解面数学式子：取样时
综述数列通项限增限接1意定正数总存正整数时1极限精确定义记作
2数列极限定义
定义1 设数列 实数正数总存正整数时 称数列收敛实数称数列极限记作
(读作趋穷时极限等趋)限取正整数数列极限记号中写成
数列没极限称收敛称发散数列
[问题]：表述没极限？
3举例说明定义验证数列极限
例1证明
证明 妨设 |－0|<<
取N
n>N时
|－0|≤<
例2 求证
证明 妨设 （注意里 ） 取 时
例3 求证
证法1 先设
取 时 令
证法2 令
取
例4 证
证明 取
例5
证明
注意正整数时
取
例6
证法 令 Bernoulli等式
证法二 （均值等式）
例7
证： 时
证二： （二项式展开）
取 时
附：题请注意错误做法：
（注意 趋零）
例8：证明
证明： （） （*）
取 便
（*）式条件成立应取时
总结 定义求极限证明极限关键适放等式关键追求两点隐性表达式变成显性表达式重锁迷雾中清庐山真面目二抓住矛盾舍次矛盾取舍合理放份
4 关数列极限定义点说明
（1）关：① 意性定义1中正数作衡量数列通项常数接程度越表示接越正数意说明常数接程度②暂时固定性意性出暂时确定便求出③值性意正数等等样意正数定义1中等式中等代代④正意正数限定确定正数
（2）关：① 相应性般变变常定作强调赖定找②值性 相应性意味着唯确定定时时更数时等式然成立唯事实许场合重存性值基实际中必限然数正数改妨
（3）数列极限理解：定义1中时时 时 标项落邻域外数列
中项（限）反外数列中项限设限项标时时写出数列极限种等价定义（邻域定义）：
定义 外数列中项限称数列收敛极限
见：1）存某数列中穷项落外定极限2）数列否极限某项变化趋势关前面限项关讨数列极限时添加掉改变限项数值收敛性极限会发生影响
例1．证明发散数列
例2．设作数列： 证明
例3．设定数列增加减少改变限项数列证明：数列时收敛发散收敛时两者极限相等
三穷数列
收敛数列中类重数列称穷数列定义：
定义2 称穷数列
穷数列
数列收敛充条件：
定理21 数列收敛 充条件穷数列
[作业] 教材P27 34578⑵
§2 收敛数列性质
教学容：第二章 数列极限——§2 收敛数列性质
教学目：熟悉收敛数列性质掌握求数列极限常方法
教学求：（1）学生理解证明数列性质极限唯性局部界性保号性保等式性
（2）掌握会证明收敛数列四运算定理迫敛性定理会定理求某收敛数列极限
教学重点：迫敛性定理四运算法应
教学难点：数列极限计算
教学方法：讲练结合
教学程序：
引 言
节引进数列极限定义通例题说明验证方法极限较基容求掌握学极限技巧应极限解决问题需数列性质作进步讨
收敛数列性质
性质1（极限唯性） 数列收敛极限唯
证：假设数列极限极限定义
时 时
取时
意性式仅时成立
证二：（反证）假设极限唯少两相等极限值设
妨设取
定义时
时
时 矛盾极限值必唯
性质2（界性）果数列收敛必界数列
证明：设取时
令
数列界
注：①界性数列收敛必条件非充分条件
②证明时必须分清时取定时面定理32证明中必须取定否变找变界意义明确
性质3（保序性）设
（1） 存时
（2） 存时（等式性质）
证明：（1）取存时
存时
时
（2）（反证）⑴知必时已知矛盾
推（保号性）时特时号
思考：述定理中换成否结改成？
例：设（）
证明：保序性定理
时
时
数列较复杂求极限？
性质4（四运算法）收敛收敛 特常数收敛
证明：须证关积倒数运算结
设时 时
取时两式时成立
（1）
收敛数列界性
时
意性知
（2）
保号性（令）
取时
意性
纳法限序列四运算：
述换成般成立事实身种极限两种极限交换次序非常敏感话题高等分析中心课题般交换定条件交换具体什条件面会系统研究问题
性质5（两边夹定理迫敛性）设三数列时
证明：
时 时
取时两式已知条件中等式时成立时
该定理仅提供判定数列收敛方法出求极限方法
推：时（）
例：求证（）
证明：时
推结
例：设…正数证明
证明：设
迫敛性结
例1：
证明中 令 推出
例出 推出
例2： 证明
证明： 令
两边夹推出
求数列极限时常需极限四运算法举例
例3： 求极限
解
例4： 求极限
解
例5：
例6：求
解：原式
：理式极限
例7：
例8：设证明
证明：
二 数列子列
1引言
极限效分析工具数列极限存时工具失效说明什呢？难道没点规律？然 出现种情况原整数列特征角度数列进行研究果整体序部分否序呢？果部分序否部分推断整体性质呢？简言否部分握整体呢？部分数列讲子列
2 子列定义
定义1 设数列正整数集限子集数列
称数列子列简记
注1 定义见子列项保持项中先次序简单讲中取出限项中序排成数列子列（子列中次取出穷项组成数列）
注2 子列中表示中第项表示 中第k项中第k项中第项总 特
注3 数列身掉限项子列称子列子列子列称非子列
非子列节例知：数列子列收敛发散收敛时相极限
数列收敛性非子列收敛性关系呢？面结果：
定理28 数列收敛充条件：非子列收敛．
证明： 必性 设子列．存正数N时时证明收敛（相极限）．
充分性 考虑非子列．假设收敛．子列刚证明必性
（9）
子列样
（10）
（9）式（10）式出
．
课例7知收敛．
定理2．8证明见数列非子列收敛子列必收敛极限．数列子列发散两子列收敛极限相等数列定发散．例数列偶数项组成子列收敛1奇数项组成子列收敛发散．数列奇数项组成子列子列发散数列发散．见定理2．8判断数列发散力工具．
§3 数列极限存条件
教学容：第二章 数列极限 ——§3 数列极限存条件
教学目：学生掌握判断数列极限存常工具
教学求：（1）掌握会证明单调界定理会运求某收敛数列极限
（2）初步理解Cauchy准极限理中意义逐步会应Cauchy准判断某数列敛散性
教学重点：单调界定理Cauchy收敛准应
教学难点：相关定理应
教学方法：讲练结合
教学程序：
引 言
研究较复杂极限问题时通常分两步解决：先判断该数列否极限（极限存性问题）极限考虑计算极限（极限值计算问题）极限理两基问题实际应中解决数列极限存性问题极限值计算较困难充分时充分接极限作似值
节重点讨极限存性问题
确定某数列否极限然实数定义加验证根办法直接数列身特征作出判断
收敛数列界性知：收敛界数列反定界足保证收敛例直观界n增（减少）增（减少）界（界）非常接存极限（收敛）
说明点先出具述特征数列名称——单调数列
单调数列
定义 数列项满足等式称递增（递减）数列递增递减数列统称单调数列．
例：递减数列递增数列单调数列
二单调界定理
〔问题〕 （1）单调数列定收敛？（2）收敛数列定单调？
数列果仅单调界足保证收敛单调界面极限存判断方法
定理（单调界定理） 实数系中界单调数列必极限
解释：单调数列方移动仅两种：（1）点数轴移穷远（2）限趋某定点
证明：妨设单调增加界作集合确界原理存
：（1）（2）
单调增加时
时 #
例1：证明数列……
……收敛求极限
证明：该数列构造显见单调增加面证界
易见……
两端
界极限存
设等式两边取极限
正数列取求极限
例2：求（定数）
解：记 时
单调递减 极限定存设
两边取极限 （）
例3 设 证明数列{}收敛
例4 求 ( 计算逐次逼法 迭代法 )
解：均值等式 界
注意 ↘
三柯西收敛准
1引言
单调界定理数列收敛充分条件面出实数集中数列收敛充分必条件——柯西收敛准
2 Cauchy收敛准
定理（Ｃauchy收敛准）数列收敛充分必条件：存正整数时
证明： 收敛存极限设时时
先证界性取
特时
设
致密性定理知收敛子列设
取时
列基列（满足收敛准数列）
收敛准表示形式：时
3 说明
a) Cauchy收敛准理完全解决数列极限存性问题
b) Cauchy收敛准条件称Cauchy条件反映样事实：收敛数列项值愈面彼愈接充分面两项差绝值预先定意正数者形象说收敛数列项越面越挤起
c) Cauchy准定义中a差换成差处需助数列外数a根数列身特征鉴（收）敛（发）散性
例：数列满足（）证明数列收敛
证明：令
（妨设）取时然数 收敛准知数列收敛
例：证明数列 发散
证明：证：必
设
样取 说明数列
4 应
例5 证明 限十进数 足似值组成数列
收敛 中中数
证明： 令
……
例6： 设 试证明数列{收敛
关极限 证明留节进行
例7：
例8：
例9：
[作业] 教材P38—39 13561011
教材P40—41 1（1）（3）34(1)(3)(6)(8)510
（P38 3（4）提示：考虑双逼原理求）
附： 数列单调界证法欣赏
Cauchy (1789—1857 ) 先出极限Riemann（1826—1866）先出证法
证法 （ Riemann先出证法 ） 设 应二项式展开
+
注意
项 ↗
界
综 数列{}单调界
证法二 ( 利Bernoulli等式 )
注意Bernoulli等式 正整数 )
利Bernoulli等式
↗
证{}方界 考虑数列 类证↘ 事实
(处利Bernoulli等式 )
↘
显然 数列{}界
证法三 ( 利均值等式 ) 均值等式 中 令
↗
令 仿证 时↗ ( 时意义 时诸 均值等式 ) 时
↗ ↘ < 4
注 证法二证法三参阅数学通报1980№4 P22
证法四 ( 利均值等式 )
< ↗
界性证法参阅述证法
注 证法四参阅数学教学研究1991№1 马德尧文 均值等式妙两
证法五 先证明： 正整数等式
事实
<
该等式变形
( 正整数 )
等式中 取
↗
取 成立
注 证法参阅The American Mathematical Monthly 1974 Vol 81 №9 P10—11
第三章 函数极限
引 言
数学分析中讨极限基分两部分第部分数列极限第二部分函数极限二者关系特殊般关系数列极限函数极限特例
通数列极限学应种基观念：极限研究变量变化趋势说：极限研究变量变化程通变化程握变化结果例数列种变量研究时变化趋势
知道函数角度数列视种特殊函数定义域值域
研究数列极限研究变量时函数变化趋势
处函数变量取正整数变量变化趋势种果代正整数变量考虑般变量情况呢？具体说时变量x变化趋势否仅限种呢？
考虑列函数
类似数列考虑变量时变化趋势外考虑变量时变化趋势考虑变量时变化趋势考虑变量时变化趋势
见函数极限较数列极限复杂根源变量性质变化时种复杂仅仅表现极限定义叙述类极限性质运算证明方法类似数列极限
面次讨极限
§1函数极限概念
教学容：第三章 函数极限——§1函数极限概念
教学目：掌握种函数极限分析定义够分析定义证明计算函数极限．
教学求：掌握时函数极限分析定义会函数极限分析定义证明计算较简单函数极限．
教学建议：
节重点种函数极限分析定义．数学生求掌握时函数极限分析定义函数极限分析定义求函
教学程：
时函数极限
1引言
设函数定义类似数列情形研究变量时应函数值否限接某定数Ａ种情形否出现呢？回答出现函数具性质
例 限增时限接0限增时限接限增时数限接正必考虑时变化趋势象样时应函数值限接某定数函数称时极限
[问题]出精确定义呢 类似数列时函数极限精确定义
2 时函数极限定义
定义1 设定义函数实数存正数时 称函数时极限记作
3 点注记
（1） 定义1中作数列极限中作相衡量接程度正数作数列极限定义中相类似表明充分程度里考虑实数仅仅正整数n
邻域描述：时
（2） 意义：两条直线形成中心线宽带形区域时表示：直线右方曲线全部落带形区域
果点带形区域更窄点直线般右移带形区域窄总存正数曲线右边全部落更窄带形区域
（3） 现记定义函数时函数值限接常数称时时极限分记作
两种函数极限精确定义定义1相仿简写：
时
时
（5）推：设定义函数
4．利＝Ａ定义验证极限等式举例
例1 证明
例2 证明 1）2）
二时函数极限
1引言
节讨函数时极限假定定义函数事实定义考虑时否趋某定数
节假定定义点某空心邻域函数现讨时应函数值否趋某定数Ａ数列
先面例子：
例1 （定义函数时）
例2 （定义函数时）
例3 （定义函数时）
述例子见函数时应函数值趋某定数Ａ函数性质必研究时变化趋势
称述第类函数时极限记作
数列极限描述性说法样种描述性说法严格数学定义出类函数极限精确定义呢？
作分析：
变量越越接时函数值越越接定数充分接函数值相差会相欲相充分接时
2时函数极限定义
定义2 设函数点某空心邻域定义定数时称函数 趋时极限（称Ａ时极限）记作
（
3 函数极限定义点说明：
（1）结条件推出
（2）表示函数接程度说明函数程中够意接必须意第特性——意性变量定暂时作变便通寻找时成立第二特性——暂时固定性寻找程中常量外意正数均意正数均扮演角色第三特性——值性（）
(3) 表示接程度相数列极限定义中Ｎ第特性相应性定应赖适选取记般说越越定义中求推出满足求等等正数均满足求唯第二特性——值性
（4）定义中求函数某空心邻域定义般求处函数值否存者取什样值函数极限研究趋程中函数变化趋势函数该处函数值关考虑点a函数值否存取值限定
（5）定义中等式定义2时
（6）定义意义
例1． 设证明：
例2． 设讨时极限
例3． 证明 1）2）
例4． 证明
例5． 证明
例6． 证明
例7．证明
证明： 注意想意意意时必须远离零点时远离零点
取时
例8． 证明
证明： 先设证 取时
设 注意
取时
例9． 验证
证明：
例10．验证
证明：
需
需
限制
练：1）证明 2）证明
三单侧极限
1．引言
函数定义域某点左侧右侧解析式
函数某点仅侧定义
时讨类函数述点处极限呢？时前面定义（讨方法）点某侧讨讨时极限左右两侧分讨趋0时应考察函数值变化趋势趋0时应考察函数值变化趋势点右侧趋0时考察引进单侧极限概念
2．单侧极限定义
定义3 设函数定义定数时 称数函数趋时右极限记作
类似出左极限定义（）
注：右极限左极限统称单侧极限
3．例子
例1 讨函数左右极限
例2 讨左右极限
例3 讨函数处单侧极限
4．函数极限关系
定理31
证明： 必性 时特时
理时
充分性 时 时 令 时
注：1）利验证函数极限存定理31知：说明某函数极限存例2知存2）毫关系例2
[作业] 教材P47—48 2—7
§3函数极限存条件
教学章节：第三章函数极限——§3函数极限存条件
教学目：理解运海涅定理柯西准判定某函数极限存性
教学求：掌握海涅定理柯西准领会实质证明基思路
教学重点：海涅定理柯西准
教学难点：海涅定理柯西准运
教学方法：讲授辅练加深理解掌握运
教学程序：
引 言
讨数列极限存条件时家介绍单调界定理柯西收敛准说数列特殊函数函数否类似结果呢？者说否函数值变化趋势判断极限存性呢？节务
节结种类型函数极限进行述结类型函数极限成立
首先介绍结果——海涅(Heine)定理（结原）
结原
定理1（Heine定理）设定义存含极限数列极限存相等
证：必性 中取序列证
时
时
时
充分性果然时极限
令序列显然条件矛盾
判断存方法：中找两序列趋两极限存相等实际充条件充分性证明节定理行必性证明第七章讲完紧性证目前充分性
注1 数列数列极限定理函数极限结数列极限问题讨称结原数列极限性质推断函数极限性质
注2Heine定理说明存方法找数列
存找两极限数列存相等存
例1证明存
证明：令 然趋
然趋时没极限
注3．四种类型单侧极限相应结原表示更强形式时：
定理2设函数某空心邻域定义 极限递减数列
二单调界定理
相应数列极限单调界定理关述四类单侧极限相应定理现种类型例叙述
定理3 设定义单调界函数右极限存
注：定理3更具体叙述：定义函数
（1）递增界存
（2）递减界存
更般：
定理 设定义单调升存等
证明： 令 集合 界时 界时
1）
确界定义取
时函数单调升确界定义
2)
集合界 取 时
类似定义单调降 关右极限相应结果学行出定理表述证明
三函数极限Cauchy收敛准
定理４（Cauchy准） 设函数定义存存正数
证：(利极限定义)设
（）时
时
(利Heine原)设假设
（）
时
数列收敛准存设设数列存设
考虑数列易见
证存作两子列必收敛极限
结原
注：Cauchy准写出存充条件：存意存
例：Cauchy准说明存
证明： 取
例5 设[函数↘极限存
[界(简证留作业)
综述：Heine定理Cauchy准说明极限存方便工具
[作业] 教材P55 12346
提示 第1题反证法 第4题Heine原
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§1实数
授课章节：第章实数集函数——§1实数
教学目：学生掌握实数基性质．
教学重点：
(1)理解熟练运实数序性稠密性封闭性
(2)牢记熟练运实数绝值关性质常见等式．（分析证重工具）
教学难点：实数集概念应．
教学方法：讲授．（部分容学）
教学程序：
引 言
节课中家探讨数学分析门课程研究象容等话题．节课开始基教材序家介绍门课程容．首先家较熟悉实数函数开始．
[问题]什实数开始．
答：数学分析研究基象函数里函数定义实数集（继课复变函数研究定义复数集函数）．先解实数关性质．
实数性质
1实数
．
[问题]理数理数表示统统讨实数利．讨需限数（包括整数）表示限数．作规定：
正限数中记正整数记负限数（包括负整数）先表示限数现数前加负号．0表示
0＝
例：
利述规定实数确定限数表示．规定较实数？
2两实数较
1）定义1定两非负实数 中非负整数整数．称相等记存非负整数称分记．负实数述规定分分称（）．
规定：非负实数负实数．
2） 实数较等价条件（通限数较）．
定义2（足似剩似）：非负实数称理数实数位足似称实数位剩似
负实数位足似位剩似
注：实数足似增时减 剩似n增时增．
命题：记两实数等价条件：存非负整数n（中位足似位剩似）．
命题应
例1．设实数证明存理数满足．
证明：知：存非负整数n．令r理数
．．
3实数常性质（详见附录Ⅱ．）．
1）封闭性（实数集）四运算封闭．意两实数差积商（数0）实数．
2）序性：关系三者必居居
3）传递性：．
4）阿基米德性：．
5）稠密性：两等实数间总实数．
6）应关系：实数集数轴点着应关系．
例2．设证明：正数．
（提示：反证法．利序性取）
二绝值等式
1绝值定义
实数绝值定义．
2意义
数轴数绝值点原点距离．表示数轴点间距离．
3性质
1）（非负性）
2）
3）
4）（三角等式）
5）
6）（）．
三重等式
1
2均值等式记
(算术均值)
(均值)
(调均值)
均值等式：
等号仅时成立
3Bernoulli等式(中学已数学纳法证明)
等式
时严格等式
证：
4利二项展开式等式二项展开式
式右端项
［练］P4．5
［课堂结］：实数：
[作业]P4．1．(1)2．(2)(3)3
§2数集确界原理
授课章节：第章实数集函数——§2数集确界原理
教学目：学生掌握确界原理建立起实数确界清晰概念
教学求：
(1)掌握邻域概念
(2)理解实数确界定义确界原理关命题证明中正确加运
教学重点：确界概念关性质（确界原理）
教学难点：确界定义应
教学方法：讲授
教学程序：先通练形式复节课容检验学效果导入新课
引 言
节课中数学分析研究关键问题作简讨家学第章§1实数相关容面先检验学效果
1证明：：(1)(2)
（）
（）
2证明：
3设证明：正数
4设证明：存理数满足
[引申]：①题1联想什样结呢？样思考做科研时常思路做完完想想否具体问题引出般结：般方法？②述题体会出学数学题中学理性强概念性强推理理非空想象③课未布置作业题做加深理解语言应提请注意种差快掌握门课程术语工具
节容：
1先定义实数集R中两类数集——区间邻域
2讨界集界集
3界集界引出确界定义确界存性定理（确界原理）
区间邻域
1 区间（表示变量变化范围）
设中
2邻域
联想：邻居字面意思：邻区域邻区域底类讲邻域呢？关称区间数学语言表达呢？
（1）邻域：设满足等式全体实数集合称点邻域记作简记
中
（2）点空心邻域
（3）右邻域点空心右邻域
（4）点左邻域点空心左邻域
（5）邻域邻域邻域
（中M充分正数）
二 界集界集
1 定义1（界）：设中数集存数切称S（）界数集数称S界（界）数集S界界称S界集
闭区间开区间限数）邻域等界数集
集合 界数集
数集S界集称S界集
等界数集
集合 界数集
注：1）（）界存唯
2）（）界S关系？例：
例1 讨数集界性
解：取显然界1
界假设界MM>0定义意取
综述知：界界数集界集
例2证明：（1）限区间界集（2）限区间界集（3）限数组成数集界集
[问题]：数集S界界唯？界呢？(答：唯 穷)
三 确界确界原理
1定义
定义2（确界） 设SR中数集数满足：(1) 切
（S界） (2) 存（S界中）称数数集S确界记作
定义中出：确界界中者
命题1 充条件
1）
2）
证明：必性反证法设2）成立界中矛盾
充分性（反证法）设确界界令2）界矛盾
定义3（确界）设SR中数集数满足：（1）切（S界）（2）存（S界中）称数数集S确界记作
定义中出：确界界中者
命题2 充条件：
1）
2）＞0＜
确界确界统称确界
例3（1） 1 0
（2） 1 0
注：非空界数集（）确界唯
命题3：设数集（）确界（）确界必唯
证明：设妨设
矛盾
例：
开区间闭区间相确界确界
例4设非空数集
例5设非空数集
证明：界界
例6非空数集试证明
证明：分界
数集界
界界界界理
综
1 数集确界关系确界定属原集合例3⑵例做解释
2 确界值关系设 数集
（1）值必属确界未必确界种界点
（2）非空界数集必确界(见面确界原理)未必值
（3）存必确界类似结
4 确界原理
Th11(确界原理)设非空数集界必确界界必确界
里接受说明 非空找整数界界然遍查找界界果找第二位数实数确界
证明：（书确界情况出证明面讲确界证明）妨设中元素非负数存非负整数
1）
2）存
区间10等分分点n1ｎ2．．．ｎ9 存
1）
2）存．
开区间10等分理存
1）
2）存
继续重复步骤知存
1）
2）存．
．证明．
（ⅰ）意
（ⅱ）存．
［作业］：P9 1（1）（2） 2 4（2）（4）７
§3函数概念
授课章节：第章实数集函数——§3 函数概念
教学目：学生深刻理解函数概念
教学求：
（１）深刻理解函数定义复合函数反函数初等函数定义熟悉函数种表示法
（２）牢记基初等函数定义性质图象会求初等函数存域会分析初等函数复合关系
教学重点：函数概念
教学难点：初等函数复合关系分析
教学方法：课堂讲授辅提问练部分容学
教学程序：
引 言
关函数概念中学数学中已初步解便学节作进步讨
函数定义
１．定义１ 设果存应法存唯数应称定义数集函数记作
数集称函数定义域应称点函数值记全体函数值集合称函数值域记作
２．点说明
（1）函数定义记号中表示法建立函数关系表示两数集中元素间应关系记作惯称变量变量
（2） 函数三素定义域应法值域应法定义域确定值域便然确定函数基素两：定义域应法函数常表示：
说两函数相指相定义域应法
例：1） （相应法相定义域）
2） （相应法表达形式）
（3）函数公式法（解析法）表示时函数定义域常取该运算式子意义变量全体通常称存域（然定义域）时函数记号中定义域省略写应法表示函数函数函数
（4）映射观点函数质映射称映射象称原象
（5）函数定义中唯值应样定义函数称单值函数值应值称种函数值函数书中讨单值函数（简称函数）
二 函数表示方法
1 方法：解析法（公式法）列表法（表格法）图象法（图示法）
2 特殊方法表示函数
1）分段函数：定义域部分公式表示
例 （符号函数）
（助sgnx表示）
2）语言叙述函数（注意函数分段函数）
例 １）（取整函数）
： [35]3 [3]3 [35]4
常
关函数（非负数函数）图形条锯画出图
２）狄利克雷（Dirichlet）函数
病态函数处法画出图形周期函数没周期事实理数周期
３）黎曼（Riemman）函数
三 函数四运算
定两函数记设定义差积运算：
中值令定义商运算
注：１）进行四运算
２）叙述方便函数差积商常分写：
四复合运算
１．引言
实际问题中函数变量变量通外变量建立起间应关系
例：质量m物体落速度v功率
抽该问题实际意义两函数代入
样函数程称函数复合函数称复合函数
[问题] 两函数复合？考虑例
复合结合例见复合前提条件函数值域外函数定义域交集空（引出面定义）
2．定义（复合函数） 设两函数通应唯值通应唯值确定定义函数变量变量记作简记称函数复合函数称外函数函数中间变量
3 例子
例 求 求定义域
例 ⑴
⑵
A B C D
例 讨函数函数否进行复合求复合函数
4 说明
１）复合函数函数相继复合成次复合验证否进行？数集进行？复合函数终定义域什？
例：复合成：
２）仅会复合更会分解函数分解成干简单函数分解时注意定义域变化
①
②
③
五反函数
１引言
函数中做变量做变量需指出变量变量位绝相例： 讲变量讲变量
惯说函数中变量变量基变化现时变化时仅研究变化状况研究变化状况引入反函数概念
２反函数概念
定义设R函数果
()称 11
称满
满 11 称11应
R11 意味着固定解11 意味着仅解
定义 设11应 唯确定 种应法确定函数称反函数记
反函数定义域值域恰原函数值域定义域
显然
(恒等变换）
(恒等变换)
0
x
y
方程角度函数反函数没什区作函数惯反函数记 样图形 图形关角线称
严格单调函数11应严格单调函数反函数
11 应函数（反函数）定严格单调面例子
反函数
实际求反函数问题分二步进行：
1 确定 定义域值域考虑 11应条件固定 解方程 出
2 惯变量变量互换
例 求 ：R R反函数
解 固定解 令 方程变
( 舍)
称反双曲正弦
定理 定函数定义域值域分记
存函数
分析：证两层结：反函数存证 11 应行二证
证 证反函数存证 11 应
定理条件
11 应
证
反函数定义 定理条件
例 存唯（）动点动点
证 存性设
动点唯性
存动点
唯性： 设
说明 动点唯性
映射观点函数
设函数满足：值域中值Ｄ中值应法定义函数称函数反函数记作
３注释
a) 函数反函数映射观点函数反函数意味着Ｄ间映射称映射逆映射
b) 函数互反函数
c) 反函数表示中变量变量惯做法做变量记号作变量记号函数反函数改写
应该注意样做表示函数定义域应法相仅变量记号已图形坐标系中画出时差
六 初等函数
1基初等函数（６类）
常量函数 （Ｃ常数）
幂函数
指数函数
数函数
三角函数
反三角函数
注：幂函数指数函数涉幂中学数学课程中理指数幂定义面助确界定义理指数幂便理指数幂起构成实指数幂保持理批数幂基性质
定义２．定实数设理数规定：
样解决中学数学仅理数ｘ定义缺陷．
[问题]：样定义意义否？更明确点相应确界否存呢？
２．初等函数
定义３．基初等函数限次四运算复合运算函数统称初等函数
：
初等函数函数称非初等函数Dirichlet函数Riemann函数取整函数等非初等函数
注：初等函数课程研究象基初等函数图象性质应熟练掌握外应常握确定初等函数定义域确定定义域时应注意两点
例２．求列函数定义域
（１） （２）
3初等函数特例 设函数初等函数
（1）初等函数
（2） 初等函数
（3）幂指函数 初等函数
［作业］ ： 34（２）（３） 5（２） 7（３）11
§4具某特性函数
授课章节：第章实数集函数——§4具某特性函数
教学目：熟悉初等函数性态关常见术语
教学目：深刻理解界函数单调函数定义理解奇偶函数周期函数定义
会求简单周期函数周期
教学重点：函数界性单调性
教学难点：周期函数周期计算验证
教学方法：界函数讲授余列出学题纲供学生学完成
教学程序：
引 言
节中介绍常类具某特性函数界函数单调函数奇偶函数周期函数中概念中学里已叙述里简单提界集定义类似先谈谈界函数界函数
界函数
1界函数界函数定义
定义1设定义D函数存数称D（）界函数称D（）界
注：（1）D（）界意味着值域（）界数集
（2）D（） 界Ｍ（Ｌ）数D（）界函数（）界存唯例：1界界－1易见－1数作界1数作界
（3）函数定（）界
（4）（1）界集定义类出界函数定义：
D界界集D界界D界函数D界函数
2界函数定义
定义2设定义D函数存正数Ｍ称D界函数
注：（1）意义：D界函数图象完全落间
（2）D界D界界例子：
（3）关函数D界界界定义
3 例题
例1 证明界充条件：
证明 果界定义>0取
反果令界
例2．证明 界函数
例3．设D界函数证明：（1）
（2）
例4验证函数 界
解法 时
总 界
解法二 令 关二次方程 实数根
解法三 令 应
二单调函数
定义3设定义D函数 （1）称D增函数称D严格增函数（2）称D减函数称D严格减函数
例5．证明：严格增函数
证明：设
证
例6．讨函数单调性
时函数严格增函数
注：1）单调性讨区间关定义域某部分单调单调会求出定函数单调区间
2）严格单调函数意义：图象交点行轴部分更准确讲：严格单调函数图象行轴直线交点特征保证必反函数
总结面结：
定理1．设严格增（减）函数必反函数定义域严格增（减）函数
证明：设严格增函数面证明样事实严格增函数时时总
例7 讨函数反函数存性果存反函数子区间存反函数否？
结：函数反函数讨变量变化范围关
例8 证明：时Ｒ严格增时严格递减
三奇函数偶函数
定义4 设D称原点数集定义D函数（1）称D奇函数（2）称D偶函数
注：（1）函数图形奇函数图象关原点称（中心称）偶函数图象关轴称
（2）奇偶性前提定义域称没必讨奇偶性
（3）奇偶性角度函数分类：
（4）奇偶函数称性特点研究奇偶函数性质时须讨原点左边右边四周期函数
1定义
设定义数集D函数存切称周期函数称周期
2点说明：
（1）周期周期周期存唯基周期说法周期函数周期中周期称周期基周期简称周期
周期
（2）函数定存周期存周期定基周期：1）周期函数2）（Ｃ常数）正数周期
第二章数列极限
引 言
掌握变量变化规律需变化程判断变化趋势例变量开始1然直变然止变化趋势趋势变化程中越越接零说变量极限0
高等数学中重概念方法极限关（导数微分积分级数等）实际问题中极限占重位例求圆面积圆周长（已知：）两公式？
知道获结果容易初知道求边形面积求直线段长度然定义种边形圆渡求观念思考方法突破
问题困难？边形面积求周界直线段分解许三角形圆呢？周界处处弯曲困难曲字面里面着曲直样矛盾
辩证唯物义认定条件曲直矛盾相互转化整圆周曲段圆弧似成直说段似直代曲弦代圆弧
种辩证思想圆周分成许段方说分成等长段代圆先考虑接正边形易知正边形周长
显然会等然直观出正边形边数断增加正边形周长着边数增加断接圆周长 越似程度越高
样算出总边形周长周长似值精确值问题没解决
似值渡精确值然限增记直观明显时记成——极限思想
圆周长接正边形周长极限种方法国刘微（张晋）早第3世纪提出称割圆术方法——限分割直代曲思想极限
外象曲边梯形面积计算均源极限思想必极限作深入研究
§1数列极限概念
教学目：学生建立起数列极限准确概念会数列极限定义证明数列极限等关命题
教学求：学生逐步建立起数列极限定义清晰概念深刻理解数列发散单调界穷数列等关概念会应数列极限定义证明数列关命题运语言正确表述数列某实数极限等相应陈述
教学重点：数列极限概念
教学难点：数列极限定义应
教学方法：讲授
教学程序：
什数列
1 数列定义
数列列数列数意列数定规律定次序性具体讲数列定义
函数定义域全体正整数集合称数列
注：1）根函数记号数列记
2）记数列写作：简记
3）严格说法：说数列
2 数列例子
（1）（2）
（3） （4）
二什数列极限
1．引言
问题先例子：古代哲学家庄周著庄子 天篇引句话：尺棰日取半万世竭天截部分长度列出（单位尺）
第1天截
第2天截
第3天截
第天截
数列：
难出数列通项着限增限接零
般说数列限增时限接某常数称数列收敛数列常数称极限具种特性数列收敛数列称发散数列
说数列收敛数列0极限
数列发散数列
需提出面关收敛数列说法严格定义仅种描述性说法数学语言精确定义进步分析
例观察出该数列具特性：
着限增限接1着限增1距离限减少着限增限减少会意充分
：
正数会存数列项该项时
找Ｎ？（存？）解面数学式子：取样时
综述数列通项限增限接1意定正数总存正整数时1极限精确定义记作
2数列极限定义
定义1 设数列 实数正数总存正整数时 称数列收敛实数称数列极限记作
(读作趋穷时极限等趋)限取正整数数列极限记号中写成
数列没极限称收敛称发散数列
[问题]：表述没极限？
3举例说明定义验证数列极限
例1证明
证明 妨设 |－0|<<
取N
n>N时
|－0|≤<
例2 求证
证明 妨设 （注意里 ） 取 时
例3 求证
证法1 先设
取 时 令
证法2 令
取
例4 证
证明 取
例5
证明
注意正整数时
取
例6
证法 令 Bernoulli等式
证法二 （均值等式）
例7
证： 时
证二： （二项式展开）
取 时
附：题请注意错误做法：
（注意 趋零）
例8：证明
证明： （） （*）
取 便
（*）式条件成立应取时
总结 定义求极限证明极限关键适放等式关键追求两点隐性表达式变成显性表达式重锁迷雾中清庐山真面目二抓住矛盾舍次矛盾取舍合理放份
4 关数列极限定义点说明
（1）关：① 意性定义1中正数作衡量数列通项常数接程度越表示接越正数意说明常数接程度②暂时固定性意性出暂时确定便求出③值性意正数等等样意正数定义1中等式中等代代④正意正数限定确定正数
（2）关：① 相应性般变变常定作强调赖定找②值性 相应性意味着唯确定定时时更数时等式然成立唯事实许场合重存性值基实际中必限然数正数改妨
（3）数列极限理解：定义1中时时 时 标项落邻域外数列
中项（限）反外数列中项限设限项标时时写出数列极限种等价定义（邻域定义）：
定义 外数列中项限称数列收敛极限
见：1）存某数列中穷项落外定极限2）数列否极限某项变化趋势关前面限项关讨数列极限时添加掉改变限项数值收敛性极限会发生影响
例1．证明发散数列
例2．设作数列： 证明
例3．设定数列增加减少改变限项数列证明：数列时收敛发散收敛时两者极限相等
三穷数列
收敛数列中类重数列称穷数列定义：
定义2 称穷数列
穷数列
数列收敛充条件：
定理21 数列收敛 充条件穷数列
[作业] 教材P27 34578⑵
§2 收敛数列性质
教学容：第二章 数列极限——§2 收敛数列性质
教学目：熟悉收敛数列性质掌握求数列极限常方法
教学求：（1）学生理解证明数列性质极限唯性局部界性保号性保等式性
（2）掌握会证明收敛数列四运算定理迫敛性定理会定理求某收敛数列极限
教学重点：迫敛性定理四运算法应
教学难点：数列极限计算
教学方法：讲练结合
教学程序：
引 言
节引进数列极限定义通例题说明验证方法极限较基容求掌握学极限技巧应极限解决问题需数列性质作进步讨
收敛数列性质
性质1（极限唯性） 数列收敛极限唯
证：假设数列极限极限定义
时 时
取时
意性式仅时成立
证二：（反证）假设极限唯少两相等极限值设
妨设取
定义时
时
时 矛盾极限值必唯
性质2（界性）果数列收敛必界数列
证明：设取时
令
数列界
注：①界性数列收敛必条件非充分条件
②证明时必须分清时取定时面定理32证明中必须取定否变找变界意义明确
性质3（保序性）设
（1） 存时
（2） 存时（等式性质）
证明：（1）取存时
存时
时
（2）（反证）⑴知必时已知矛盾
推（保号性）时特时号
思考：述定理中换成否结改成？
例：设（）
证明：保序性定理
时
时
数列较复杂求极限？
性质4（四运算法）收敛收敛 特常数收敛
证明：须证关积倒数运算结
设时 时
取时两式时成立
（1）
收敛数列界性
时
意性知
（2）
保号性（令）
取时
意性
纳法限序列四运算：
述换成般成立事实身种极限两种极限交换次序非常敏感话题高等分析中心课题般交换定条件交换具体什条件面会系统研究问题
性质5（两边夹定理迫敛性）设三数列时
证明：
时 时
取时两式已知条件中等式时成立时
该定理仅提供判定数列收敛方法出求极限方法
推：时（）
例：求证（）
证明：时
推结
例：设…正数证明
证明：设
迫敛性结
例1：
证明中 令 推出
例出 推出
例2： 证明
证明： 令
两边夹推出
求数列极限时常需极限四运算法举例
例3： 求极限
解
例4： 求极限
解
例5：
例6：求
解：原式
：理式极限
例7：
例8：设证明
证明：
二 数列子列
1引言
极限效分析工具数列极限存时工具失效说明什呢？难道没点规律？然 出现种情况原整数列特征角度数列进行研究果整体序部分否序呢？果部分序否部分推断整体性质呢？简言否部分握整体呢？部分数列讲子列
2 子列定义
定义1 设数列正整数集限子集数列
称数列子列简记
注1 定义见子列项保持项中先次序简单讲中取出限项中序排成数列子列（子列中次取出穷项组成数列）
注2 子列中表示中第项表示 中第k项中第k项中第项总 特
注3 数列身掉限项子列称子列子列子列称非子列
非子列节例知：数列子列收敛发散收敛时相极限
数列收敛性非子列收敛性关系呢？面结果：
定理28 数列收敛充条件：非子列收敛．
证明： 必性 设子列．存正数N时时证明收敛（相极限）．
充分性 考虑非子列．假设收敛．子列刚证明必性
（9）
子列样
（10）
（9）式（10）式出
．
课例7知收敛．
定理2．8证明见数列非子列收敛子列必收敛极限．数列子列发散两子列收敛极限相等数列定发散．例数列偶数项组成子列收敛1奇数项组成子列收敛发散．数列奇数项组成子列子列发散数列发散．见定理2．8判断数列发散力工具．
§3 数列极限存条件
教学容：第二章 数列极限 ——§3 数列极限存条件
教学目：学生掌握判断数列极限存常工具
教学求：（1）掌握会证明单调界定理会运求某收敛数列极限
（2）初步理解Cauchy准极限理中意义逐步会应Cauchy准判断某数列敛散性
教学重点：单调界定理Cauchy收敛准应
教学难点：相关定理应
教学方法：讲练结合
教学程序：
引 言
研究较复杂极限问题时通常分两步解决：先判断该数列否极限（极限存性问题）极限考虑计算极限（极限值计算问题）极限理两基问题实际应中解决数列极限存性问题极限值计算较困难充分时充分接极限作似值
节重点讨极限存性问题
确定某数列否极限然实数定义加验证根办法直接数列身特征作出判断
收敛数列界性知：收敛界数列反定界足保证收敛例直观界n增（减少）增（减少）界（界）非常接存极限（收敛）
说明点先出具述特征数列名称——单调数列
单调数列
定义 数列项满足等式称递增（递减）数列递增递减数列统称单调数列．
例：递减数列递增数列单调数列
二单调界定理
〔问题〕 （1）单调数列定收敛？（2）收敛数列定单调？
数列果仅单调界足保证收敛单调界面极限存判断方法
定理（单调界定理） 实数系中界单调数列必极限
解释：单调数列方移动仅两种：（1）点数轴移穷远（2）限趋某定点
证明：妨设单调增加界作集合确界原理存
：（1）（2）
单调增加时
时 #
例1：证明数列……
……收敛求极限
证明：该数列构造显见单调增加面证界
易见……
两端
界极限存
设等式两边取极限
正数列取求极限
例2：求（定数）
解：记 时
单调递减 极限定存设
两边取极限 （）
例3 设 证明数列{}收敛
例4 求 ( 计算逐次逼法 迭代法 )
解：均值等式 界
注意 ↘
三柯西收敛准
1引言
单调界定理数列收敛充分条件面出实数集中数列收敛充分必条件——柯西收敛准
2 Cauchy收敛准
定理（Ｃauchy收敛准）数列收敛充分必条件：存正整数时
证明： 收敛存极限设时时
先证界性取
特时
设
致密性定理知收敛子列设
取时
列基列（满足收敛准数列）
收敛准表示形式：时
3 说明
a) Cauchy收敛准理完全解决数列极限存性问题
b) Cauchy收敛准条件称Cauchy条件反映样事实：收敛数列项值愈面彼愈接充分面两项差绝值预先定意正数者形象说收敛数列项越面越挤起
c) Cauchy准定义中a差换成差处需助数列外数a根数列身特征鉴（收）敛（发）散性
例：数列满足（）证明数列收敛
证明：令
（妨设）取时然数 收敛准知数列收敛
例：证明数列 发散
证明：证：必
设
样取 说明数列
4 应
例5 证明 限十进数 足似值组成数列
收敛 中中数
证明： 令
……
例6： 设 试证明数列{收敛
关极限 证明留节进行
例7：
例8：
例9：
[作业] 教材P38—39 13561011
教材P40—41 1（1）（3）34(1)(3)(6)(8)510
（P38 3（4）提示：考虑双逼原理求）
附： 数列单调界证法欣赏
Cauchy (1789—1857 ) 先出极限Riemann（1826—1866）先出证法
证法 （ Riemann先出证法 ） 设 应二项式展开
+
注意
项 ↗
界
综 数列{}单调界
证法二 ( 利Bernoulli等式 )
注意Bernoulli等式 正整数 )
利Bernoulli等式
↗
证{}方界 考虑数列 类证↘ 事实
(处利Bernoulli等式 )
↘
显然 数列{}界
证法三 ( 利均值等式 ) 均值等式 中 令
↗
令 仿证 时↗ ( 时意义 时诸 均值等式 ) 时
↗ ↘ < 4
注 证法二证法三参阅数学通报1980№4 P22
证法四 ( 利均值等式 )
< ↗
界性证法参阅述证法
注 证法四参阅数学教学研究1991№1 马德尧文 均值等式妙两
证法五 先证明： 正整数等式
事实
<
该等式变形
( 正整数 )
等式中 取
↗
取 成立
注 证法参阅The American Mathematical Monthly 1974 Vol 81 №9 P10—11
第三章 函数极限
引 言
数学分析中讨极限基分两部分第部分数列极限第二部分函数极限二者关系特殊般关系数列极限函数极限特例
通数列极限学应种基观念：极限研究变量变化趋势说：极限研究变量变化程通变化程握变化结果例数列种变量研究时变化趋势
知道函数角度数列视种特殊函数定义域值域
研究数列极限研究变量时函数变化趋势
处函数变量取正整数变量变化趋势种果代正整数变量考虑般变量情况呢？具体说时变量x变化趋势否仅限种呢？
考虑列函数
类似数列考虑变量时变化趋势外考虑变量时变化趋势考虑变量时变化趋势考虑变量时变化趋势
见函数极限较数列极限复杂根源变量性质变化时种复杂仅仅表现极限定义叙述类极限性质运算证明方法类似数列极限
面次讨极限
§1函数极限概念
教学容：第三章 函数极限——§1函数极限概念
教学目：掌握种函数极限分析定义够分析定义证明计算函数极限．
教学求：掌握时函数极限分析定义会函数极限分析定义证明计算较简单函数极限．
教学建议：
节重点种函数极限分析定义．数学生求掌握时函数极限分析定义函数极限分析定义求函
教学程：
时函数极限
1引言
设函数定义类似数列情形研究变量时应函数值否限接某定数Ａ种情形否出现呢？回答出现函数具性质
例 限增时限接0限增时限接限增时数限接正必考虑时变化趋势象样时应函数值限接某定数函数称时极限
[问题]出精确定义呢 类似数列时函数极限精确定义
2 时函数极限定义
定义1 设定义函数实数存正数时 称函数时极限记作
3 点注记
（1） 定义1中作数列极限中作相衡量接程度正数作数列极限定义中相类似表明充分程度里考虑实数仅仅正整数n
邻域描述：时
（2） 意义：两条直线形成中心线宽带形区域时表示：直线右方曲线全部落带形区域
果点带形区域更窄点直线般右移带形区域窄总存正数曲线右边全部落更窄带形区域
（3） 现记定义函数时函数值限接常数称时时极限分记作
两种函数极限精确定义定义1相仿简写：
时
时
（5）推：设定义函数
4．利＝Ａ定义验证极限等式举例
例1 证明
例2 证明 1）2）
二时函数极限
1引言
节讨函数时极限假定定义函数事实定义考虑时否趋某定数
节假定定义点某空心邻域函数现讨时应函数值否趋某定数Ａ数列
先面例子：
例1 （定义函数时）
例2 （定义函数时）
例3 （定义函数时）
述例子见函数时应函数值趋某定数Ａ函数性质必研究时变化趋势
称述第类函数时极限记作
数列极限描述性说法样种描述性说法严格数学定义出类函数极限精确定义呢？
作分析：
变量越越接时函数值越越接定数充分接函数值相差会相欲相充分接时
2时函数极限定义
定义2 设函数点某空心邻域定义定数时称函数 趋时极限（称Ａ时极限）记作
（
3 函数极限定义点说明：
（1）结条件推出
（2）表示函数接程度说明函数程中够意接必须意第特性——意性变量定暂时作变便通寻找时成立第二特性——暂时固定性寻找程中常量外意正数均意正数均扮演角色第三特性——值性（）
(3) 表示接程度相数列极限定义中Ｎ第特性相应性定应赖适选取记般说越越定义中求推出满足求等等正数均满足求唯第二特性——值性
（4）定义中求函数某空心邻域定义般求处函数值否存者取什样值函数极限研究趋程中函数变化趋势函数该处函数值关考虑点a函数值否存取值限定
（5）定义中等式定义2时
（6）定义意义
例1． 设证明：
例2． 设讨时极限
例3． 证明 1）2）
例4． 证明
例5． 证明
例6． 证明
例7．证明
证明： 注意想意意意时必须远离零点时远离零点
取时
例8． 证明
证明： 先设证 取时
设 注意
取时
例9． 验证
证明：
例10．验证
证明：
需
需
限制
练：1）证明 2）证明
三单侧极限
1．引言
函数定义域某点左侧右侧解析式
函数某点仅侧定义
时讨类函数述点处极限呢？时前面定义（讨方法）点某侧讨讨时极限左右两侧分讨趋0时应考察函数值变化趋势趋0时应考察函数值变化趋势点右侧趋0时考察引进单侧极限概念
2．单侧极限定义
定义3 设函数定义定数时 称数函数趋时右极限记作
类似出左极限定义（）
注：右极限左极限统称单侧极限
3．例子
例1 讨函数左右极限
例2 讨左右极限
例3 讨函数处单侧极限
4．函数极限关系
定理31
证明： 必性 时特时
理时
充分性 时 时 令 时
注：1）利验证函数极限存定理31知：说明某函数极限存例2知存2）毫关系例2
[作业] 教材P47—48 2—7
§3函数极限存条件
教学章节：第三章函数极限——§3函数极限存条件
教学目：理解运海涅定理柯西准判定某函数极限存性
教学求：掌握海涅定理柯西准领会实质证明基思路
教学重点：海涅定理柯西准
教学难点：海涅定理柯西准运
教学方法：讲授辅练加深理解掌握运
教学程序：
引 言
讨数列极限存条件时家介绍单调界定理柯西收敛准说数列特殊函数函数否类似结果呢？者说否函数值变化趋势判断极限存性呢？节务
节结种类型函数极限进行述结类型函数极限成立
首先介绍结果——海涅(Heine)定理（结原）
结原
定理1（Heine定理）设定义存含极限数列极限存相等
证：必性 中取序列证
时
时
时
充分性果然时极限
令序列显然条件矛盾
判断存方法：中找两序列趋两极限存相等实际充条件充分性证明节定理行必性证明第七章讲完紧性证目前充分性
注1 数列数列极限定理函数极限结数列极限问题讨称结原数列极限性质推断函数极限性质
注2Heine定理说明存方法找数列
存找两极限数列存相等存
例1证明存
证明：令 然趋
然趋时没极限
注3．四种类型单侧极限相应结原表示更强形式时：
定理2设函数某空心邻域定义 极限递减数列
二单调界定理
相应数列极限单调界定理关述四类单侧极限相应定理现种类型例叙述
定理3 设定义单调界函数右极限存
注：定理3更具体叙述：定义函数
（1）递增界存
（2）递减界存
更般：
定理 设定义单调升存等
证明： 令 集合 界时 界时
1）
确界定义取
时函数单调升确界定义
2)
集合界 取 时
类似定义单调降 关右极限相应结果学行出定理表述证明
三函数极限Cauchy收敛准
定理４（Cauchy准） 设函数定义存存正数
证：(利极限定义)设
（）时
时
(利Heine原)设假设
（）
时
数列收敛准存设设数列存设
考虑数列易见
证存作两子列必收敛极限
结原
注：Cauchy准写出存充条件：存意存
例：Cauchy准说明存
证明： 取
例5 设[函数↘极限存
[界(简证留作业)
综述：Heine定理Cauchy准说明极限存方便工具
[作业] 教材P55 12346
提示 第1题反证法 第4题Heine原
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