数学Ⅰ
注意事项
考生答题前请认真阅读注意事项题答题求
1.试卷4页均非选择题(第1题~第20题20题)卷满分160分考试时间120分钟考试结束请试卷答题卡片交回
2.答题前请务必姓名准考证号05毫米黑色墨水签字笔填写试卷答题卡规定位置
3.请认真核监考员答题卡粘贴条形码姓名准考证号否相符
4.作答试题必须05毫米黑色墨水签字笔答题卡指定位置作答位置作答律效
5.需作图须2B铅笔绘写清楚线条符号等须加黑加粗
参考公式:
样数方差中.
柱体体积中柱体底面积柱体高.
锥体体积中锥体底面积锥体高.
填空题:题14题题5分计70分.请答案填写答题卡相应位置.
1.已知集合 ▲
2.已知复数实部0中虚数单位实数a值 ▲
3.图算法流程图输出S值 ▲
4.函数定义域 ▲
5.已知组数6788910该组数方差 ▲
6.3名男学2名女学中选2名学参加志愿者服务选出2名学中少1名女学概率 ▲
7.面直角坐标系中双曲线点(34)该双曲线渐线方程 ▲
8.已知数列等差数列前n项值 ▲
9.图长方体体积120E中点三棱锥EBCD体积 ▲
10.面直角坐标系中P曲线动点点P直线x+y0距离值 ▲
11.面直角坐标系中点A曲线ylnx该曲线点A处切线点(e1)(e然数底数)点A坐标 ▲
12.图中DBC中点E边ABBE2EAADCE交点值 ▲
13.已知值 ▲
14.设定义R两周期函数周期4周期2奇函数时中k>0区间(09]关x方程8实数根k取值范围 ▲
二解答题:题6题计90分.请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤.
15.(题满分14分)
△ABC中角ABC边分abc.
(1)a3cbcosB求c值
(2)求值.
16.(题满分14分)
图直三棱柱ABC-A1B1C1中DE分BCAC中点ABBC.
求证:(1)A1B1∥面DEC1
(2)BE⊥C1E.
17.(题满分14分)
图面直角坐标系xOy中椭圆C焦点F1(–10)
F2(10).F2作x轴垂线lx轴方l圆F2交点A椭圆C交点D连结AF1延长交圆F2点B连结BF2交椭圆C点E连结DF1.
已知DF1.
(1)求椭圆C标准方程
(2)求点E坐标.
18.(题满分16分)
图湖边界圆心O圆湖侧条直线型公路l湖桥AB(AB圆O直径).规划公路l选两点PQ修建两段直线型道路PBQA.规划求线段PBQA点点O距离均圆O半径.已知点AB直线l距离分ACBD(CD垂足)测AB10AC6BD12(单位百米).
(1)道路PB桥AB垂直求道路PB长
(2)规划求PQ中否点选D处?说明理
(3)规划求道路PBQA长度均d(单位:百米)求d时PQ两点间距离.
19.(题满分16分)
设函数f(x)导函数.
(1)abcf(4)8求a值
(2)a≠bbcf(x)零点均集合中求f(x)极值
(3)f(x)极值M求证M≤.
20.(满分16分)
定义首项1公正数等数列M-数列
(1)已知等数列{an}满足:求证数列{an}M-数列
(2)已知数列{bn}满足中Sn数列{bn}前n项.
①求数列{bn}通项公式
②设m正整数存M-数列{cn}意正整数kk≤m时成立求m值.
数学Ⅱ(附加题)
21.选做题题包括ABC三题请选定中两题相应答题区域作答.做作答前两题评分.解答时应写出文字说明证明程演算步
骤.
A[选修42:矩阵变换](题满分10分)
已知矩阵
(1)求A2
(2)求矩阵A特征值
B[选修44:坐标系参数方程](题满分10分)
极坐标系中已知两点直线l方程
(1)求AB两点间距离(2)求点B直线l距离
C[选修45:等式选讲](题满分10分)
设解等式
必做题第22题第23题题10分计20分.请答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤.
22(题满分10分)设已知
(1)求n值(2)设中求值
23(题满分10分)面直角坐标系xOy中设点集
令集合Mn中取两点机变量X表示间距离
(1)n1时求X概率分布
2019年普通高等学校招生全国统考试(江苏卷)
数学Ⅰ答 案
填空题:题考查基础知识基运算基思想方法题5分计70分
1 22 35 4 5 6 7
816 910 104 11 12 13 14
二解答题
15题考查正弦定理余弦定理角三角函数关系诱导公式等基础知识考查运算求解力满分14分
解:(1)
余弦定理
(2)
正弦定理
16题考查直线直线直线面面面位置关系等基础知识考查空间想象力推理证力满分14分
证明:(1)DE分BCAC中点
ED∥AB
直三棱柱ABCA1B1C1中AB∥A1B1
A1B1∥ED
ED⊂面DEC1A1B1面DEC1
A1B1∥面DEC1
(2)ABBCEAC中点BE⊥AC
三棱柱ABCA1B1C1直棱柱CC1⊥面ABC
BE⊂面ABCCC1⊥BE
C1C⊂面A1ACC1AC⊂面A1ACC1C1C∩ACC
BE⊥面A1ACC1
C1E⊂面A1ACC1BE⊥C1E
17题考查直线方程圆方程椭圆方程椭圆性质直线圆椭圆位置关系等基础知识考查推理证力分析问题力运算求解力满分14分
解:(1)设椭圆C焦距2c
F1(-10)F2(10)F1F22c1
DF1AF2⊥x轴DF2
2aDF1+DF24a2
b2a2c2b23
椭圆C标准方程
(2)解法:
(1)知椭圆C:a2
AF2⊥x轴点A横坐标1
x1代入圆F2方程(x1) 2+y216解y±4
点Ax轴方A(14)
F1(10)直线AF1:y2x+2
解
代入
F2(10)直线BF2:
解
E线段BF2椭圆交点
代入
解法二:
(1)知椭圆C:图连结EF1
BF22aEF1+EF22aEF1EB
∠BF1E∠B
F2AF2B∠A∠B
∠A∠BF1EEF1∥F2A
AF2⊥x轴EF1⊥x轴
F1(10)
E线段BF2椭圆交点
18题考查三角函数应解方程直线圆等基础知识考查直观想象数学建模运数学知识分析解决实际问题力满分16分
解:解法:
(1)A作垂足E
已知条件四边形ACDE矩形'
PB⊥AB
道路PB长15(百米)
(2)①PD处(1)E圆线段BE点(BE)点O距离均圆O半径P选D处满足规划求
②QD处连结AD(1)知
∠BAD锐角
线段AD存点点O距离圆O半径
Q选D处满足规划求
综PQ均选D处
(3)先讨点P位置
∠OBP<90°时线段PB存点点O距离圆O半径点P符合规划求
∠OBP≥90°时线段PB意点FOF≥OB线段PB点点O距离均圆O半径点P符合规划求
设l点(1)知B15
时
∠OBP>90°时中
知d≥15
讨点Q位置
(2)知QA≥15点Q位点C右侧符合规划求QA15时时线段QA点点O距离均圆O半径
综PB⊥AB点Q位点C右侧CQ时d时PQ两点间距离PQPD+CD+CQ17+
d时PQ两点间距离17+(百米)
解法二:
(1)图O作OH⊥l垂足H
O坐标原点直线OHy轴建立面直角坐标系
BD12AC6OH9直线l方程y9点AB坐标分3−3
AB圆O直径AB10圆O方程x2+y225
A(43)B(−4−3)直线AB斜率
PB⊥AB直线PB斜率
直线PB方程
P(−139)
道路PB长15(百米)
(2)①PD处取线段BD点E(−40)EO4<5P选D处满足规划求
②QD处连结AD(1)知D(−49)A(43)
线段AD:
线段AD取点M(3)
线段AD存点点O距离圆O半径
Q选D处满足规划求
综PQ均选D处
(3)先讨点P位置
∠OBP<90°时线段PB存点点O距离圆O半径点P符合规划求
∠OBP≥90°时线段PB意点FOF≥OB线段PB点点O距离均圆O半径点P符合规划求
设l点(1)知B15时(−139)
∠OBP>90°时中
知d≥15
讨点Q位置
(2)知QA≥15点Q位点C右侧符合规划求QA15时设Q(a9)aQ(9)时线段QA点点O距离均圆O半径
综P(−139)Q(9)时d时PQ两点间距离
d时PQ两点间距离(百米)
19.题考查利导数研究函数性质考查综合运数学思想方法分析解决问题逻辑推理力.满分16分.
解:(1).
解.
(2)
.令.
集合中
.
时.
令.列表:
1
+
0
–
0
+
极值
极值
极值.
(3)
.
2零点设.
.
列表:
+
0
–
0
+
极值
极值
极值.
解法:
..
解法二:
.
时.
令.
令.列表:
+
0
–
极值
时取极值值.
时.
20.题考查等差等数列定义通项公式性质等基础知识考查代数推理转化化综合运数学知识探究解决问题力.满分16分.
解:(1)设等数列{an}公qa1≠0q≠0
解.
数列M—数列
(2)①.
时
整理.
数列{bn}首项公差均1等差数列
数列{bn}通项公式bnn
②①知bkk
数列{cn}M–数列设公qc11q>0
ck≤bk≤ck+1中k123…m
k1时q≥1
k23…m时.
设f(x).
令xe列表:
x
e
(e+∞)
+
0
–
f(x)
极值
.
取k12345时
检验知成立.
求m值5.
m≥6分取k363≤q3q5≤6q15≥243q15≤216
q存求m值6
综求m值5.
数学Ⅱ(附加题)参考答案
21.选做题
A.[选修4–2:矩阵变换]
题考查矩阵运算特征值等基础知识考查运算求解力.满分10分.
解:(1)
.
(2)矩阵A特征项式
令解A特征值
B.[选修4–4:坐标系参数方程]
题考查曲线极坐标方程等基础知识考查运算求解力.满分10分.
解:(1)设极点O△OAB中A(3)B()
余弦定理AB
(2)直线l方程
直线l点倾斜角.
点B直线l距离
C.[选修4–5:等式选讲]
题考查解等式等基础知识考查运算求解推理证力.满分10分.
解:x<0时原等式化解x<–:
0≤x≤时原等式化x+1–2x>2x<–1解
x>时原等式化x+2x–1>2解x>1
综原等式解集
22必做题题考查二项式定理组合数等基础知识考查分析问题力运算求解力满分10分.
解:(1)
.
解.
(2)(1)知.
.
解法:
.
解法二:
.
.
.
23.必做题题考查计数原理古典概型机变量概率分布等基础知识考查逻辑思维力推理证力.满分10分.
解:(1)时取值.
概率分布
.
(2)设中取出两点.
仅需考虑情况.
①存取法
②仅时2种取法
③时仅时2种取法
④仅时2种取法.
综时取值
.
.
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