基于牛顿—拉夫逊法的电力系统潮流计算毕业设计













毕 业 设 计（ 文）



基牛顿—拉夫逊法电力系统潮流计算

专业年级 动化

学 号

姓 名

指导教师

评 阅




20XX年X月

XX 学
科毕业设计（文）务书
（理 工 科 类）
Ⅰ毕业设计（文）题目：
基牛顿拉夫逊法电力系统潮流计算

Ⅱ毕业设计（文）工作容（综合运知识研究方案设计研究方法手段运应文献资料数分析处理图纸质量技术观点创新等方面详细说明）：



电力系统基务安全济户提供电电力系统正常运行状态分析计算中十分重容
课题拟采牛顿拉夫逊法进行电力系统稳态复杂系统潮流计算进行全面分析出结
开发工具采matlab具体算例建立模型进行仿真计算结果图表显示开发软件具定实性
参考文献源图书馆关电力系统稳态计算书籍中国期刊网中文文献外文期刊室查阅外文文献详细翻译1～2篇英文文献





Ⅲ进度安排：
第1～6周 资料翻阅掌握计算基理matlab编程
第7～12周 找实际系统进行计算
第13～17周 编程调试
第18～22周 分析撰写文
第23周 英文翻译
第24周 准备答辩

Ⅳ参考资料：
1 电力工程基础
2 电力系统稳态分析
3 中国期刊网文
4 英文文献
5 matlab编程

指导教师： 20XX 年 X 月 X 日
学生姓名： 专业年级：
系负责审核意见（选题否符合专业培养目标否结合科研工程实际综合训练程度容难度工作量等方面加审核）：





系负责签字： 年 月
日
摘
电力系统潮流计算电力系统稳态分析电力系统设计中重作潮流计算电力系统暂态分析基础潮流计算根定系统运行条件计算系统部分运行状况包括电压功率计算目前止利电子计算机进行电力系统潮流计算算法已出现中应广泛基牛顿——拉夫逊法潮流计算方法
利计算机进行电力系统潮流计算前需网络节点进行划分编号建立电力网络数学模型电力系统网络方程式文介绍节点导纳矩阵形成方法形成节点导纳矩阵前需电力网络进行等值电路变换中包括输电线路变压器等值电路变换
牛顿——拉夫逊潮流计算初值定较高求进行牛顿——拉夫逊迭代计算前先采高斯——赛德尔迭代法产生组较精确初值文详细介绍高斯——赛德尔法牛顿——拉夫逊法迭代计算程中容迭代方程式建立雅克矩阵计算功率电压计算迭代程中PV节点转化PQ节点时处理方法开发工具采Matlab编程语言采读写Excel电子表格方法进行数输入输出
文采5节点网络进行实例分析Matlab开发计算程序进行潮流计算计算结果表明程序算法具良收敛性实性


关键字：潮流计算节点导纳矩阵牛顿——拉夫逊高斯——赛德尔Matlab








Abstract
Power flow calculation has a very important role in power system steadystate analysis and power system design and it is also the basis of transient analysis in power system Flow calculation is based on given conditions of the power system and calculates the operational status of every part of the system including voltage and power So far there are kinds of algorithm which use the electronic computer in power flow calculation the most widely used algorithm is the Newton Raphson power flow calculation method
Before we the computer in power flow calculation we need to need to have the nodes of the network classified and numbered and establish a mathematical model of power network namely the power system network equations This paper describes the formation of the node admittance matrix In the formation of the node admittance matrix we need to transform the power network to equivalent circuit which includes transformation of transmission lines and transformers
The Newton Raphson power flow calculation has a relatively high demand for a given initial value So before the Newton Raphson iteration we use Gauss Seidel iterative method to produce a more precise initial value This paper describes the process of Gauss Seidel and Newton Raphson iteration The main contents are the establishment of iterative equation the calculation of Jacobian matrix and the calculation of power and voltage as well as how to deal with the situation when a PV node transform to a PQ node iteration processWe use the Matlab programming language as development tools the input and output of the data process in the Excel spreadsheets
In this paper we utilize a system contains 5 nodes to analyze the result of the calculation by the Matlab program shows that the algorithm is convergence and practice


Key Words：Power flow calculationnode admittance matrixNewton – Rap sonGauss – SeidelMatlab


目 录

第章 绪 1
电力系统潮流计算背景意义 1
二潮流计算发展历史现状 2
三潮流计算发展趋势 4
四文工作 5
第二章 电力网络数学模型 6
节点电压方程 6
二节点导纳矩阵形成 7
（）输电线路等值电路 7
（二）变压器等值电路 8
（三）节点导纳矩阵计算 9
第三章 电力系统潮流计算 11
迭代法简介 11
二高斯——赛德尔潮流计算 11
（）功率方程变量节点分类 12
（二）高斯——赛德尔潮流计算 16
（三）算例分析 21
三牛顿——拉夫逊潮流计算 24
（）牛顿——拉夫逊法简介 24
（二）潮流计算时修正方程 26
（三）算例分析 31
第四章 实例分析程序设计 34
输入数输出数 35
（）输入数 35
（二）输出数 36
二数学模型计算 36
（）支路导纳矩阵计算 36
（二）节点导纳矩阵计算 38
三潮流计算 38
（）高斯——赛德尔潮流计算 38
（二）牛顿——拉夫逊潮流计算 40
四程序设计 42
（）程序设计 42
（二）子程序设计 43
（三）数输入输出 44
第五章 总结 45
参考文献 46
附录 48
附录1 源程序 48
1 高斯——赛德尔潮流计算源程序 48
2 牛顿——拉夫逊潮流计算程序 50
附录2 英文文献翻译 63
英文文献 63
中文翻译 73













第章 绪
电力系统潮流计算研究电力系统稳态运行情况种计算根定运行条件系统界限情况确定整电力系统部分运行状态：母线电压元件中流功率系统功率损耗等等电力系统潮流计算电力系统稳态分析暂态分析障分析基础
电力系统潮流计算背景意义
电力系统规划设计现电力系统运行方式研究中需潮流计算定量分析较供电方案运行方式合理性性济性外电力系统潮流计算计算系统动态稳定静态稳定基础潮流计算电力系统种重基运算
电力系统潮流计算分离线计算线计算两种前者系统规划设计安排系统运行方式者正运行系统实时监视控制
电网设计规划阶段通潮流计算合理规划接入电源容量接入点合理规划电网结构选择功补偿方案满足规划水方式交流交换控制调峰调相调压求
编年制运行方式时预计负荷增长新设备投运基础进行潮流计算预计电网运行情况发现电网中薄弱环节供调度员日常调度控制参考电网改造提供建议
正常检修特殊运行方式潮流计算日常运行方式编制指导发电厂开机方式功功调整方案负荷调整方案制定提供满足电力网络正常运行求
预测事者电网负荷发生变化时电网运行状态变化制定相应处理方案
二潮流计算发展历史现状
数字计算机出现前电力系统潮流计算助交流台通工计算完成交流台模拟电力系统交流计算台计算潮流分布时计算员时监视系统部分运行状态否满足求果发现某部分合理立进行调整种方法直观工操作工作量易出错
电力系统潮流计算计算量非常巨通计算非常困难着电子计算机产生发展开始探索利计算机进行潮流计算方法50年代开始现潮流计算采方法方法围绕着潮流计算基求进行潮流计算求纳点：
（1）计算方法性收敛性
（2）计算机存量求
（3）计算速度
（4）计算方便性灵活性
中第求基求计算方法行计算次数计算程中逐渐减少计算次数越越电力系统潮流计算数学组元非线性方程式求解问题方法离开迭代潮流计算方法首先求收敛出正确答案电力系统结构参数特点着电力系统断扩潮流计算方程式阶数越越(般十阶甚百阶)样方程式数学方法保证出正确答案种情况称促电力系统计算员断线更方法重素
数字计算机解电力系统潮流计算开始阶段普遍采节点导纳矩阵基础逐次带入法导纳法方法原理较简单求数字计算机存较适应50年代电子计算机制造水时电力系统理水收敛性较差系统规模增时迭代次数急剧升计算中出现迭代收敛情况迫电力系统计算员转阻抗矩阵基础逐次代入法阻抗法
60年代初期数字计算机已发展第二代计算机存速度发生飞跃阻抗法采创造条件阻抗法求数字计算机贮存表征系统接线参数阻抗矩阵需量存阻抗法迭代次求次取阻抗矩阵中元素进行计算次迭代运算量两种情况电子计算机法适应
阻抗法改善系统潮流计算收敛性问题解决导纳法法求解系统潮流计算60年代获广泛应国电力系统设计运行研究做出贡献
阻抗法缺点占计算机 存较次迭代计算量系统断扩时缺点更加突出存16K计算机采阻抗法时计算100节点系统样国电力系统采阻抗法潮流计算系统进行相简化工作
克服阻抗法存速度缺点60年代中期发展阻抗矩阵基础分块阻抗法方法系统分割区系统计算机需存储区系统阻抗矩阵间联络线阻抗样幅度节省存容量提高计算速度
克服阻抗法缺点方法采牛顿—拉夫逊法牛顿—拉夫逊法数学中解决非线性方程式典型方法较收敛性解决电力系统潮流计算问题时导纳矩阵基础迭代程中保持方程式系数矩阵稀疏性提高牛顿—拉夫逊法潮流程序效率60年代中期牛顿—拉夫逊法中利佳序消法牛顿法收敛性存求速度方面超阻抗法成60年代末期广泛采优秀方法
时保证收敛国进行利非线性规划法计算潮流计算研究
着电力系统日益扩复杂化特电力系统逐步实现动控制需系统潮流计算速度存收敛性方面提出更高求
70年代潮流计算方法通途径继续前发展中较成功P—Q分解法方法根电力系统特点抓住矛盾出数学牛顿—拉夫逊法进行改进存容量计算速度方面前
迈进步32K存容量数字计算机计算1000节点潮流计算问题方法计算速度线计算做系统静态安全监测目前国电力系统采P—Q分解法潮流程序
20年潮流算法研究然非常活跃数研究围绕改进牛顿法PQ分解法进行外着工智理发展遗传算法工神网络模糊算法逐渐引入潮流计算中目前止新方法取代牛顿——拉夫逊法PQ分解法位电力系统规模断扩计算速度求断提高计算机行计算技术潮流计算中广泛应成重研究领域
三潮流计算发展趋势
现应广泛牛顿——拉夫逊法非线性潮流方程逐次线性化进步提高算法收敛性计算速度考虑采泰勒级数高阶项非线性项考虑进产生二阶潮流算法提出根直角坐标形式潮流方程二次代数方程特点提出采直角坐标保留非线性快速潮流算法
病态系统应非线性潮流计算方法会造成计算程振荡者收敛数学讲非线性潮流计算方程组解样提出潮流方程构造成函数求函数值问题称非线性规划优潮流计算方法优点原理保证计算程永远会发散果数学规划原理牛顿潮流算法机结合起优子法外优化系统运行行潮流解中挑选出满足定指标求佳方案优潮流问题优潮流种时考虑济性安全性电力网络分析优化问题OPF 电力系统安全运行济调度性分析量理电力定价等方面广泛应
外着直流输电技术研究发展直流输电网络交流混合电力系统潮流计算定发展着直流输电技术断应混合电力系统潮流计算
必获广阔发展空间
四文工作
文工作详细介绍牛顿——拉夫逊法原理算法设计Matlab程序编写牛顿拉夫逊法优缺点缺点改进方法
牛顿—拉夫逊法非线性方程式求解程变成反复相应线性方程式求解程通常称逐次线性化程牛顿—拉夫逊法核心次迭代先解修正方程然解节点电压变量（修正量）求节点新值（修正值）步骤：
（1）设组结点电压
（2）求功率电压衡量
（3）求雅克矩阵元素
（4）解修正方程式
牛顿——拉夫逊法重步计算雅克矩阵非线性潮流方程线性化关键步骤牛顿——拉夫逊法具收敛性计算速度快计算结果准确牛顿——拉夫逊法初值较高求定初值精确值相差较时计算结果会产生误差甚收敛解决问题通常先利高斯——赛德尔法进行计算计算结果作牛顿——拉夫逊法初值进行计算
文介绍电力网络数学模型建立利数字计算机进行潮流计算基础包括输电线路变压器数学模型建立节点导纳矩阵计算





第二章 电力网络数学模型
电力网络数学模型指网络关参数变量相互关系纳起组成反映网络性数学方程式组利计算机复杂电力系统潮流计算中节点电压方程节点电压方程节点电压表示支路电流根基尔霍夫电流定律列出方程组
节点电压方程
图21示电力系统等值网络图三节点

图21 电力系统等值网络图
根基尔霍夫电流定律该电路图列写节点电压方程：
（21）
式（21）图21示电力网络等值电路数学模型矩阵形式表式：
(22)
式（22）展开
(23)
式（22）中节点注入电流列量电力系统计算中节点注入电流理解该节点相连正电流源负电流源中规定注入该节点电流正流
出该节点电流负节点电流源相连注入电流零图21中节点3节点电压列量节点电压该节点参考电压阶节点导纳矩阵等网络中出参考外节点数
二节点导纳矩阵形成
节点导纳矩阵利计算机进行潮流计算中具十分重位电力网络数学表示形式电力网络拓扑结构系列等效形成类似图21示等值电路等值电路求解程中输电线路变压器等值电路求取工作
（）输电线路等值电路
输电线路等值电路般图22示形式表示

图22 输电线路等值电路
导纳单位西门子计算输电线路等值电路时般先知道线路长度单位长度线路阻抗单位长度线路导纳100公里输电线路般忽略导纳图22中等零等线路阻抗倒数
线路长度100公里300公里间时考虑线路导纳导纳集中参数表示时计算方法：
(24)
线路长度300公里时考虑线路分布参数时线路等值电路计算方法：
(25)
中称线路特性阻抗成线路传播常数
(26)
（二）变压器等值电路
变压器等值电路计算中变压器做理想变压阻抗串联忽略变压器漏抗理想变压器变实际变压器变阻抗般折算低压侧变压器短路阻抗串联理想变压器低压侧图23示

图23 变压器等值电路
图23示等值电路然直接形成节点导纳矩阵需进步化图22示等值电路时计算方法：
(27)
三绕组变压器中绕组成低压绕组外两绕组成高压绕组绕组变压器化两双绕组变压器图24示
图24 三绕组变压器等值电路
三绕组变压器化两双绕组变压器双绕组变压器等值电路求法进行进步化简
（三）节点导纳矩阵计算
电力网络拓扑化图21示等值电路进行节点导纳矩阵计算节点导纳矩阵求取时注意点
（1）节点导纳矩阵方阵阶数等网络中参考外节点数
节点导纳矩阵稀疏矩阵非零非角元数等该行相应节点连接接支路数图21示节点2应第二行非零非角元数2
（2）节点导纳矩阵角元等该节点连接导纳总图21中节点2应角元
（3）节点导纳矩阵非角元等连接节点支路导纳负值图21示

（4）节点导纳矩阵般称矩阵

























第三章 电力系统潮流计算
迭代法简介
电力系统计算中迭代法求解非线性方程某情况迭代法适线性方程面线性方程例介绍迭代法
例 31解方程组

解消法求解面迭代法求解该方程组变形：

取初值代入式右边左边解 然代入式解组解三次迭代
误差已减千分
二高斯——赛德尔潮流计算
建立节点导纳矩阵进行潮流计算潮流计算额思想迭代法关键建立方程组工程实践中通常已知节点电压节点电流节点功率实际计算中例外迭代解非线性节点电压方程（*表示复数轭）
（）功率方程变量节点分类
设简单系统图31示图中分母线12等值电源功率分母线12负荷功率合成分母线12注入功率应电流分母线12注入电流
(31)

图31 简单系统等值网络
（a）简单系统（b）简单系统等值网络（c）注入功率注入电流
(32)
令
(33)
式（33）代入式（32）展开功功率功功率分列
(34)
式（34）简单系统功率方程
式（34）见功率方程中母线电压相位角差形式出现决定功率相相位角相功率角绝相位角绝功率角
式（34）
(35)
母线电压相位角相相位角函数
式（34）见四组功率方程组中网络参数外十二变量：
负荷消耗功功功率——
电源发出功功功率——
母线节点相位角——
非已知中八变量否法求解
十二变量中负荷消耗功功功率法控制取决户称控变量扰动变量称扰动变量变量出现事先没预计变动时系统偏离原始运行状况控变量扰动变量列量表示
余八变量中电源发出功功功率控制变量称控制变量控制变量列量表示
余四变量——母线电压节点电压相位角——受控制变量控制变量中受控制受控制四变量系统状态变量状态变量般列量表示
变量种分类适节点复杂系统种复杂系统变量数增加中扰动变量控制变量状态变量换言扰动量控制量状态量阶列量
似变量做分类已知定扰动变量控制变量运功率方程式（34）解出状态变量实然已述功率方程中母线节点电压相位角相值出现致式（34）中变化样时功率数值变运求取绝相位角述系统功率损耗身状态变量函数解状态变量前确定功率损耗
克服述困难变量定稍作调整：
节点系统中定控制变量余控制变量定控制变量系统功率保持衡
系统中定状态变量求确定状态变量定通常零实际相取节点s电压相量参考轴
样原方程中解出未知量实际解应满足约束条件约束条件保证系统正常运行缺少中控制变量约束条件

没电源节点

限制条件取决系列技术济素应根实际情况定
状态变量约束条件：

条件表示系统中节点电压越出定范围系统运行基求保证良电压质量
某状态变量约束条件

条件保证系统运行稳定性求
扰动变量控没约束
考虑约束条件某节点定控制变量留状态变量求定节点留求实意味着电源调节发出功功率保证连接节点电压定值
样系统节点定变量分三类
第类称PQ节点类节点等值负荷功率等值电源功率定注入功率定求节点电压相位角属类节点定功功功率发电厂母线没电源变电母线
第二类节点称PV节点类节点等支负荷等值电源功功率定注入功功率定等值负荷功功率节点电压定求等值电源功功率求注入功功率节点电压相位角定功功率储备发电厂定功功率电源变电母线选作PV节点
第三类节点称衡节点潮流计算时般设衡节点节点等值负荷功率定节点电压相位角定求等值电源功率求注入功率担负调整系统频率务发电厂母线选作衡节点
进行计算时衡节点少PQ节点量PV节点较少甚没
（二）高斯——赛德尔潮流计算
1956年成功运数字计算机计算潮流分布先出现许种结算方法目前常运节点导纳矩阵牛顿——拉夫逊法该法派生PQ分解法牛顿——拉夫逊法初值选取求严格某程序第二次迭代采高斯——赛尔德法估计初值高斯——赛尔德法具体介绍
高斯——赛尔德法较简单直接迭代解节点电压方程节点电压方程展开
(36)
移项
(37)
式（37）进步展开高斯——赛尔德法迭代求解例节点1衡节点余PQ节点网络式展开式（38）
(38)
式中 ——定节点注入功率轭值
——定衡节点电压
——迭代次数
式高斯——塞尔德法解方程式组时标准模式书写种模式式中等号右侧采次迭代值等号右侧时采次迭代值采次迭代值
迭代解式（38）步骤：先假设组般设代入第式解然…代入第二式解…代入第三式解次类推直解第次迭代第次迭代结束时解
解组次代入式（38）进行第二次迭代先代入第式解然…代入第二式解
…代入第三式解次类推直解第二次迭代第二次迭代结束时解
断迭代直某次迭代解前次迭代值相差事先定允许误差停止条件满足迭代结束标志
网络中会PV节点中PV节点注入功功率受电源供应功功率限制节点计算步骤应修改
设节点PV节点已定次迭代求应首先求修正求电压改求相位改动然节点起代入式（39）求取式（310）计算
(39) (310)
求代入式求取
(311)
显然两式中应修正值列出两式时设PV节点编号
迭代程中会出现越限式（310）求满足情况考虑实践中节点电压限制节点功率限制严格出现种情况时代入式（311）求取求样修正值换言时满足约束条件满足定值事实时PV节点变PQ节点
迭代收敛计算衡节点功率
(312)
计算线路流动功率
(313a)
(313b)
线路功率损耗
(314)
样式（311）求PQ节点电压相位式（310）（311）求PV节点功功率电压相位角式（312）求衡节点视功率式（313）（314）求线路流动功率换言网络中支路功率功率损耗已确定潮流分布计算已完成

图32 高斯——赛德尔程序框图

高斯——赛德尔潮流计算程序流程图图32示图32作说明
（1）设节点123…m中衡节点s外余PQ节点节点m+1m+2…n全PQ节点输入数时节点编号述求进行编号
（2）框1框2步骤调高斯——塞尔德子程序前完成调高斯塞尔德程序时输入数：
衡节点电压
PQ节点视功率
PV节点功功率节点电压
PV节点功功率限额
（3）框4迭代次数k设置防止迭代收敛时终止迭代变量f标志变量某PV节点计算程中没满足限制条件转化PQ节点时f中应位变1否0
（4）框8修正时应保持始终等定PV节点电压相位角进行修正
（三）算例分析
例32三节点等值网络图33示图中节点1衡节点定10+j0节点2PQ节点定节点3PV节点定支路导纳示图33

图33 三节点等值网络
解图33已转换等值网络先建立矩阵阶矩阵中第123节点分应第123行（列）参考应第4行（列）元素表示连接第节点第节点导纳者表示连接第节点间导纳值称矩阵支路导纳矩阵区节点导纳矩阵图33矩阵

然根前文133节中介绍节点导纳矩阵形成方法节点导纳矩阵

设定精确度00000110002数代入根图32流程图编写程序中进行计算计算结果
表31 第次迭代节点电压
节点编号
1
2
3
节点电压
10000+j00000
09680j00260
10988+j00518
电压变化量dumax：dumax00519

表32 第二次迭代节点电压
节点编号
1
2
3
节点电压
10000+j00000
09662j00260
10987+j00534
电压变化量dumax：dumax00018
表33 第三次迭代节点电压
节点编号
1
2
3
节点电压
10000+j00000
09661j00260
10987+j00534
电压变化量dumax：dumax
表34 第四次迭代节点电压
节点编号
1
2
3
节点电压
10000+j00000
09661j00260
10987+j00534
电压变化量dumax：dumax
计算结果出四次迭代计算结果精确度达dumax出迭代计算快收敛
迭代计算结束根式（310）式（312）计算PV节点功功率衡节点视功率根式组（313）计算线路视功率根式（314）计算线路功率损耗计算结果：
表35 节点注入功率
节点编号
1
2
3
节点注入功率
04437+j02405
08000j06000
04000+j00624
表36 线路流动功率
i
j
1
2
3
1
0
08107+j06429
03670j4024
2
08000j6000
0
0
3
03818+j00624
0j03993
0

表37 线路损耗功率
i
j
1
2
3
1
0
00107+j00429
00147j03400
2
00107+j00429
0
0j03993
3
00147j03400
0j03993
0

三牛顿——拉夫逊潮流计算
牛顿——拉夫逊广泛采解非线性方程式组方法前广泛采计算潮流分布方法里非线性方程式组非线性功率方程
（）牛顿——拉夫逊法简介
设非线性方程式组
(315)
似解…设似解精确解分相差…
关系式应该成立
(316)
式中式泰勒级数展开第式例

式中…分表示…代入偏导数表示式时计算包含…高次方高阶偏导数积函数果初值精确解相差略式（316）写：
(317)
组线性方程式组线性化方程式组成修正方程式组改写矩阵形式：
(318)
简写
(319)
式中称雅克矩阵代入中元素然运解线性矩阵方程解法求求第次迭代新值
代入求断迭代直满足精确度求
运种方法计算时初值选择较接精确解否迭代程收敛正运牛顿——拉夫逊法潮流计算中第二次迭代先采高斯——赛德尔法较精确初值然牛顿——拉夫逊法进行迭代
（二）潮流计算时修正方程
运牛顿——拉夫逊法计算潮流分布时节点导纳矩阵形成衡节点线路功率计算运高斯——赛德尔法时相知识迭代程迭代程中两种方法应基方程式高斯——赛德尔展开电压方程式牛顿——拉夫逊法时展开功率方程式
(320)
式中第部分定节点注入功率第二部分节点电压求节点注入功率二者差节点功率衡量解决问题节点功率衡量趋零时节点电压应具值式（320）式（315）式（315）中应里节点功率衡量式（315）中…应里节点电压
建立种应关系仿式（318）列出修正方程式迭代求解节点电压直角坐标系形式表示时修正方程建立述
节点电压直角坐标表示时令式（320）改写
(321)
实部虚部分开写
(322a)
(322b)
鉴系统中电压定PV节点应列出
(322c)
式中第部分定PV节点节点电压方第二部分求节点电压方二者差做节点电压衡量
具节点网络式组（322）方程式前述节点编号划分法式（322a）包括衡节点外节点功功率衡量表示式式（322b）包括PQ节点功功率衡量表示式式（322c）类型包括PV节点电压衡量表示式衡节点功率电压包括方程式组衡节点注入功率事先定衡节点电压已知必列节点电压衡量方程
样建立类似式（318）修正方程式
(323)
式中分式组（322）示式中雅克矩阵元素分
(324)
时：
(325a)
时偏导数表示更加简洁先引入节点注入电流表示式
(326)
然
(325b)
牛顿——拉夫逊潮流计算方法牛顿——拉夫逊潮流计算程序框图图34示
图34作点说明
（1）原始数输入节点导纳矩阵形成进入牛顿——拉夫逊潮流计算子程序前完成
（2）框2中较精确节点电压初值先调高斯——赛德尔潮流计算子程序较精确节点电压初值然进行牛顿——拉夫逊潮流计算
（3）迭代次数k设1000次迭代减1直零果迭代收敛k减零时程序动终止
（4）雅克矩阵计算程中注意PV节点转化PQ节点情况处理方法高斯——赛德尔中相

图34 牛顿——拉夫逊潮流计算流程图
（三）算例分析
例33五节点等值网络图35示图中节点1衡节点定节点PQ节点定节点导纳矩阵已知直角坐标系表示节点电压进行牛顿——拉夫逊潮流计算

图35 五节点等值网络

解根已知条件限制输入数输入matlab工作空间然调牛顿——拉夫逊潮流计算程序进行计算
进行牛顿——拉夫逊潮流计算前先调高斯——赛德尔潮流计算程序计算初值高斯——赛德尔潮流计算精确度定牛顿——拉夫逊潮流计算精确度定进计算出结果
高斯——赛德尔潮流计算结果：
迭代次数23次精确度


表38 节点注入功率：
节点编号i
1
2
3
4
5
节点功率

12902
j00745
02000
+j02000
04500
j01500
04000
j00500
06000
j01000
表39 节点电压：
节点编号i
1
2
3
4
5
节点功率
10600
10463
j00511
10204
j00889
10193 j00947
10122 j01088i
牛顿——拉夫逊潮流计算结果：
迭代次数2次精确度
表310 节点注入功率：
节点编号i
1
2
3
4
5
节点功率

12947 j00743
02000
+j02000
04500
j01500
04000
j00500
06000
j01000
表311 节点电压：
节点编号i
1
2
3
4
5
节点功率
10600
10462 j00512
10203 j00892
10192 j00950
10121 j01090
计算结果出牛顿——拉夫逊潮流计算计算精确度收敛速度远高斯——赛德尔潮流牛顿——拉夫逊潮流计算初值求较高高斯——赛德尔潮流计算输出结果精度001时牛顿——拉夫逊潮流计算进行1000次迭代然收敛应牛顿——拉夫逊潮流计算时保证够收敛必须提供足够精确初值通提高高斯——赛德尔潮流计算输出精确度实现通高斯——赛德尔潮流计算牛顿——拉夫逊潮流计算进行配合减迭代次数保证计算收敛提高计算精确度
根式（310）（312）计算PV节点功功率衡节点视功率根（313）计算线路视功率根式（314）计算线路功率损耗
表312 线路流动功率
i

j
1
2
3
4
5
1
0

08877 j01140
04070 j00221
0 j00618
0 j00618
2
08747 +j00011
0
02459 j00359i
02783 j00417
05472 j00034
3
03951 j00616
02435 j01045
0
01886 j00992
0 j00577
4
00000 j00576
02750 j00959
01883 j00150
0
00633 j00543
5
00000 j00414
05370 j00976
00000 j00414
00630 j00439
0
表313 线路流动功率
i

j
1
2
3
4
5
1
0

00130 j01128
00119 j00838
00000 j01194
00000 j01032
2
00130 j01128
0
00024 j01404
00033 j01376
00102 j01009
3
00119 j00838
00024 j01404
0
00004 j01143
00000 j00991
4
00000 j01194
00033 j01376
00004 j01143
0
00003 j00982
5
00000 j01032
00102 j01009
00000 j00991
00003 j00982
0

第四章 实例分析程序设计
前面两章已介绍电力系统数学模型建立潮流计算理步骤章通实例利述方法电力网络进行实例分析
例41图41示电力网络拓扑结构中节点1衡节点节点234PQ节点节点5PV节点节点间输电线路长度输电线路单位长度（1千米）阻抗导纳变压器变阻抗（折算低压侧）值表41示

图41 电力网络实例
表41 电力网络参数
节点编号i
节点编号j
阻抗()
导纳
长度
变
3
1
0+j003
0
0
105
2
3
001+j0035
0
10
0
2
4
00002+j000125
0+j00025
200
0
3
4
00004+j00015
0+j00025
200
0
4
5
0+j00015
0
0
105
表41中果节点ij间变压器阻抗变压器折算低压侧阻抗忽略变压器漏抗时线路长度0变0电力网络中支路表中重复出现
例图41中衡节点1电压105+j0PV节点5功功率5电压幅值105PQ节点234视功率分16+j0837+j132+j1
输入数输出数
输入数输出数数组形式Excel文档中读写组织输入数输出数编写程序关键步
（）输入数
潮流计算输入数：
电力网络参数矩阵data数组织形式数含义表41示
PQ节点视功率量S_PQ中包括衡节点视功率（暂定0）
PV节点功功率量P_PV
PV节点电压幅值量U_PV
电网节点数n
PQ节点数m（包括衡节点）
衡节点编号s
衡节点电压us
PV节点功功率值Qmax
PV节点功功率值Qmin
精确度epxl
根例41组织输入数：




n5
m4

Qmax10
Qmin01
epxl000001
（二）输出数
输出数
节点注入功率s_node量表示节点注入功率
节点电压u_node量表示节点节点电压
线路流动功率Sij矩阵表示节点i流节点j视功率
线路损耗功率dSij矩阵表示节点i节点j间线路功率损耗
二数学模型计算
建立电力网络数学模型目电力网络节点导纳矩阵中工作包括输电线路等值电压变压器等值电路计算支路导纳矩阵计算节点导纳矩阵计算中支路导纳矩阵(n+1)阶方阵前n行（列）应着网络n节点第(n+1)行（列）应着网络参考元素表示连接第节点第节点导纳者表示连接第节点间导纳值
（）支路导纳矩阵计算
411节组织输入数输入潮流计算程序第步数计算支路导纳矩阵计算支路导纳矩阵流程图图42示

图42 支路导纳矩阵计算流程图
411节数输入潮流计算程序支路导纳矩阵：

（二）节点导纳矩阵计算
支路导纳矩阵节点导纳矩阵Y容易求出223节介绍节点导纳矩阵求法求例41节点导纳矩阵

三潮流计算
计算出电力网络节点导纳矩阵调潮流计算子程序进行潮流计算计算电力网络节点注入功率节点电压线路流动功率线路损耗功率
（）高斯——赛德尔潮流计算
设定高斯——赛德尔潮流计算精确度epxl输入数YS_PQP_PVU_PVnmsusQmaxQminepxl输出数s_nodeu_nodeSijdSij计算出结果：




迭代次数40精确度
表42 节点注入功率s_node
节点编号
1
2
3
4
5
节点注入功率s_node
33133 + j19998
16000 j08000
37000 j13000
20000 j 10000
50000 + j15104

表43 节点电压u_node
节点编号
1
2
3
4
5
节点电压u_node
10500
08670 j 01726
10425 j00994
10736 +j 01317
10331 + j01876

i
表44 线路流动功率Sij
Sij
j
1
2
3
4
5
1
0

0 + j17500
33133 + j19998
0 + j17500
0 +j 17500
2
00000 j01954
0
03531 j04932
12472 j05021
00000 j01954
3
33133 j18664
03804 j15387
0
07673 j17589
00000 j19321
4
00000 j41222
13317 j32877
08124 j41261
0
41498 j18304
5
0 + j35000
0 + j35000
0 + j35000
41498 + j15108
0





表45 线路损耗功率dSij
i
dSij
j
1
2
3
4
5
1
0

00000 + j15546
0 +j 01334
00000 j23722
0 + j52500
2
00000 + j15546
0
00273 j20319
00844 j37898
00000 + j33046
3
0 +j 01334
00273 j20319
0
00451 j58850
00000 + j15679
4
00000 j23722
00844 j37898
00451 j58850
0
0 j03196
5
0 + j52500
00000 + j33046
00000 + j15679
0 j03196
0
（二）牛顿——拉夫逊潮流计算
设定牛顿——拉夫逊潮流计算精确度epxl输入数YS_PQP_PVU_PVnmsusQmaxQminepxl电压初值431节中计算出节点电压u_node输出数s_nodeu_nodeSijdSij计算出结果：
迭代次数1精确度
表45 节点注入功率s_node
节点编号
1
2
3
4
5
节点注入功率s_node
33133 + j19998
16000 j08000
37000 j13000
20000 j 10000
50000 + j 02000
表46 节点电压u_node
节点编号
1
2
3
4
5
节点注入功率s_node
10500
08670 j 01726
10425 j00994
10736 +j 01317
10331 + j01876

i
表47 线路流动功率Sij
Sij
j
1
2
3
4
5
1
0

0 + j17500
33133 + j19998
0 + j17500
0 +j 17500
2
00000 j01954
0
03531 j04932
12472 j05021
00000 j01954
3
33133 j18664
03804 j15387
0
07673 j17589
00000 j19321
4
00000 j41222
13317 j32877
08124 j41261
0
41498 j18304
5
0 + j35000
0 + j35000
0 + j35000
41498 + j15108
0

表48 线路损耗功率dSij
i
dSij
j
1
2
3
4
5
1
0

00000 + j15546
0 +j 01334
00000 j23722
0 + j52500
2
00000 + j15546
0
00273 j20319
00844 j37898
00000 + j33046
3
0 +j 01334
00273 j20319
0
00451 j58850
00000 + j15679
4
00000 j23722
00844 j37898
00451 j58850
0
0 j03196
5
0 + j52500
00000 + j33046
00000 + j15679
0 j03196
0

四程序设计
程序编写Matlab语言程序编写工作程序设计编写子程序设计编写数输入输出计算结果保存
（）程序设计
程序完成数输入输出调子程序协调子程序运行程序流程图图42示

图42 程序流程图
步骤1中需调输电线路变压器数学模型计算子程序步骤3中需调高斯——斯德尔潮流计算子程序输入数初步处理包括根数获电网基参数支路数电网参数转化潮流计算求形式
（二）子程序设计
子程序包括：
（1） 输电线路数学模型计算子程序：line_para
（2） 变压器数学模型计算子程序：transfer_para
（3） 支路导纳矩阵计算子程序：Jmatrix
（4） 节点导纳矩阵计算子程序：Ymatrix
（5） 牛顿——拉夫逊潮流计算子程序：DYnewton
（6） 高斯——赛德尔潮流计算子程序：DYgaosai
（7） 写文件子程序：write
中输电线路数学模型计算子程序算法221节中作详细介绍变压器数学模型建立子程序算法222节中作详细介绍支路导纳矩阵计算子程序流程图图42示牛顿——拉夫逊潮流计算子程序流程图图34示高斯——赛德尔潮流计算子程序流程图图32示写文件子程序完成计算结果保存计算结果保存excel文件中计算完支路导纳矩阵节点导纳矩阵Y计算容易223节介绍节点导纳矩阵求法编写Ymatrix子程序：
function YYmatrix(Jn)
n网络节点数
J：支路导纳矩阵
fprintf('节点导纳矩阵计算开始\n')
Yzeros(nn)
for i1n
for j1n
if(ij)
Y(ij)sum(J(i))
else
Y(ij)J(ij)
end
end
end
fprintf('节点导纳矩阵计算结束\n')
子程序设计方法子程序分完成工作整潮流计算完成
（三）数输入输出
输入数首先卸载excel文件中组织形式411节述计算结果保存excel文件中容412节述excel中加载Matlab宏excel中调Matlab程序完成计算
























第五章 总结
文详细介绍牛顿——拉夫逊潮流计算方法中存缺点进行完善333节算例分析出牛顿——拉夫逊法具收敛性计算速度快特牛顿——拉夫逊法高斯——赛德尔法进行综合运时计算速度精度满足更高求
进行电力系统分析输电线路损耗电力网络功优化电力系统障分析分析中潮流计算广泛应暂态类分析中电力网络拓扑结构发生变化节点导纳矩阵需进行重新计算输入数需进行更新然进行潮流计算分析计算结果出结加快计算速度节点导纳矩阵进行部分修改必进行重新计算
牛顿——拉夫逊法迭代程中果雅克矩阵行列式值较会精确度降时高斯——赛德尔牛顿——拉夫逊法总充分利两者优点计算更迅速准确采优化牛顿——拉夫逊法弥补牛顿——拉夫逊法存缺点













参考文献
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[5] 吴天明彭彬 MATLAB电力系统设计分析 [M] 国防工业出版社200401
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[7] 梁海 智潮流分析系统研究开发 [D] 华北电力学电力系统动化专业20041218
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[18]D A Arzamastsev P I Bartolomej A M Holjan Automatic control system and optimization of modes of electric power systems MoscowVysshaya Shkola 1983
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[21]V M Gornshtejn B P Miroshnichenko AV Ponomarev Methods of power system mode optimization Moscow Energiya 1981 p 336
















附录
附录1 源程序
1 高斯——赛德尔潮流计算源程序
高斯——赛尔德潮流计算
[s_nodeu_node]gaosai(YmnsS_PQP_PVU_PVusQmaxQminexpl)
返回值：s_node 节点功率
u_node： 节点电压
输入值： Y： 导纳矩阵
m： PQ节点数包含衡节点
n： 总结点数
s： 衡节点编号般定1号编号
S_PQ PQ节点视功率[1m]中衡节点视功率暂定0
P_PV：PV节点功功率[m+1n]
U_PV PV节点电压定值幅值没相位角实数[m+1n]
us 衡节点电压定值复数
QmaxPV节点功功率值
Qmin：PV节点功功率值
epxl 电压变量dumax值规定潮流计算精度实数
function [u_node]DYgaosai(YmnsS_PQP_PVU_PVusQmaxQminepxl)
**************************************************************************
高斯塞尔德潮流计算程序
fprintf('高斯——塞尔德潮流计算开始\n')
Uones(1n)节点电压初始值
U(s)us电压初始值衡节点初始电压设定值
k1000设置迭代次数
dumax0电压变化量实数
flagzeros(1nm)PV节点计算程中转化PQ节点标志PV转化PQ节点时相应标志位置1
Q_PVones(1nm)PV节点功功率
Q_PVQ_PV*02
Ss0衡节点视功率
for am+1n
U(a)U_PV(am)第a节点PV节点暂时PV节点电压定值赋节点电压初始值相角暂时0
end
while(k>1)
for i1n
uU(i)保存U(i)初值求dudumax做准备
if(is)第i节点否衡节点？
ii+1d第i节点衡节点跳
else 第i节点衡节点进行处理
A0
for a1n
if(a~i)
AA+Y(ia)*U(a)
end
end
a1
if(i>m+1 && flag(im)0) 第i节点否PV节点？
Q_PV(im)imag(U(i)'*Y(ii)*U(i)+U(i)'*A)
if(Q_PV(im)Qmin)
Upv((P_PV(im)Q_PV(im)*j)U(i)A)Y(ii)
angangle(Upv)
U(i)abs(U(i))*(cos(ang)+sin(ang)*j)
else
if(Q_PV(im)>Qmax)
Q_PV(im)Qmax
flag(im)1
fprintf('PV节点gQQmax转化PQ节点\n'i)
elseif(Q_PV(im) Q_PV(im)Qmin
flag(im)1
fprintf('PV节点gQQmin转化PQ节点\n'i)
end
U(i)((P_PV(im)Q_PV(im)*j)U(i)'A)Y(ii)
end
else
if(i U(i)(S_PQ(i)'U(i)'A)Y(ii)
elseif(i>m+1 && flag(im)1)
U(i)((P_PV(im)Q_PV(im)*j)U(i)'A)Y(ii)
end
end
end
duabs(U(i)u)
if(du>dumax)
dumaxdu
end
end
i1
if(dumax fprintf('迭代次数g\n'1000k+1)
break
else
kk1
dumax0
end
end
if(k0)
fprintf('高斯——塞尔德潮流计算收敛\n')
end
for i1n 计算衡节点视功率
SsSs+Y(si)'*U(i)'
end
SsSs*U(s)衡节点视功率
for i1n计算节点视功率
if(is)
s_node(i)Ss
else
if(i s_node(i)S_PQ(i)
elseif(i>m+1)
s_node(i)P_PV(im)+Q_PV(im)*j
end
end
end
s_node
u_nodeU
2 牛顿——拉夫逊潮流计算程序
牛顿——拉夫逊潮流计算
直角坐标系
输出值：s_node：节点视功率
u_node：节点电压
输入值：Y： 导纳矩阵
m： PQ节点数包含衡节点
n： 总结点数
s： 衡节点编号般定1号编号
S_PQ PQ节点视功率[1m]中衡节点视功率暂定0
P_PV：PV节点功功率[m+1n]
U_PV PV节点电压定值幅值没相位角实数[m+1n]
us 衡节点电压定值复数
QmaxPV节点功功率值
Qmin：PV节点功功率值
epxl 电压变量dumax值规定潮流计算精度实数
function [s_nodeu_node]DYnewton(YmnsS_PQP_PVU_PVusQmaxQminepxl)
****************************************************************
牛顿——拉夫逊法程序
牛顿——拉夫逊法程序
UDYgaosai(YmnsS_PQP_PVU_PVusQmaxQmin0000001)利高斯塞尔德法较准确节点电压初值
fprintf('牛顿——拉夫逊潮流计算开始\n')
dPQV2zeros(2*(n1)1)衡量量
Ykbzeros(2*(n1)2*(n1))雅克矩阵
Izeros(1n)
dUzeros(2*(n1)1)电压衡量
dumax0
k1000设置迭代次数
Ss0衡节点视功率
Szeros(1n)
Q_PVones(1nm)PV节点功功率
Q_PVQ_PV*02
i1
flagzeros(1nm)PV节点计算程中转化PQ节点标志PV转化PQ节点时相应标志位置1
while(k>1)迭代次数控制
计算节点衡量dPQV2
for i1n i节点编号
*******************************
A0
for a1n
AA+(Y(ia)'*U(a)')
end
a1
AU(i)*A
***************************************
if(i dPQV2(2*i1)real(S_PQ(i))real(A)PQ节点功功率衡量
dPQV2(2*i)imag(S_PQ(i))imag(A)PQ节点功功率衡量
else
if(i>s+1 && i dPQV2(2*(i1)1)real(S_PQ(i))real(A)PQ节点功功率衡量
dPQV2(2*(i1))imag(S_PQ(i))imag(A)PQ节点功功率衡量
elseif(i>m+1 && i dPQV2(2*(i1)1)P_PV(im)real(A)PV节点功功率衡量
dPQV2(2*(i1))U_PV(im)^2abs(U(i))^2PV节点电压方衡量
end
end

end
i1
节点衡量dPQV2计算结束
for i1n计算节点注入电流I
if(i for a1n
I(i)I(i)+Y(ia)*U(a)
end
a1
elseif(i>s+1)
for a1n
I(i)I(i)+Y(ia)*U(a)
end
a1
end
end
i1
for i1n 计算雅克矩阵
if(i for a1n
if(a~i)
if(a Ykb(2*i12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i)) PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i)) PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*a1)Ykb(2*i12*a)PQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*i2*a)Ykb(2*i12*a1)PQ节点Lia参数Hia
else
if(a>s+1 && aa1i变
Ykb(2*i12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*(a1)1)Ykb(2*i12*(a1))PQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*i2*(a1))Ykb(2*i12*(a1)1)PQ节点Lia参数Hia
elseif(a>m+1 && aa1i变
Ykb(2*i12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*(a1)1)Ykb(2*i12*(a1))PV节点Jia参数Nia
Ykb(2*i12*(a1))Ykb(2*i12*(a1)1)PV节点Lia参数Hia
end
end
elseif(ai)
if(a Ykb(2*i12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*a1)Ykb(2*i12*a)2*real(I(i))PQ节点Jia参数
Ykb(2*i2*a)Ykb(2*i12*a1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数
else
if(a>s+1 && a Ykb(2*i12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*(a1)1)Ykb(2*i12*(a1))2*real(I(i))PQ节点Jia参 数Nia2real（I(i)）
Ykb(2*i2*(a1))Ykb(2*i12*(a1)1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数Hia+2imag(I(i))
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*i12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*i12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*i2*(a1)1)Ykb(2*i12*(a1))2*real(I(i))PQ节点Jia参数Nia2real（I(i)）
Ykb(2*i12*(a1))Ykb(2*i12*(a1)1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数Hia+2imag(I(i))
end
end

end
end
a1
else
if(i>s+1 && ii1
for a1n
if(a~i)
if(ai1a变
Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)Ykb(2*(i1)12*a)PQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)2*a)Ykb(2*(i1)12*a1)PQ节点Lia参数Hia
else
if(a>s+1 && ai1a>a1
Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))PQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)PQ节点Lia参数Hia
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))PQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)12*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)PQ节点Lia参数
Hia
end
end
elseif(ai)
if(ai1a变
Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)Ykb(2*(i1)12*a)PQ节点Jia参数
Ykb(2*(i1)2*a)Ykb(2*(i1)12*a1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数
else
if(a>s+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))2*real(I(i))PQ节点Jia参数Nia2real(I(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数Hia+2*imag(I(i))
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))2*real(I(i))PQ节点Jia参数Nia2real(I(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)+2*imag(I(i))PQ节点Lia参数Hia+2*imag(I(i))
end
end

end
end
a1
**************************************************************
else
if(i>m+1 && flag(im)0)果i号节点PV节点
for a1n
if(a~i)
if(ai1a变
Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)0PV节点Ria参数
Ykb(2*(i1)2*a)0PV节点Sia参数
else
if(a>s+1 && ai1a>a1
Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)0PV节点Ria参数
Ykb(2*(i1)2*(a1))0PV节点Sia参数
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PV节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)0PV节点Ria参数
Ykb(2*(i1)2*(a1))0PV节点Sia参数
end
end
elseif(ai)
if(a Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PV节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PV节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)2*imag(U(i))PV节点Ria参数2*imag(U(i))
Ykb(2*(i1)2*a)2*real(U(i))PV节点Sia参数2*real(U(i))
else
if(a>s+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)2*imag(U(i))PV节点Ria参数2*imag(U(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))2*real(U(i))PV节点Sia参数2*real(U(i))
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)2*imag(U(i))PV节点Ria参数2*imag(U(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))2*real(U(i))PV节点Sia参数2*real(U(i))
end
end

end
end
a1
elseif(i>m+1 && flag(im)1)果该PV节点已转化PQ节点PQ节点计算方法计算雅克矩阵
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
for a1n
if(a~i)
if(ai1a变
Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)Ykb(2*(i1)12*a)PVPQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)2*a)Ykb(2*(i1)12*a1)PV节点Lia参数Hia
else
if(a>s+1 && ai1a>a1
Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))PVPQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)PVPQ节点Lia参数Hia
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))PVPQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))PVPQ节点Jia参数Nia
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)PVPQ节点Lia参数Hia
end
end
elseif(ai)
if(a Ykb(2*(i1)12*a1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PVPQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*a)real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PVPQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*a1)Ykb(2*(i1)12*a)2*real(I(i))PVPQ节点Jia参数Nia2*real(I(i))
Ykb(2*(i1)2*a)Ykb(2*(i1)12*a1)+2*imag(I(i))PVPQ节点Lia参数Hia+2*imag(I(i))
else
if(a>s+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))2*real(I(i))PVPQ节点Jia参数Nia2*real(I(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)+2*imag(I(i))PVPQ节点Lia参数Hia+2*imag(I(i))
elseif(a>m+1 && a Ykb(2*(i1)12*(a1)1)imag(Y(ia))*real(U(i))real(Y(ia))*imag(U(i))imag(I(i))PQ节点Hia参数
Ykb(2*(i1)12*(a1))real(Y(ia))*real(U(i))imag(Y(ia))*imag(U(i))real(I(i))PQ节点Nia参数
Ykb(2*(i1)2*(a1)1)Ykb(2*(i1)12*(a1))2*real(I(i))PVPQ节点Jia参数Nia2*real(I(i))
Ykb(2*(i1)2*(a1))Ykb(2*(i1)12*(a1)1)+2*imag(I(i))PVPQ节点Lia参数Hia+2*imag(I(i))
end
end

end
end
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
PV节点已转化PQ节点PQ节点计算方法计算雅克矩阵&&&结束

end
**************************************************************
end

end
end
i1
雅克矩阵计算结束
dUYkb\dPQV2计算电压变化量
for i12*(n1)
if(abs(dU(i))>dumax)
dumaxabs(dU(i))
end
end
i1
if(dumax fprintf('迭代次数g\n'1000k+1)
break
else
for i1n计算新电压U
if(i U(i)U(i)(dU(2*i)+dU(2*i1)*j)
elseif(i>s+1 && i U(i)U(i)(dU(2*(i1))+dU(2*(i1)1)*j)
end
end
检验PV节点功功率否超出规定范围PV否转化成PQ
for im+1n
A0
for a1n
if(a~i)
AA+Y(ia)*U(a)
end
end
a1
if(flag(im)0) 第i节点否PV节点？
Q_PV(im)imag(U(i)'*Y(ii)*U(i)+U(i)'*A)计算PV节点Q
if(Q_PV(im)Qmin)计算PV节点Q规定范围
Upv((P_PV(im)Q_PV(im)*j)U(i)A)Y(ii)修正PV节点电压相角幅值变
angangle(Upv)修正PV节点电压相角幅值变
U(i)abs(U(i))*(cos(ang)+sin(ang)*j)修正PV节点电压相角幅值变
Q_PV(im)imag(U(i)'*Y(ii)*U(i)+U(i)'*A)
else计算PV节点Q规定范围PV节点变PQ节点
if(Q_PV(im)>Qmax)PVQ规定Qmax代
Q_PV(im)Qmax
flag(im)1PV转化PQ
fprintf('PV节点gQQmax转化PQ节点\n'i)
elseif(abs(Q_PV(im)) Q_PV(im)Qmin
flag(im)1PV转化PQ
fprintf('PV节点gQQmin转化PQ节点\n'i)
end
end
end
end
i1
kk1
dumax0
end
end
if(k0)
fprintf('牛顿——拉夫逊潮流计算收敛\n')
end
for i1n 计算衡节点视功率
SsSs+Y(si)'*U(i)'
end
SsSs*U(s)衡节点视功率

for i1n计算节点视功率
if(is)
S(i)Ss
else
if(i S(i)S_PQ(i)
elseif(i>m+1)
S(i)P_PV(im)+Q_PV(im)*j
end
end
end
i1
u_nodeU
s_nodeS
fprintf('牛顿——拉夫逊潮流计算结束计算结果\n')











附录2 英文文献翻译
英文文献
Power Flow Calculation by Combination of NewtonRaphson Method and Newton’s Method in Optimization
Andrey Pazderin Sergey Yuferev
URAL STATE TECHNICAL UNIVERSITY – UPI
Email pav@daesusturu usv@daesusturu
AbstractIn this paper the application of the Newton’s method in optimization for power flow calculation is considered
Convergence conditions of the suggested method using an example of a threemachine system are investigated It is shown that the method allows to calculate nonexistent state points and automatically pulls them onto the boundary of power flow existence domain A combined method which is composed of NewtonRaphson method and Newton’s method in optimization is presented in the paper
Index Terms—Newton method Hessian matrix convergence of numerical methods steady state stability
ⅠINTRODUCTION
The solution of the power flow problem is the basis on which other problems of managing the operation and development of electrical power systems (EPS) are solved The complexity of the problem of power flow calculation is attributed to nonlinearity of steadystate equations system and its high dimensionality which involves iterative methods The basic problem of the power flow calculation is that of the solution feasibility and iterative process convergence [1]
The desire to find a solution which would be on the boundary of the existence domain when the given nodal capacities are outside the existence domain of the solution and it is required to pull the state point back onto the feasibility boundary motivates to develop methods and algorithms for power flow calculation providing reliable convergence to the solution
The algorithm for the power flow calculation based on the Newton's method in optimization allows to find a solution for the situation when initial data are outside the existence domain and to pull the operation point onto the feasibility boundary by an optimal path Also it is possible to estimate a static stability margin by utilizing Newton's method in optimization
As the algorithm based on the Newton’s method in optimization has considerable computational cost and power control cannot be realized in all nodes the algorithm based on the combination of the NewtonRaphson methods and the Newton’s method in optimization is offered to be utilized for calculating speed enhancing the power flow calculation
II THEORETICAL BACKGROUND
A．Steadystate equations
The system of steadystate equations in general can be expressed as follows
(1)
where is the vector of parameters given for power flow calculation In power flow calculation real and reactive powers are set in each bus except for the slack bus Ingeneration buses the modulus of voltage can be fixed W(XY) is the nonlinear vector function of steadystate equations Variables Y define the quasiconstant parameters associated with an equivalent circuit of an electrical network X is a required state vector it defines steady state of EPS The dimension of the state vector coincides with the number of nonlinear equations of the system (1) There are various known forms of notation of the steadystate equations Normally they are nodalvoltage equations in the form of power balance or in the form of current balance Complex quantities in these equations can be presented in polar or rectangular coordinates which leads to a sufficiently large variety forms of the steadystate equations notation There are variable methods of a nonlinear system of steadystate equations solution They are united by the incremental vector of independent variables ΔX being searched and the condition of convergence being assessed at each iteration
B The Newton's method in optimization
Another way of solving the problem of power flow calculation is related to defining a zero minimum of objective function of squares sum of discrepancies of steadystate
equations
(2)
The function minimum (2) is reached at the point where derivatives on all required variables are equal to zero
( (3)
It is necessary to solve a nonlinear set of equations (3) to find the solution for the problem
Calculating the power flow which is made by the system of the linear equations with a Hessian matrix at each iteration is referred to as the Newton's
method in optimization [4]
( (4)
The Hessian matrix contains two items
(5)
During the power flow calculation the determinant of Hessian matrix is positive round zero and negative value of a determinant of Jacobian This allows to find the state point during the power flow calculation when initial point has been outside of the existence domain
The convergence domain of the solution of the Newton's optimization method is limited by a positive value of the Hessian matrix determinant The iterative process even for a solvable operating point can converge to an incorrect

solution if initial approximation has been outside convergence domain This allows to estimate a static stability margin of the state and to find the most perilous path of its weighting
III INVESTIGATIONS ON THE TEST SCHEME
Convergence of the Newton's method in optimization with a full Hessian matrix has been investigated Calculations were made based on program MathCAD for a network comprising three buses the parameters of which are presented in Figure 1Dependant variables were angles of vectors of bus voltage 1 and 2 independent variables were capacities in nodes 1 and 2 and absolute values of voltages of nodes 1 2 and 3 were fixed

Fig 1 – The Test scheme
In Figure 2 the boundary of existence domain for a solution of the steadystate is presented in angular coordinates δ1δ2 This boundary conforms to a positive value of the Jacobian determinant
(6)
As a result of the power flow calculation based on the Newton method in optimization the angle values have been received these values corresponding to the given capacities in Fig2 (generation is positive and loading is negative)
For the state points which are inside the existence domain the objective function (2) has been reduced to zero For the state points which are on the boundary of the existence domain objective function (2) has not been reduced to zero and the calculated values of capacities differed from the given capacities

Fig 2 – Domain of Existence for a Solution

Fig3 Boundary of existence domain

In Fig3 the boundary of the existence domain is presented in coordinates of capacities P1P2 State points occurring on the boundary of the existence domain (6) have been set by the capacities which were outside the existence domain As a
result of power flow calculation by minimization (2) based on the Newton's method in optimization the iterative process converges to the nearest boundary point It is due to t
he fact that surfaces of the equal level of objective function (2) in coordinates of nodal capacities are proper circles (for threemachine system) having the centre on the point defined by given values of nodal capacities The graphic interpretation of surfaces of the equal level of objective function for operating point state with 13000 MW loading bus 1 and 15000 MW generating bus 2 is presented in Fig3
Hessian matrix is remarkable in its being not singular on the boundary of existence domain The determinant of a Hessian matrix (5) is positive around zero and a negative value of the Jacobian matrix determinant This fact allows the power flow to be calculated even for the unstable points which are outside existence domain The iterative process based on the system of the linear equations (4) solution has converged to the critical stability point within 35 iteration Naturally the iterative process based on NewtonRapson method is divergent for such unsolvable operating points
The convergence domain of the method under consideration has been investigated What is meant is that not all unsolvable operating points will be pulled onto the
boundary of existence domain A certain threshold having been exceeded the iterative process has begun to converge to the imaginary solution with angles exceeding 360°
It is necessary to note that to receive a critical stability operating point in case when initial nodal capacities are set outside the boundary of the existence domain there is no necessity to make any additional terms as the iterative process converges naturally to the nearest boundary point
Pulling the operation point onto feasibility boundary is not always possible by the shortest and optimal path There are a number of constraints such as impossibility of load (consumption) increase at buses constraints of generation sheddinggaining at stations Load following capability of generator units is various consequently for faster pulling the operation point onto the feasibility boundary it is necessary to
carry out this pulling probably by longer but faster path
The algorithm provides possibility of path correction of pulling It is carried out by using of the weighting coefficients which define degree of participation of each
node in total control action For this purpose diagonal matrix A of the weighting coefficients for each node is included into the objective function (2)
(7)
All diagonal elements of the weighting coefficient matrix A should be greaterthan zero
When initial approximation lies into the feasibility domain coefficients are not influence on the computational process and on the result
In the figure 4 different paths of the pulling the same operation point onto feasibility boundary depending on the weighting coefficients are presented Paths are presented for two different operating points
In tables I and II effect of weighting coefficients on the output computation is presented In tables I and II k1 and k2 are weighting coefficient for buses 1 and 2 respectively
TABLE I
WEIGHTING COEFFICIENT EFFECT ON OUTPUT COMPUTATION FOR INITIAL SET CAPACITIES P1 13000 MW AND P2 15000 MW
Coefficients
MW
MW
deg
deg
11
7800
9410
45
55
51
8600
8080
69
25
00051
5700
10140
1
93

TABLE II
WEIGHTING COEFFICIENT EFFECT ON OUTPUT COMPUTATION FOR INITIAL SET CAPACITIES P1 8000 MW AND P2 5000 MW
Coefficients
MW
MW
deg
deg

11
4360
1680
92
80
0011
1050
4920
76
94
1035
5800
0
99
71

Fig4 Paths of pulling the operation point onto the feasibility boundary
IV COMBINATION OF METHODS
If to compare the Newton’s method in optimization for power flow calculation with newtonRaphson using a Jacobian matrix the method computational costs on each
iteration will be several times greater as the property of Hessian matrix being filled up by nonzero elements 253 times greater than with Jacobian one Each row of Jacobian matrix corresponding to any bus contains nonzero elements corresponding to all incident buses of the scheme Each row of Hessian matrix contains nonzero elements in the matrix corresponding not only to the neighboring buses but also their neighbors However it is possible to compensate this disadvantage through the combination Newton
Rap son method with Newton’s method in optimization It means that the part of nodes can be calculated by conventional Newton method and the remaining buses will be computed by Newton’s method in optimization The first group of passive nodes consists of buses in which it is not possible to change
nodal capacity or it is not expedient Hence emergency control actions are possible only in a small group of buses supplying with telecontrol Most of the nodes including
purely transit buses are passive Active nodes are generating buses in which operating actions are provided Such approach allows to fix nodal capacity for all passive buses of the scheme which have been calculated by NewtonRap son method In active buses which have been calculated by Newton’s method in optimization deviations from set values of nodal capacity are possible These deviations can be considered as control action The power flow calculation algorithm based on combination Newton – Raphson method and Newton’s method in optimization can be presented as follows
1The linear equation system with Jacobian matrix is generated for all buses of the scheme
2 The solution process of the linear equation system with Jacobian is started by utilizing the Gauss method for all passive buses Factorization of the linear equations system is terminated when all passive buses are eliminated Factorized
equations are kept
3The nodal admittance matrix is generated from not factorized the part of Jacobian matrix corresponding to active buses This admittance matrix contains parameters of the equivalent network which contains only active buses
4The linear equation system with Hessian matrix (4) is generated for the obtained equivalent by Newton’s method in optimization
5The linear equation system with Hessian matrix is calculated and changes of independent variables are defined for active buses
6Factorized equations of passive buses are calculated and changes of independent variables are defined for passive buses
7The vector of independent variables is updated using the changes of independent variables for all buses
8 New nodal capacities in all buses of the network are defined constraints are checked if it necessary the list of active buses will be corrected
9 Convergence of the iterative process is checked If changes of variables are significant it is necessary to return to item 1
Taking into account the number of active buses in the network aren’t large computational costs of such algorithm slightly exceed computational costs of the NewtonRapson method
V CONCLUSION
1 The power flow calculation of an electric network by minimizing the square sum of discrepancies of nodal capacities based on the Newton's method in optimization
materially increases the productivity of deriving a solution for heavy in terms of conditions of stability states and the unstable states outside the existence domain of the solution
2 During the power flow calculation the determinant of Hessian matrix is positive around zero and negative value of the Jacobian matrix determinant The iterative process naturally converges to the nearest marginal state point during the power flow calculation when the initial operating point has been outside of the existence domain
3 There is a possibility of control action correction for the pulling operation point onto feasibility boundary by using matrix of weighting coefficients
4 Utilization of the combined method for power flow calculation allows to use all advantages of Newton’s method in optimization and to provide high calculating speed
5 In case when the setting nodal powers are outside the existence domain there are discrepancies in the active buses which can be considered as control actions for pulling the state point onto the feasibility boundary When the initial state point is inside the existence domain the iterative process converges with zero discrepancies for both active and passive buses


中文翻译
基优化牛顿——拉夫逊法牛顿法潮流计算
摘——文中考虑优化牛顿法潮流计算中应三节点系统例子中探究方法收敛条件例子表明方法计算存状态点动点放功率潮流域边界文介绍优化牛顿——拉夫逊法牛顿法相结合方法
关键词——牛顿法Hessian矩阵数值方法静态稳定
1简介
解决潮流计算问题解决电力系统运行发展问题基础静态方程非线性特征静态方程阶数较高潮流计算较复杂便引进迭代法潮流计算基问题方案行性迭代程收敛性
定节点容量存域外时总希找方法状态点拖回行性边界研究方法算法动机提供具收敛性方案
定初始值存域中时候基优化牛顿法潮流计算算法够找条优路径工作点移行性边界利优化牛顿法估计稳定裕度
优化牛顿法已考虑计算成实现功率控制节点种算法优化牛顿——拉夫逊法牛顿法相结合方法基础提高计算速度优化潮流计算
2 理基础
21 静态方程
系统静态方程般情况表示：
（1）
定进行潮流计算量参数潮流计算中衡节点外节点功功率功功率定PV节点电压幅值定W(XY)静态方程组非线性量函数变量Y电力网络等值电路相关准常量参数
X 求状态量表示电力系统稳定运行时状态状态量维数系统非线性方程式（1）数致现已知表示静态方程形式种般情况功率衡者电流衡节点电压方程方程中复数极坐标者直角坐标系表示静态方程表示形式种样解非线性系统静态方程方法会次迭代结束计算增量量ΔX评估收敛性
22 优化牛顿法
外解决潮流计算办法定义静态方程方差零目标函数：
（2）
关变量零时函数取值
（3）
解决问题必须式（3）系列非线性方程进行求解计算潮流分布涉优化牛顿法次迭代计算解组Hessian矩阵组成线性方程
（4）
Hessian矩阵包括两部分：
（5）
潮流计算程中Hessian矩阵行列式接零正数者雅克矩阵行列式相反数样初始点存域外时潮流计算时找状态点
优化牛顿法收敛Hessian矩阵行列式正值限制迭代程中果初试似值收敛域外找解工作点迭代会收敛正确解估计静态稳定裕度找出权重危险路径
3 试验方案调查研究
已研究带满Hessian矩阵优化牛顿法收敛性图1示三节点网络例MathCAD程序工具进行计算独立变量节点12节点电压相
位角量独立变量节点12容量节点12电压幅值定

图1 试验网络
图2中稳态解存域边界角坐标系δ1δ2中表示出边界雅克矩阵行列式正值相符合：
（6）
基优化顿法潮流计算结果相位角值考虑进值图2（供电节点正负载节点负）中示容量相应
状态点存域目标函数（2）已减少零状态点存域目标函数（2）没减少零计算出容量定容量

图2 解存域

图3 存域边界
图3中存域边界坐标系P1P2中表示出存域（6）边界状态点受存域外容量限制优化牛顿法基础化函数（2）进行潮流计算导致迭代程收敛边界点水目标函数（2）边界圆（三节点系统）圆圆心定节点容量
点重合图3中拥13000MW负载节点115000MW注入功率节点2工作点水目标函数边界作图形解释存域边界奇异时Hessian值注意Hessian矩阵（5）行列式接0正数者雅克矩阵行列式负值存域外稳定点计算潮流分布线性方程组（4）基础进行迭代计算35次迭代收敛界稳定点然没解工作点牛顿——拉夫逊基础迭代程发散
已研究方法收敛域意味着解工作点移存域边界迭代程中果某阈值超迭代程会收敛假象解决方案时角度会超360°必须注意初始节点容量存域边界外时稳定工作点没必添加额外条件迭代程会边界点收敛
短优路径工作点移行性边界总行程许限制素节点负载增长性发电厂发电量限制发电机组负载种样够更快工作点移动行性边界必须通更长更快路径
算法修改移动路径通计算权重系数权重系数表示节点总量控制中参程度实现目标表示节点权重系数角矩阵包括目标函数（2）中权重矩阵A角线元素必须零
初始似值行域时计算程中权重矩阵会计算程计算结果产生影响
图4中权重系数工作点路径移行性边界图中表示两工作点移动路径
表1表2中出权重系数计算结果影响表1表2中k1k2节点12权重系数




表1：权重系数计算输出影响
初始容量：P113000MWP215000MW
系数
MW
MW
deg
deg
11
7800
9410
45
55
51
8600
8080
69
25
00051
5700
10140
1
93
表2：权重系数计算输出影响
初始容量：P18000MWP25000MW
系数
MW
MW
deg
deg
11
4360
1680
92
80
0011
1050
4920
76
94
1035
5800
0
99
71

图4 工作点移行性边界路径
4 组合方法
潮流计算中果优化牛顿法利雅克矩阵牛顿——拉夫逊法进行较会发现种方法计算成利Hessian矩阵金子非零元素填充方法253倍雅克矩阵行节点应非零元素某节点关系Hessian矩阵行非零元素仅邻节点相应邻节点礼金节点应然通综合应牛顿——拉夫逊法优化牛顿法补偿足意味着部分节点传统牛顿法计算节点优化牛顿法计算第组节点包括节点容量般会改变母线者时改变状态节点紧急情况控制电网节点少数数节点包括纯粹转换母线容量正活动节点发电机母线提供电网控制种方法牛顿法计算电网正节点容量保持变优化牛顿法计算活动节点容量定值偏差偏差作操作输入量优化牛顿法牛顿——拉夫逊法组合方法步骤述：
1 线性方程雅克矩阵网络节点生成
2 求解带雅克矩阵线性方程程中必须正节点利高斯法开始正节点删线性方程式分解会停止式分解等式保留
3 节点导纳矩阵活动节点相应未分解雅克矩阵部分生成节点导纳矩阵包含含活动节点等值电路参数
4 生成带Hessian矩阵线性方程优化牛顿法中等式
5 Hessian矩阵线性方程活动节点定义耳朵着独立变量变化变化重新计算
6 式分解方程正节点定义着独立变量变化变化重新计算
7 独立变量量着节点变化更新
8 节点容量重新计算限制条件检验活动节点列表修正
9 检验迭代程收敛性果变量变化明显回第步重新计算
活动节点数目会优化算法仅仅优化前计算成点点
5 总结
1基优化牛顿法电力系统潮流计算方差目标函数实质拓宽解决超出存域范围稳态非稳态条件解决问题途径
2潮流计算中Hessian矩阵行列式接零正数者雅克矩阵负值初始值存域外部时迭代程动区域状态点
3通利权重系数矩阵控制工作点稳定性边界移动路径
4利综合方法进行潮流计算充分利优化牛顿法优点提高计算速度
5设定节点容量存域外时活动点会存差差作移动工作点行性边界路径操作初始状态存域时活动节点正节点会迭代程中零差异收敛
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