2019届高三理科数学学期模试卷附解析
理科数学
试卷4页满分150分
注意事项：
1 答题前考生务必试题卷答题卡规定方填写准考证号姓名考生认真核答题卡粘贴条形码准考证号姓名考生准考证号姓名否致
2 回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3 考试结束考生必须试题卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1已知集合 （ ）
A B
C D
答案B
解析
分析
先求出集合B利交集集定义判断选项．
详解∵B＝ ＝{x| }
∴A∩B＝ ．
选：B．
点睛题考查交集集求法基础题解题时注意交集集区．
2复数满足 虚部（ ）
A 5 B C D 5
答案C
解析
分析
已知等式变形复数代数形式运算化简答案．
详解（1+i）z＝|3+4i|
z
∴z虚部 ．
选：C．
点睛题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3已知 两面直线 （ ）
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
答案A
解析
表示两面直线 条直线 ∥ ∥ ∥ ∥ 充分条件 ∥ 推出 ∥ 充分条件
∴ ∥ ∥ 充分必条件
选A
4已知双曲线 ： 条渐线方程 离心率（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
利双曲线渐线推出ba关系然求解离心率．
详解已知双曲线C （a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x
∴
选：C．
点睛题考查双曲线简单性质应解题时注意焦点位置考查计算力．
5执行边程序框图果输出 值1输入 值（ ）
A 0 B C 0 D 01
答案C
解析
分析
根程序框图转化条件函数进行计算．
详解程序应函数y
x≤0y＝1ex＝1x＝0满足条件．
x＞0y＝2﹣lnx＝1lnx＝1x＝e满足条件．
综x＝0e
选：C．
点睛题考查程序框图识应根条件转化分段函数解决题关键．
6某校1000参加某次模拟考试中数学考试成绩似服正态分布 试卷满分150分统计结果显示数学成绩优秀（高120分）数占总数 次数学考试成绩90分105分间数约（ ）
A 150 B 200 C 300 D 400
答案C
解析
分析
求出 求出次数学考试成绩90分105分间数．
详解∵
次数学考试成绩90分105分间数约 ．
选：C．
点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义等基础知识考查运算求解力考查数形结合思想．属基础题．
7函数 图象点 （ ）
A 点 称中心 B 直线 条称轴
C 函数 正周期 D 函数 值域
答案D
解析
分析
根函数f（x）图象点（02）求出θf（x）＝cos2x+1利余弦函数图象性质出结．
详解函数f（x）＝2sin（x+2θ）cosx （0＜θ ）图象点（02）
2sin2θ＝2sin2θ＝1∴2θ ∴θ
f（x）＝2sin（x+2θ）cosx＝2cos2x＝cos2x+1
x 时f（x）＝1AB正确
f（x）正周期 πC正确
显然f（x）＝cos2x+1∈[02]D正确
选：D．
点睛题考查余弦函数图象性质属中档题．
8函数 图象（ ）
A B C D
答案A
解析
分析
计算函数y轴交点坐标判断函数单调性判断出答案．
详解x＝0时y＝4﹣1＝3＞0排C >x>0时 单调递减x> 时导函数4sinx <0单调递减函数连续x>0时函数时递减选A
选：A．
点睛题考查函数图象判断般奇偶性单调性特殊值等方面判断属基础题．
9已知偶函数 时 锐角三角形两角（ ）
A B
C D
答案B
解析
分析
根题意函数解析式f（x）（10）减函数结合函数奇偶性f（x）（01）增函数αβ锐角三角形两角分析sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ结合函数单调性分析答案．
详解根题意x∈（﹣10）时f（x）＝2﹣x＝（ ）xf（x）（01）减函数
f（x）偶函数f（x）（01）增函数
αβ锐角三角形两角α+β＞90°α＞90°﹣βsin
α＞sin（90°﹣β）＝cosβ
f（ sinα）＞f（cosβ）
选：B．
点睛题考查函数单调性奇偶性综合应涉三角函数诱导公式运属基础题．
10已知线量 夹角 处取值 时 取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
试题分析：题意 ∴ 二次函数知式取值时 题意 求 ∴ 选：C．
考点：数量积表示两量夹角
11图示著名汉诺塔问题中三根高度相柱子颜色相圆盘三根柱子分起始柱辅助柱目标柱已知起始柱套 圆盘较圆盘较圆盘面现圆盘起始柱全部移目标柱规：次移动圆盘次移动根柱较圆盘放较圆盘面规定圆盘根柱移动根柱次移动 圆盘起始柱移动目标柱少需移动次数记 （ ）
A 33 B 31 C 17 D 15
答案D
解析
分析
简单合情推理： P（1）+1＝2首项2公等数列等数列通项公式：P（n）+1＝2nP（n）＝2n﹣1解．
详解设圆盘起始柱全部移目标柱少需移动次数记p（n）起始柱（底）圆盘起始柱移动辅助柱少需移动次数记p（n﹣1）
P（n）＝2P（n﹣1）+1
P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]P（1）＝1
P（1）+1＝2首项2公等数列
等数列通项公式：P（n）+1＝2nP（n）＝2n﹣1
P（4）＝24﹣1＝15
选：D．
点睛题考查数列递推公式等数列通项公式属中档题．
12定义：区间 长度均 等式 解集互相交区间集设该等式解集中区间长度（ ）
A 时 B 时
C 时 D 时
答案B
解析
分析
m＞0时∵ m 0令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0两根x1x2x1＜x2根韦达定理f（1）f（2）符号判断x1x212等式解集根区间长度定义．
详解m＞0时∵ 0 0
令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0两根x1x2x1＜x2
0x1+x2 3
∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0
∴1＜x1＜2＜x2
等式解集（1x1]∪（2x2]
∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝3 3
选：B．
点睛题考查分式等式解法涉新定义区间长度理解属难题．
二填空题：题4题题5分20分
13 满足约束条件 值__________．
答案[﹣33]
解析
分析：约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案
详解：约束条件作出行域图：
联立 解
化目标函数 直线方程斜截式
图知直线 直线y轴截距z值
直线 时直线y轴截距z值
取值范围[﹣33]
答案：[﹣33]
点睛：利线性规划求值般图解法求解步骤
(1)面直角坐标系作出行域．
(2)考虑目标函数意义目标函数进行变形．
(3)确定优解：行域行移动目标函数变形直线确定优解．
(4)求值：优解代入目标函数求出值值
14等数列 中 前 项 __________．
答案10
解析
分析
根题意等数列通项公式分析q4＝8×q解q值结合等数列前n项公式Sn 2n﹣1＝1023解n值答案．
详解根题意等数列{an}中a1＝1a5＝8a2
q4＝8×q解q＝2
Sn＝1023 2n﹣1＝1023
解：n＝10
答案：10．
点睛题考查等数列前n项公式应关键掌握等数列前n项形式属基础题．
15已知抛物线 焦点 准线 直线抛物线准线次相交 三点（中 间 第象限） __________．
答案2
解析
分析
已知|MN|＝2|MF|MN直线斜率写出MN直线方程抛物线方程联立求G横坐标抛物线焦点弦长公式求解p．
详解图M作MH⊥l＝H
|MN|＝2|MF||MN|＝2|MH|
∴MN直线斜率
MN直线方程y （x ）
联立 12x2﹣20px+3p2＝0．
解：
|GF| p＝2．
答案：2．
点睛题考查抛物线简单性质考查直线抛物线位置关系应中档题．
16图矩形 中 中点 直线 翻折成 连结 中点翻折程中列说法中正确序号_______
①存某位置
②翻折程中 长定值
③
④ 三棱锥 体积时三棱锥 外接球表面积
答案②④
解析
分析
①取AD中点E连接EC交MDFEN⊥NFEN⊥CN三线NENFNC面点
②∠NEC＝∠MAB1（定值）NE AB1（定值）AM＝EC（定值）余弦定理NC定值．
③取AM中点O连接B1ODO易AM⊥面ODB1OD⊥AMAD＝MD显然成立．
④：面B1AM⊥面AMD时三棱锥B1﹣AMD体积球半径1表面积4π．
详解①：图1取AD中点E连接EC交MDFNE∥AB1NF∥MB1
果CN⊥AB1EN⊥NFEN⊥CN三线NENFNC面点①错．
②：图1∠NEC＝∠MAB1（定值）NE AB1（定值）AM＝EC（定值）
余弦定理NC2＝NE2+EC2﹣2NEECcos∠NECNC定值②正确．
③：图2取AM中点O连接B1ODO易AM⊥面ODB1OD⊥AMAD＝MD显然成立③正确．
④：面B1AM⊥面AMD时三棱锥B1﹣AMD体积易AD中点H三棱锥B1﹣AMD外接球球心球半径1表面积4π．④正确．
答案：②④．
点睛题考查线面面面行垂直判定性质定理考查空间想象力推理证力考查反证法应属中档题
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17 角 边分 点 中点已知
（1）求角 长
（2）设 角分线交 求 面积
答案（1） （2）
解析
分析
（1）三角函数恒等变换应化简已知等式tanC 结合范围C∈（0π）求C值余弦定理BD值．
（2）（1）知BD2+BC2＝4＝CD2求∠DBC S△DBC 利三角形面积公式求S△BCE S△CED代入S△BCE+S△CED＝S△BCD 解S△CED值．
详解（1）∵题意： sinC+1﹣2sin2 0
∴ sinC+cos（A+B）＝0
A+B＝π﹣C
∴ sinC﹣cosC＝0tanC
∵C∈（0π）
∴C
∴△BCD中余弦定理：BD2＝3+4﹣2 1
解：BD＝1
（2）（1）知BD2+BC2＝4＝CD2
∴∠DBC
∴S△DBC BDBC
∵CE∠BCD角分线
∴∠BCE＝∠DCE
△CEB△CED中S△BCE
S△CED
：
∴S△BCE S△CED
∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD （1 ）S△CED
∴S△CED （2 ）＝2 3．
点睛题考查三角函数恒等变换应余弦定理三角形面积公式解三角形中综合应考查计算力数形结合思想考查转化思想应属中档题．
18图三棱柱 中 面 面
（1）求证：
（2） 直线 面 成角 中点求二面角 余弦值
答案（1）见解析（2）
解析
分析
（1）点C作CO⊥AA1CO⊥面AA1B1BCO⊥OB推导出Rt△AOC≌Rt△BOCAA1⊥OBAA1⊥COAA1⊥面BOC证明AA1⊥BC．
（2）O坐标原点OAOBOC直线分xyz轴建立空间直角坐标系利量法求出二面角B1﹣A1D﹣C1余弦值．
详解（1）点 作 垂足
面 面
面
面
（2） 坐标原点 直线 轴建立空间直角坐标系
面
直线 面 成角
设面 法量
令
面
面 条法量
二面角 余弦值
点睛题考查线线垂直证明考查二面角余弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力考查数形结合思想中档题．
19图点 圆 ： 动点点 分作 轴 轴垂线垂足分 连接 延长点 点 轨迹记曲线
（1）求曲线 方程
（2）点 分位 轴 轴正半轴直线 曲线 相交 两点试问曲线 否存点 四边形 行四边形存求出直线方程存说明理
答案（1） （2）样直线存详见解析
解析
分析
（1）设 通 转化求解．
（2）设M（x1y1）N（x2y2）题意知直线斜率存零设直线方程 代入椭圆方程整理关x元二次方程假设存点Q满足题意充条件 点Q坐标（x1+x2y1+y2）．利韦达定理结合点Q曲线 关k方程求解．
详解（1）设
题意知 中点
中点坐标公式
点 圆 ： 满足
（2）题意知直线斜率存零
设直线方程
①
联立
消 ：
设
行四边形
点 椭圆 整理 ②
①代入② 该方程解
样直线存
点睛题考查点轨迹方程求法考查满足条件点否存判断直线方程求法体现数学转化思想方法中档题．
20某水果种植基引进种新水果品种研究发现该水果株产量 （单位： ）相株数 具线性相关关系（两株作物相指直线距离超 ）分记录相株数01234时株产量相关数：
0 1 2 3 4
15 12 11 9 8
（1）求出该种水果株产量 关相株数 回方程
（2）种植户准备种植该种水果500株株相株数 计划收获全部售出价格10元 果收入（收入产量
×价格）低25000元 值少？
（3）该种植基图示直角梯形块交叉点（直线交点）处种株该种水果中正方形边长直角三角形直角边长 已知该梯形块周边树木影响种该水果中机选取株试根（1）中回方程预测产量分布列数学期
附：回方程 中斜率截距二法估计公式分：
答案（1）
（2）株相株数 值5
（3） 分布列：
11
株产量期
解析
分析
（1）根回系数公式计算回系数出回方程
（2）先根题意求产量范围根回方程解m范围
（3）根相邻株数取值计算应产量出分布列数学期．
详解（1）题意：
∴
（2）设株产量
根题意：
解
令
解
株相株数 值5
（3）回方程：
时
时
时
时
题意：
分布列：
11
株产量期
点睛题考查线性回方程计算应离散型机变量分布列数学期属中档题．
21已知函数
（1）求函数 极值
（2）设函数 存 证明：
答案（1）函数 极值 极值（2）见解析
解析
分析
（1）求出函数导数根函数单调性求出函数极值
（2）求出a问题转化证明lnx1+lnx2＜2（ 1）ln 2妨设x1＞x2t 1证lnt 2根函数单调性证明．
详解（1） 定义域
令
时
时
单调递减
单调递增
函数 极值 极值
（2）
时
时
时
综 单调递增
须证明
证
知
证
妨设
证
证
设
单调递增
结成立
点睛题考查函数单调性极值问题考查导数应等式证明考查转化思想属难题．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答
22选修44：坐标系参数方程：面直角坐标系 中已知曲线 ： （ 参数）坐标原点 极点 轴正半轴极轴建立极坐标系中直线极坐标方程
（1）求曲线 普通方程直线直角坐标方程
（2）求曲线 直线交点极坐标（ ）
答案（1） （2）
解析
分析
（1）直接利参数方程直角坐标方程极坐标方程间转换求出结果．
（2）利直线曲线位置关系应建立二元二次方程组进步求出极坐标系 结果．
详解（1）曲线 化普通方程：
直线直角坐标方程
（2） 普通方程 联立
解
交点极坐标
点睛题考查知识点：参数方程直角坐标方程极坐标方程间转换二元二次方程应考查学生运算力转化力属基础题型．
23已知函数 值
（1）求实数值
（2） 设 满足 求证：
答案（1） （2）见解析
解析
分析
（1）通讨x范围化简函数解析式根函数性质求出函数值求出t值
（2）根三角等式基等式性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．
详解（1）
（2）
知
仅 时取等号
点睛题考查解绝值等式问题考查绝值等式性质基等式性质属基础题．
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理科数学
试卷4页满分150分
注意事项：
1 答题前考生务必试题卷答题卡规定方填写准考证号姓名考生认真核答题卡粘贴条形码准考证号姓名考生准考证号姓名否致
2 回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
3 考试结束考生必须试题卷答题卡交回
选择题：题12题题5分60分题出四选项中项符合题目求
1已知集合 （ ）
A B
C D
答案B
解析
分析
先求出集合B利交集集定义判断选项．
详解∵B＝ ＝{x| }
∴A∩B＝ ．
选：B．
点睛题考查交集集求法基础题解题时注意交集集区．
2复数满足 虚部（ ）
A 5 B C D 5
答案C
解析
分析
已知等式变形复数代数形式运算化简答案．
详解（1+i）z＝|3+4i|
z
∴z虚部 ．
选：C．
点睛题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3已知 两面直线 （ ）
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
答案A
解析
表示两面直线 条直线 ∥ ∥ ∥ ∥ 充分条件 ∥ 推出 ∥ 充分条件
∴ ∥ ∥ 充分必条件
选A
4已知双曲线 ： 条渐线方程 离心率（ ）
A B C D
答案C
解析
分析
利双曲线渐线推出ba关系然求解离心率．
详解已知双曲线C （a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x
∴
选：C．
点睛题考查双曲线简单性质应解题时注意焦点位置考查计算力．
5执行边程序框图果输出 值1输入 值（ ）
A 0 B C 0 D 01
答案C
解析
分析
根程序框图转化条件函数进行计算．
详解程序应函数y
x≤0y＝1ex＝1x＝0满足条件．
x＞0y＝2﹣lnx＝1lnx＝1x＝e满足条件．
综x＝0e
选：C．
点睛题考查程序框图识应根条件转化分段函数解决题关键．
6某校1000参加某次模拟考试中数学考试成绩似服正态分布 试卷满分150分统计结果显示数学成绩优秀（高120分）数占总数 次数学考试成绩90分105分间数约（ ）
A 150 B 200 C 300 D 400
答案C
解析
分析
求出 求出次数学考试成绩90分105分间数．
详解∵
次数学考试成绩90分105分间数约 ．
选：C．
点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义等基础知识考查运算求解力考查数形结合思想．属基础题．
7函数 图象点 （ ）
A 点 称中心 B 直线 条称轴
C 函数 正周期 D 函数 值域
答案D
解析
分析
根函数f（x）图象点（02）求出θf（x）＝cos2x+1利余弦函数图象性质出结．
详解函数f（x）＝2sin（x+2θ）cosx （0＜θ ）图象点（02）
2sin2θ＝2sin2θ＝1∴2θ ∴θ
f（x）＝2sin（x+2θ）cosx＝2cos2x＝cos2x+1
x 时f（x）＝1AB正确
f（x）正周期 πC正确
显然f（x）＝cos2x+1∈[02]D正确
选：D．
点睛题考查余弦函数图象性质属中档题．
8函数 图象（ ）
A B C D
答案A
解析
分析
计算函数y轴交点坐标判断函数单调性判断出答案．
详解x＝0时y＝4﹣1＝3＞0排C >x>0时 单调递减x> 时导函数4sinx <0单调递减函数连续x>0时函数时递减选A
选：A．
点睛题考查函数图象判断般奇偶性单调性特殊值等方面判断属基础题．
9已知偶函数 时 锐角三角形两角（ ）
A B
C D
答案B
解析
分析
根题意函数解析式f（x）（10）减函数结合函数奇偶性f（x）（01）增函数αβ锐角三角形两角分析sinα＞sin（90°﹣β）＝cosβ结合函数单调性分析答案．
详解根题意x∈（﹣10）时f（x）＝2﹣x＝（ ）xf（x）（01）减函数
f（x）偶函数f（x）（01）增函数
αβ锐角三角形两角α+β＞90°α＞90°﹣βsin
α＞sin（90°﹣β）＝cosβ
f（ sinα）＞f（cosβ）
选：B．
点睛题考查函数单调性奇偶性综合应涉三角函数诱导公式运属基础题．
10已知线量 夹角 处取值 时 取值范围（ ）
A B C D
答案C
解析
试题分析：题意 ∴ 二次函数知式取值时 题意 求 ∴ 选：C．
考点：数量积表示两量夹角
11图示著名汉诺塔问题中三根高度相柱子颜色相圆盘三根柱子分起始柱辅助柱目标柱已知起始柱套 圆盘较圆盘较圆盘面现圆盘起始柱全部移目标柱规：次移动圆盘次移动根柱较圆盘放较圆盘面规定圆盘根柱移动根柱次移动 圆盘起始柱移动目标柱少需移动次数记 （ ）
A 33 B 31 C 17 D 15
答案D
解析
分析
简单合情推理： P（1）+1＝2首项2公等数列等数列通项公式：P（n）+1＝2nP（n）＝2n﹣1解．
详解设圆盘起始柱全部移目标柱少需移动次数记p（n）起始柱（底）圆盘起始柱移动辅助柱少需移动次数记p（n﹣1）
P（n）＝2P（n﹣1）+1
P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]P（1）＝1
P（1）+1＝2首项2公等数列
等数列通项公式：P（n）+1＝2nP（n）＝2n﹣1
P（4）＝24﹣1＝15
选：D．
点睛题考查数列递推公式等数列通项公式属中档题．
12定义：区间 长度均 等式 解集互相交区间集设该等式解集中区间长度（ ）
A 时 B 时
C 时 D 时
答案B
解析
分析
m＞0时∵ m 0令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0两根x1x2x1＜x2根韦达定理f（1）f（2）符号判断x1x212等式解集根区间长度定义．
详解m＞0时∵ 0 0
令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0两根x1x2x1＜x2
0x1+x2 3
∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0
∴1＜x1＜2＜x2
等式解集（1x1]∪（2x2]
∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝3 3
选：B．
点睛题考查分式等式解法涉新定义区间长度理解属难题．
二填空题：题4题题5分20分
13 满足约束条件 值__________．
答案[﹣33]
解析
分析：约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立方程组求出优解坐标代入目标函数答案
详解：约束条件作出行域图：
联立 解
化目标函数 直线方程斜截式
图知直线 直线y轴截距z值
直线 时直线y轴截距z值
取值范围[﹣33]
答案：[﹣33]
点睛：利线性规划求值般图解法求解步骤
(1)面直角坐标系作出行域．
(2)考虑目标函数意义目标函数进行变形．
(3)确定优解：行域行移动目标函数变形直线确定优解．
(4)求值：优解代入目标函数求出值值
14等数列 中 前 项 __________．
答案10
解析
分析
根题意等数列通项公式分析q4＝8×q解q值结合等数列前n项公式Sn 2n﹣1＝1023解n值答案．
详解根题意等数列{an}中a1＝1a5＝8a2
q4＝8×q解q＝2
Sn＝1023 2n﹣1＝1023
解：n＝10
答案：10．
点睛题考查等数列前n项公式应关键掌握等数列前n项形式属基础题．
15已知抛物线 焦点 准线 直线抛物线准线次相交 三点（中 间 第象限） __________．
答案2
解析
分析
已知|MN|＝2|MF|MN直线斜率写出MN直线方程抛物线方程联立求G横坐标抛物线焦点弦长公式求解p．
详解图M作MH⊥l＝H
|MN|＝2|MF||MN|＝2|MH|
∴MN直线斜率
MN直线方程y （x ）
联立 12x2﹣20px+3p2＝0．
解：
|GF| p＝2．
答案：2．
点睛题考查抛物线简单性质考查直线抛物线位置关系应中档题．
16图矩形 中 中点 直线 翻折成 连结 中点翻折程中列说法中正确序号_______
①存某位置
②翻折程中 长定值
③
④ 三棱锥 体积时三棱锥 外接球表面积
答案②④
解析
分析
①取AD中点E连接EC交MDFEN⊥NFEN⊥CN三线NENFNC面点
②∠NEC＝∠MAB1（定值）NE AB1（定值）AM＝EC（定值）余弦定理NC定值．
③取AM中点O连接B1ODO易AM⊥面ODB1OD⊥AMAD＝MD显然成立．
④：面B1AM⊥面AMD时三棱锥B1﹣AMD体积球半径1表面积4π．
详解①：图1取AD中点E连接EC交MDFNE∥AB1NF∥MB1
果CN⊥AB1EN⊥NFEN⊥CN三线NENFNC面点①错．
②：图1∠NEC＝∠MAB1（定值）NE AB1（定值）AM＝EC（定值）
余弦定理NC2＝NE2+EC2﹣2NEECcos∠NECNC定值②正确．
③：图2取AM中点O连接B1ODO易AM⊥面ODB1OD⊥AMAD＝MD显然成立③正确．
④：面B1AM⊥面AMD时三棱锥B1﹣AMD体积易AD中点H三棱锥B1﹣AMD外接球球心球半径1表面积4π．④正确．
答案：②④．
点睛题考查线面面面行垂直判定性质定理考查空间想象力推理证力考查反证法应属中档题
三解答题：70分解答应写出文字说明证明程演算步骤第17～21题必考题试题考生必须作答第2223题选考题考生根求作答
（）必考题：60分
17 角 边分 点 中点已知
（1）求角 长
（2）设 角分线交 求 面积
答案（1） （2）
解析
分析
（1）三角函数恒等变换应化简已知等式tanC 结合范围C∈（0π）求C值余弦定理BD值．
（2）（1）知BD2+BC2＝4＝CD2求∠DBC S△DBC 利三角形面积公式求S△BCE S△CED代入S△BCE+S△CED＝S△BCD 解S△CED值．
详解（1）∵题意： sinC+1﹣2sin2 0
∴ sinC+cos（A+B）＝0
A+B＝π﹣C
∴ sinC﹣cosC＝0tanC
∵C∈（0π）
∴C
∴△BCD中余弦定理：BD2＝3+4﹣2 1
解：BD＝1
（2）（1）知BD2+BC2＝4＝CD2
∴∠DBC
∴S△DBC BDBC
∵CE∠BCD角分线
∴∠BCE＝∠DCE
△CEB△CED中S△BCE
S△CED
：
∴S△BCE S△CED
∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD （1 ）S△CED
∴S△CED （2 ）＝2 3．
点睛题考查三角函数恒等变换应余弦定理三角形面积公式解三角形中综合应考查计算力数形结合思想考查转化思想应属中档题．
18图三棱柱 中 面 面
（1）求证：
（2） 直线 面 成角 中点求二面角 余弦值
答案（1）见解析（2）
解析
分析
（1）点C作CO⊥AA1CO⊥面AA1B1BCO⊥OB推导出Rt△AOC≌Rt△BOCAA1⊥OBAA1⊥COAA1⊥面BOC证明AA1⊥BC．
（2）O坐标原点OAOBOC直线分xyz轴建立空间直角坐标系利量法求出二面角B1﹣A1D﹣C1余弦值．
详解（1）点 作 垂足
面 面
面
面
（2） 坐标原点 直线 轴建立空间直角坐标系
面
直线 面 成角
设面 法量
令
面
面 条法量
二面角 余弦值
点睛题考查线线垂直证明考查二面角余弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力考查数形结合思想中档题．
19图点 圆 ： 动点点 分作 轴 轴垂线垂足分 连接 延长点 点 轨迹记曲线
（1）求曲线 方程
（2）点 分位 轴 轴正半轴直线 曲线 相交 两点试问曲线 否存点 四边形 行四边形存求出直线方程存说明理
答案（1） （2）样直线存详见解析
解析
分析
（1）设 通 转化求解．
（2）设M（x1y1）N（x2y2）题意知直线斜率存零设直线方程 代入椭圆方程整理关x元二次方程假设存点Q满足题意充条件 点Q坐标（x1+x2y1+y2）．利韦达定理结合点Q曲线 关k方程求解．
详解（1）设
题意知 中点
中点坐标公式
点 圆 ： 满足
（2）题意知直线斜率存零
设直线方程
①
联立
消 ：
设
行四边形
点 椭圆 整理 ②
①代入② 该方程解
样直线存
点睛题考查点轨迹方程求法考查满足条件点否存判断直线方程求法体现数学转化思想方法中档题．
20某水果种植基引进种新水果品种研究发现该水果株产量 （单位： ）相株数 具线性相关关系（两株作物相指直线距离超 ）分记录相株数01234时株产量相关数：
0 1 2 3 4
15 12 11 9 8
（1）求出该种水果株产量 关相株数 回方程
（2）种植户准备种植该种水果500株株相株数 计划收获全部售出价格10元 果收入（收入产量
×价格）低25000元 值少？
（3）该种植基图示直角梯形块交叉点（直线交点）处种株该种水果中正方形边长直角三角形直角边长 已知该梯形块周边树木影响种该水果中机选取株试根（1）中回方程预测产量分布列数学期
附：回方程 中斜率截距二法估计公式分：
答案（1）
（2）株相株数 值5
（3） 分布列：
11
株产量期
解析
分析
（1）根回系数公式计算回系数出回方程
（2）先根题意求产量范围根回方程解m范围
（3）根相邻株数取值计算应产量出分布列数学期．
详解（1）题意：
∴
（2）设株产量
根题意：
解
令
解
株相株数 值5
（3）回方程：
时
时
时
时
题意：
分布列：
11
株产量期
点睛题考查线性回方程计算应离散型机变量分布列数学期属中档题．
21已知函数
（1）求函数 极值
（2）设函数 存 证明：
答案（1）函数 极值 极值（2）见解析
解析
分析
（1）求出函数导数根函数单调性求出函数极值
（2）求出a问题转化证明lnx1+lnx2＜2（ 1）ln 2妨设x1＞x2t 1证lnt 2根函数单调性证明．
详解（1） 定义域
令
时
时
单调递减
单调递增
函数 极值 极值
（2）
时
时
时
综 单调递增
须证明
证
知
证
妨设
证
证
设
单调递增
结成立
点睛题考查函数单调性极值问题考查导数应等式证明考查转化思想属难题．
（二）选考题：10分请考生第2223题中选题作答
22选修44：坐标系参数方程：面直角坐标系 中已知曲线 ： （ 参数）坐标原点 极点 轴正半轴极轴建立极坐标系中直线极坐标方程
（1）求曲线 普通方程直线直角坐标方程
（2）求曲线 直线交点极坐标（ ）
答案（1） （2）
解析
分析
（1）直接利参数方程直角坐标方程极坐标方程间转换求出结果．
（2）利直线曲线位置关系应建立二元二次方程组进步求出极坐标系 结果．
详解（1）曲线 化普通方程：
直线直角坐标方程
（2） 普通方程 联立
解
交点极坐标
点睛题考查知识点：参数方程直角坐标方程极坐标方程间转换二元二次方程应考查学生运算力转化力属基础题型．
23已知函数 值
（1）求实数值
（2） 设 满足 求证：
答案（1） （2）见解析
解析
分析
（1）通讨x范围化简函数解析式根函数性质求出函数值求出t值
（2）根三角等式基等式性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．
详解（1）
（2）
知
仅 时取等号
点睛题考查解绝值等式问题考查绝值等式性质基等式性质属基础题．
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