2019高考理科数学模拟试题（）
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写姓名班级考号等信息
2．请答案正确填写答题卡
第Ⅰ卷（选择题）
选择题(题12题题5分60分题选项符合题意)
1．已知集合M{x|yx2+1}N{y|y}M∩N（ ）
A．{（01）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
2．复数z轭复数虚部（ ）
A．﹣i B．﹣ C．i D．
3．已知命题p：存量•||•||命题q：意量••．列判断正确（ ）
A．命题p∨q假命题 B．命题p∧q真命题
C．命题p∨（￢q）假命题 D．命题p∧（￢q）真命题
4．2017年5月30日传统节日﹣﹣端午节天明妈妈明煮5粽子中两腊肉馅三豆沙馅明机取出两事件A取两种馅事件B取两豆沙馅P（B|A）（ ）
A． B． C． D．
5．已知锐角α终边点P（sin40°1+cos40°）α等（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
6．已知函数bf（π）cf（5）（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
7．阅读程序框图果输出函数值区间输入实数x取值范围（ ）
A．（﹣∞﹣2] B．[﹣2﹣1] C．[﹣12] D．[2+∞）
8．体三视图图示体体积（ ）
A． B． C． D．
9．约束条件6≤s≤9时目标函数zx﹣y值变化范围（ ）
A．[38] B．[58] C．[36] D．[47]
10．已知正实数ab满足a+b3值（ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知a∈Rf（x）（x+）ex区间（01）极值点a取值范围（ ）
A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0
12．设椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点分F1F2焦距2c点Q（c）椭圆部点P椭圆C动点|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立椭圆离心率取值范围（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二填空题(题4题题5分20分)
13．已知二项式展开式中常数项 ．
14．函数f（x）Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞00＜φ＜π）图象关y轴称该函数部分图象图示△PMNMN斜边等腰直角三角形f（1）值 ．
15．面直角坐标系中△ABCA（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4顶点C轨迹方程 ．
16．长宽高分123密封透明长方体容器中装部分液体果意转动该长方体液面形状三角形液体体积取值范围 ．
三解答题(6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤) 17．（12分）已知数列{an}满足a11an+11﹣中n∈N*．
（Ⅰ）设bn求证：数列{bn}等差数列求出{an}通项公式an
（Ⅱ）设Cn数列{CnCn+2}前n项Tn否存正整数mTn＜n∈N*恒成立存求出m值存请说明理．
18．（12分）某校高三学期期末数学考试成绩中机抽取60名学生成绩图示频率分布直方图：
（1）根频率分布直方图估计该校高三学生次数学考试均分
（2）分层抽样方法分数[3050）[130150]学生中抽取6该6中成绩[130150]？
（3）（2）抽取6中机抽取3计分数[130150]数ξ求期E（ξ）．
19．（12分）图已知面QBC直线PA均垂直Rt△ABC面PAABAC．
（Ⅰ）求证：PA∥面QBC
（Ⅱ）PQ⊥面QBC求二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心Q椭圆C点P（0）椭圆C右焦点距离．
（1）求椭圆C方程
（2）点P作互相垂直两条直线l1l2l1交椭圆CAB两点直线l2交圆QCD两点MCD中点求△MAB面积取值范围．
21．（12分）设函数f（x）x2+aln（x+1）（a常数）
（Ⅰ）函数yf（x）区间[1+∞）单调递增函数求实数a取值范围
（Ⅱ）函数yf（x）两极值点x1x2x1＜x2求证：．
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分
22．（10分）直角坐标系xOy极坐标系Ox原点极点重合x轴正半轴极轴重合单位长度相直角坐标系曲线C参数方程
参数）．
（1）极坐标系曲线C射线射线分交AB两点求△AOB面积
（2）直角坐标系直线l参数方程（t参数）求曲线C直线l交点坐标．
23．（10分）已知函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|g（x）|x+1|+|x﹣a|
（1）求f（x）≥1解集
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）．求a取位范围．
2018高考理科数学模拟试题（）
参考答案试题解析
．选择题（12题）
1．已知集合M{x|yx2+1}N{y|y}M∩
N（ ）
A．{（01）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
分析求出M中x范围确定出M求出N中y范围确定出N找出两集合交集．
解答解：M中yx2+1x∈RMR
N中y≥0N{x|x≥0}
M∩N{x|x≥0}
选：C．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．复数z轭复数虚部（ ）
A．﹣i B．﹣ C．i D．
分析利复数代数形式运算化简进步求出答案．
解答解：∵z
∴．
∴复数z轭复数虚部．
选：D．
点评题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．已知命题p：存量•||•||命题q：意量••．列判断正确（ ）
A．命题p∨q假命题 B．命题p∧q真命题
C．命题p∨（￢q）假命题 D．命题p∧（￢q）真命题
分析命题p：存方量•||•||判断出真假．命题q：取量（10）（01）（02）满足••≠判断出真假．利复合命题真假判定方法出．
解答解：命题p：存方量•|
|•||真命题．
命题q：取量（10）（01）（02）••≠假命题．
列判断正确：p∧（￢q）真命题．
选：D．
点评题考查数量积运算性质复合命题判定方法考查推理力计算力属基础题．
4．2017年5月30日传统节日﹣﹣端午节天明妈妈明煮5粽子中两腊肉馅三豆沙馅明机取出两事件A取两种馅事件B取两豆沙馅P（B|A）（ ）
A． B． C． D．
分析求出P（A）P（AB）利P（B|A）结．
解答解：题意P（A）P（AB）
∴P（B|A）
选：A．
点评题考查条件概率考查学生计算力正确运公式关键．
5．已知锐角α终边点P（sin40°1+cos40°）α等（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
分析题意求出PO斜率利二倍角公式化简通角锐角求出角．
解答解：题意知sin40°＞01+cos40°＞0
点P第象限OP斜率
tanαcot20°tan70°
α锐角知α70°．
选C．
点评题考查直线斜率公式应三角函数化简求值考查计算力．
6．已知函数bf（π）cf（5）（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
分析求出函数f（x）导数判断函数单调性较函数值．
解答解：f（x）定义域（0+∞）
f′（x）﹣1﹣﹣＜0
f（x）（0+∞）递减
5＞π＞
∴f（5）＜f（π）＜f（）
c＜b＜a
选：A．
点评题考查函数单调性问题考查导数应道基础题．
7．阅读程序框图果输出函数值区间输入实数x取值范围（ ）
A．（﹣∞﹣2] B．[﹣2﹣1] C．[﹣12] D．[2+∞）
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作计算分段函数f（x）函数值．根函数解析式结合输出函数值区间答案．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作计算分段函数f（x）
函数值．
∵输出函数值区间
∴x∈[﹣2﹣1]
选B
点评题考查知识点选择结构中根函数流程图判断出程序功解答题关键．
8．体三视图图示体体积（ ）
A． B． C． D．
分析体半圆锥四棱锥组合成求两体积．
解答解：体半圆锥四棱锥组合成
半圆锥体积××π×1×
四棱锥体积×2×2×
体体积V
选D．
点评题考查学生空间想象力计算力属基础题．
9．约束条件6≤s≤9时目标函数zx﹣y值变化范围（ ）
A．[38] B．[58] C．[36] D．[47]
分析作出等式组应面区域画出等式组表示面区域zx﹣yyx﹣z利移结．
解答解：约束条件应面区域图：（阴影部分）．
zx﹣yyx﹣z移直线yx﹣z
s6时移知直线yx﹣z点A时
直线yx﹣z截距时z取值x﹣y取值
解A（51）代入zx﹣yz5﹣14
zx﹣y值4
s9时移知直线yx﹣z点B时
直线yx﹣z截距时z取值x﹣y取值
解B（81）代入zx﹣yz8﹣17
zx﹣y值7
目标函数zx﹣y值变化范围：[47]．
选：D．
点评题考查线性规划应数形结合解决线性规划问题中基方法．
10．已知正实数ab满足a+b3值（ ）
A．1 B． C． D．2
分析已知代入然利基等式求值．
解答解：∵a+b3
∴
．
仅ab时等号成立．
选：C．
点评题考查利基等式求值关键掌握该类问题求解方法中档题．
11．已知a∈Rf（x）（x+）ex区间（01）极值点a取值范围（ ）
A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0
分析求导数分类讨利极值函数单调性确定a取值范围．
解答解：∵f（x）（x+）ex
∴f′（x）（）ex
设h（x）x3+x2+ax﹣a
∴h′（x）3x2+2x+a
a＞0h′（x）＞0（01）恒成立函数h（x）（01）增函数
∵h（0）﹣a＜0h（1）2＞0
∴h（x）（01）零点x0f′（x0）0
（0x0）f′（x）＜0（x01）f′（x）＞0
∴x0函数f（x）（01）唯极值点
a0时x∈（01）h′（x）3x2+2x＞0成立函数h（x）（01）增函数
时h（0）0∴h（x）＞0（01）恒成立
f′（x）＞0函数f（x）（01）单调增函数函数f（x）（01）极值
a＜0时h（x）x3+x2+a（x﹣1）
∵x∈（01）∴h（x）＞0（01）恒成立
f′（x）＞0函数f（x）（01）单调增函数函数f（x）（01）极值．
综述a＞0．
选：A．
点评题考查导数知识综合运考查函数单调性极值考查学生分析解决问题力属中档题．
12．设椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点分F1F2焦距2c点Q（c）椭圆部点P椭圆C动点|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立椭圆离心率取值范围（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
分析点Q（c）椭圆部|PF1|+|PQ|2a﹣|PF2|+|PQ|﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2||QF2||PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．
解答解：∵点Q（c）椭圆部∴⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．
|PF1|+|PQ|2a﹣|PF2|+|PQ|
﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|
|QF2|
|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c
椭圆离心率取值范围（）．
选：B
点评题考查椭圆方程性质椭圆离心率转化思想解题关键属难题．
二．填空题（4题）
13．已知二项式展开式中常数项 240 ．
分析利定积分求出a写出展开式通项公式令x指数0出结．
解答解：sinx2二项式展开式通项公式Tr+1C6r2rx632r
令求r4二项式展开式中常数项×24240．
答案：240．
点评题考查定积分知识运考查二项式定理考查学生计算力属中档题．
14．函数f（x）Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞00＜φ＜π）图象关y轴称该函数部分图象图示△PMNMN斜边等腰直角三角形f（1）值 0 ．
分析题意求出结合函数图象图象关y轴称φ△PMNMN斜边等腰直角三角形|PM|•sin45°|MN|求解
|MN|A函数f（x）Asin（ωx+φ）
解答解：题意图象关y轴称φ
∵△PMNMN斜边等腰直角三角形|PM|•sin45°|MN|
解：|MN|2|PM|
等腰三角形PMN中求△PMN高1P点坐标1
A1
T2|MN|4
∴
∴函数f（x）Asin（ωx+φ）sin（）
x1时f（1）cos0．
答案0．
点评题考查利yAsin（ωx+φ）图象特征函数yAsin（ωx+φ）部分图象求解析式属中档题．
15．面直角坐标系中△ABCA（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4顶点C轨迹方程 1（x≥2） ．
分析利A（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4双曲线定义点C轨迹焦点x轴双曲线右支2a4c3求出b求出点C轨迹方程．
解答解：∵A（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4
∴双曲线定义点C轨迹焦点x轴双曲线右支2a4c3
∴a2b
∴点P轨迹方程1（x≥2）
答案1（x≥2）．
点评题考查点C轨迹方程考查双曲线定义正确运双曲线定义关键．
16．长宽高分123密封透明长方体容器中装部分液体果意转动该长方体液面形状三角形液体体积取值范围 （） ．
分析画出长方体顶点放桌面容易观察出液体体积时取值值．
解答解：长方体ABCD﹣EFGH液面三角形
液面必须高面EHD低面AFC
面EHD行水面放置时满足述条件意转动该长方体
液面形状三角形
液体体积必须三棱柱G﹣EHD体积
长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣
答案：（）．
点评题考查棱柱结构特征体体积求法问题考查空间想象力难题．
三．解答题（7题满分70分）
17．（12分）已知数列{an}满足a11an+11﹣中n∈N*．
（Ⅰ）设bn求证：数列{bn}等差数列求出{an}通项公式an
（Ⅱ）设Cn数列{CnCn+2}前n项Tn否存正整数mTn＜n∈N*恒成立存求出m值存请说明理．
分析（Ⅰ）利递推公式出bn+1﹣bn常数证明数列{bn}等差数列利等差数列通项公式bn进an
（Ⅱ）利（Ⅰ）结利裂项求TnTn＜n∈N*恒成立解出．
解答（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn
2
∴数列{bn}公差2等差数列
2∴bn2+（n﹣1）×22n．
∴2n解．
（Ⅱ）解：（Ⅰ）
∴cncn+2
∴数列{CnCn+2}前n项Tn…+
2＜3．
Tn＜n∈N*恒成立
解m≥3m≤﹣4
m＞0值3．
点评正确理解递推公式含义熟练掌握等差数列通项公式裂项求等价转化等方法解题关键．
18．（12分）某校高三学期期末数学考试成绩中机抽取60名学生成绩图示频率分布直方图：
（1）根频率分布直方图估计该校高三学生次数学考试均分
（2）分层抽样方法分数[3050）[130150]学生中抽取6该6中成绩[130150]？
（3）（2）抽取6中机抽取3计分数[130150]数ξ求期E（ξ）．
分析（1）频率分布直方图计算数均分
（2）计算样中分数[3050）[130150]数根分层抽样原理求出抽取数
（3）计算抽取6中分数[130150]数求出ξ取值概率分布计算数学期值．
解答解：（1）频率分布直方图
该校高三学生次数学考试均分
00050×20×40+00075×20×60+00075×20×80+00150×20×100
+00125×20×120+00025×20×14092…（4分）
（2）样中分数[3050）[130150]数分63
抽取6中分数[130150]（）…（8分）
（3）（2）知：抽取6中分数[130150]2
题意ξ取值012
ξ0时
ξ1时
ξ2时
∴．…（12分）
点评题考查频率分布直方图均数概率计算问题考查运统计知识解决简单实际问题力基础题．
19．（12分）图已知面QBC直线PA均垂直Rt△ABC面PAABAC．
（Ⅰ）求证：PA∥面QBC
（Ⅱ）PQ⊥面QBC求二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
分析（Ⅰ）利线面垂直性质定理线面行判定定理证明
（Ⅱ）方法：利三角形中位线定理二面角面角定义求出．
方法二：通建立空间直角坐标系利面法量成夹角求两面二面角面角．
解答解：（I）证明：点Q作QD⊥BC点D
∵面QBC⊥面ABC∴QD⊥面ABC
∵PA⊥面ABC
∴QD∥PA∵QD⊂面QBCPA⊄面QBC
∴PA∥面QBC．
（Ⅱ）方法：∵PQ⊥面QBC
∴∠PQB∠PQC90°∵PBPCPQPQ
∴△PQB≌△PQC∴BQCQ．
∴点DBC中点连接ADAD⊥BC
∴AD⊥面QBC∴PQ∥ADAD⊥QD
∴四边形PADQ矩形．
设PA2a
∴PB2a∴．
Q作QR⊥PB点R
∴QR
取PB中点M连接AM取PA中点N连接RN
∵PR∴MA∥RN．
∵PAAB∴AM⊥PB∴RN⊥PB．
∴∠QRN二面角Q﹣PB﹣A面角．
连接QNQN．
∴cos∠QRN．
二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥面QBC
∴∠PQB∠PQC90°∵PBPCPQPQ
∴△PQB≌△PQC∴BQCQ．
∴点DBC中点连ADAD⊥BC．
∴AD⊥面QBC∴PQ∥ADAD⊥QD
∴四边形PADQ矩形．
分ACABAPxyz轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．
妨设PA2Q（112）B（020）P（002）
设面QPB法量．
∵（110）（02﹣2）．
∴令x1yz﹣1．
∵面PAB法量．
设二面角Q﹣PB﹣Aθ|cosθ|
∵二面角Q﹣PB﹣A钝角
∴．
点评熟练掌握线面垂直性质定理线面行判定定理二面角定义通建立空间直角坐标系利面法量成夹角求二面角面角解题关键．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心Q椭圆C点P（0
）椭圆C右焦点距离．
（1）求椭圆C方程
（2）点P作互相垂直两条直线l1l2l1交椭圆CAB两点直线l2交圆QCD两点MCD中点求△MAB面积取值范围．
分析（1）求圆Q圆心代入椭圆方程运两点距离公式解方程ab值进椭圆方程
（2）讨两直线斜率存0求三角形MAB面积4设直线ykx+代入圆Q方程运韦达定理中点坐标公式M坐标求MP长直线AB方程y﹣x+代入椭圆方程运韦达定理弦长公式三角形面积公式化简整理换元法结合函数单调性面积范围．
解答解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心（2）
代入椭圆方程+1
点P（0）椭圆C右焦点距离
解c2a2﹣b24
解a2b2
椭圆方程+1
（2）直线l2：y代入圆方程x2±
M坐标（2）|AB|4
△MAB面积×2×44
设直线ykx+代入圆Q方程（1+k2）x2﹣4x+20
中点M（）
|MP|
设直线AB方程y﹣x+代入椭圆方程：
（2+k2）x2﹣4kx﹣4k20
设（x1y1）B（x2y2）x1+x2x1x2
|AB|•
•
△MAB面积S•••
4
设t4+k2（5＞t＞4）＜1
S＜4
S＞4
综△MAB面积取值范围（4]．
点评题考查椭圆方程求法注意运点满足椭圆方程考查三角形面积范围注意运直线方程椭圆方程联立运韦达定理弦长公式三角形面积公式运换元法函数单调性属中档题．
21．（12分）设函数f（x）x2+aln（x+1）（a常数）
（Ⅰ）函数yf（x）区间[1+∞）单调递增函数求实数a取值范围
（Ⅱ）函数yf（x）两极值点x1x2x1＜x2求证：．
分析（Ⅰ）已知原函数值正导函数值非负求出参量范围
（Ⅱ）利韦达定理求象进行消元新函数该函数求导导函数求导通导函数导导函数研究导函数值原函数值题结．
解答解：（Ⅰ）根题意知：f′（x）
[1+∞）恒成立．
a≥﹣2x2﹣2x区间[1+∞）恒成立．
∵﹣2x2﹣2x区间[1+∞）值﹣4
∴a≥﹣4
检验：a﹣4时x∈[1+∞）．
∴a取值范围[﹣4+∞）．
（Ⅱ）区间（﹣1+∞）两相等实数根
方程2x2+2x+a0区间（﹣1+∞）两相等实数根．
记g（x）2x2+2x+a解．
∴．
∴
令．
记．
∴
P’(12)4P’(0)2
p′（x0）0．
p′（x）＜0x∈（x00）时p′（x）＞0．
k′（x）单调递减（x00）单调递增
∵K'1212ln2<0K'00
∴x∈120K'(x)<0
∴k（x）单调递减
．
点评题考查导数知识重点利导数法研究函数单调性究极值值难点次连续求导二次求导题消元方法难度较．
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分
22．（10分）（选做题）直角坐标系xOy极坐标系Ox原点极点重合x轴正半轴极轴重合单位长度相直角坐标系曲线C参数方程参数）．
（1）极坐标系曲线C射线射线分交AB两点求△AOB面积
（2）直角坐标系直线l参数方程（t参数）求曲线C直线l交点坐标．
分析（1）先消参数方程中参数普通方程利直角坐标极坐标间关系利ρcosθxρsinθyρ2x2+y2进行代换直角坐标方程化成极坐标方程通极坐标方程求出三角形边长求面积．
（2）l参数方程代入曲线C普通方程t值代入l参数方程曲线C直线l交点坐标．
解答解：（1）曲线C参数方程参数）．
消参数普通方程：
化成极坐标方程：
分代入|OA|2|OB|2
∠AOB△AOB面积S|OA||OB|．
（2）l参数方程代入曲线C普通方程（t﹣2）20
∴t2代入l参数方程x2y
∴曲线C直线l交点坐标（2）．
点评题考查点极坐标直角坐标互化极坐标系中极坐标刻画点位置体会极坐标系面直角坐标系中刻画点位置区进行极坐标直角坐标互化．
23．（10分）已知函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|g（x）|x+1|+|x﹣a|
（1）求f（x）≥1解集
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）．求a取位范围．
分析（1）解等式等价转化等价三等式组求出等式组解集取集求．
（2）题意g（x）min≥f（x）max利绝值三角等分求g（x）min f（x）max解等式g（x）min≥f（x）max求a范围．
解答解：（1）∵函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|f（x）≥1等价|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1
等价① ②
③．
解①求x∈∅解②求≥x≥解③求x＞
综等式解集{x|x≥}．
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）g（x）min≥f（x）max．
∵函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣（2x﹣3）|4∴f（x）max4．
∵g（x）|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）||a+1|g（x）min|a+1|
∴|a+1|≥4∴a+1≥4a+1≤﹣4求a≥3a≤﹣5
求a范围{x|a≥3a≤﹣5 }．
点评题考查绝值三角等式绝值等式解法关键掉绝值化等价等式组解属基础题．
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考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写姓名班级考号等信息
2．请答案正确填写答题卡
第Ⅰ卷（选择题）
选择题(题12题题5分60分题选项符合题意)
1．已知集合M{x|yx2+1}N{y|y}M∩N（ ）
A．{（01）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
2．复数z轭复数虚部（ ）
A．﹣i B．﹣ C．i D．
3．已知命题p：存量•||•||命题q：意量••．列判断正确（ ）
A．命题p∨q假命题 B．命题p∧q真命题
C．命题p∨（￢q）假命题 D．命题p∧（￢q）真命题
4．2017年5月30日传统节日﹣﹣端午节天明妈妈明煮5粽子中两腊肉馅三豆沙馅明机取出两事件A取两种馅事件B取两豆沙馅P（B|A）（ ）
A． B． C． D．
5．已知锐角α终边点P（sin40°1+cos40°）α等（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
6．已知函数bf（π）cf（5）（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
7．阅读程序框图果输出函数值区间输入实数x取值范围（ ）
A．（﹣∞﹣2] B．[﹣2﹣1] C．[﹣12] D．[2+∞）
8．体三视图图示体体积（ ）
A． B． C． D．
9．约束条件6≤s≤9时目标函数zx﹣y值变化范围（ ）
A．[38] B．[58] C．[36] D．[47]
10．已知正实数ab满足a+b3值（ ）
A．1 B． C． D．2
11．已知a∈Rf（x）（x+）ex区间（01）极值点a取值范围（ ）
A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0
12．设椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点分F1F2焦距2c点Q（c）椭圆部点P椭圆C动点|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立椭圆离心率取值范围（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二填空题(题4题题5分20分)
13．已知二项式展开式中常数项 ．
14．函数f（x）Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞00＜φ＜π）图象关y轴称该函数部分图象图示△PMNMN斜边等腰直角三角形f（1）值 ．
15．面直角坐标系中△ABCA（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4顶点C轨迹方程 ．
16．长宽高分123密封透明长方体容器中装部分液体果意转动该长方体液面形状三角形液体体积取值范围 ．
三解答题(6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤) 17．（12分）已知数列{an}满足a11an+11﹣中n∈N*．
（Ⅰ）设bn求证：数列{bn}等差数列求出{an}通项公式an
（Ⅱ）设Cn数列{CnCn+2}前n项Tn否存正整数mTn＜n∈N*恒成立存求出m值存请说明理．
18．（12分）某校高三学期期末数学考试成绩中机抽取60名学生成绩图示频率分布直方图：
（1）根频率分布直方图估计该校高三学生次数学考试均分
（2）分层抽样方法分数[3050）[130150]学生中抽取6该6中成绩[130150]？
（3）（2）抽取6中机抽取3计分数[130150]数ξ求期E（ξ）．
19．（12分）图已知面QBC直线PA均垂直Rt△ABC面PAABAC．
（Ⅰ）求证：PA∥面QBC
（Ⅱ）PQ⊥面QBC求二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心Q椭圆C点P（0）椭圆C右焦点距离．
（1）求椭圆C方程
（2）点P作互相垂直两条直线l1l2l1交椭圆CAB两点直线l2交圆QCD两点MCD中点求△MAB面积取值范围．
21．（12分）设函数f（x）x2+aln（x+1）（a常数）
（Ⅰ）函数yf（x）区间[1+∞）单调递增函数求实数a取值范围
（Ⅱ）函数yf（x）两极值点x1x2x1＜x2求证：．
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分
22．（10分）直角坐标系xOy极坐标系Ox原点极点重合x轴正半轴极轴重合单位长度相直角坐标系曲线C参数方程
参数）．
（1）极坐标系曲线C射线射线分交AB两点求△AOB面积
（2）直角坐标系直线l参数方程（t参数）求曲线C直线l交点坐标．
23．（10分）已知函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|g（x）|x+1|+|x﹣a|
（1）求f（x）≥1解集
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）．求a取位范围．
2018高考理科数学模拟试题（）
参考答案试题解析
．选择题（12题）
1．已知集合M{x|yx2+1}N{y|y}M∩
N（ ）
A．{（01）} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥0} D．{x|x≥1}
分析求出M中x范围确定出M求出N中y范围确定出N找出两集合交集．
解答解：M中yx2+1x∈RMR
N中y≥0N{x|x≥0}
M∩N{x|x≥0}
选：C．
点评题考查交集运算熟练掌握交集定义解题关键．
2．复数z轭复数虚部（ ）
A．﹣i B．﹣ C．i D．
分析利复数代数形式运算化简进步求出答案．
解答解：∵z
∴．
∴复数z轭复数虚部．
选：D．
点评题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．已知命题p：存量•||•||命题q：意量••．列判断正确（ ）
A．命题p∨q假命题 B．命题p∧q真命题
C．命题p∨（￢q）假命题 D．命题p∧（￢q）真命题
分析命题p：存方量•||•||判断出真假．命题q：取量（10）（01）（02）满足••≠判断出真假．利复合命题真假判定方法出．
解答解：命题p：存方量•|
|•||真命题．
命题q：取量（10）（01）（02）••≠假命题．
列判断正确：p∧（￢q）真命题．
选：D．
点评题考查数量积运算性质复合命题判定方法考查推理力计算力属基础题．
4．2017年5月30日传统节日﹣﹣端午节天明妈妈明煮5粽子中两腊肉馅三豆沙馅明机取出两事件A取两种馅事件B取两豆沙馅P（B|A）（ ）
A． B． C． D．
分析求出P（A）P（AB）利P（B|A）结．
解答解：题意P（A）P（AB）
∴P（B|A）
选：A．
点评题考查条件概率考查学生计算力正确运公式关键．
5．已知锐角α终边点P（sin40°1+cos40°）α等（ ）
A．10° B．20° C．70° D．80°
分析题意求出PO斜率利二倍角公式化简通角锐角求出角．
解答解：题意知sin40°＞01+cos40°＞0
点P第象限OP斜率
tanαcot20°tan70°
α锐角知α70°．
选C．
点评题考查直线斜率公式应三角函数化简求值考查计算力．
6．已知函数bf（π）cf（5）（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
分析求出函数f（x）导数判断函数单调性较函数值．
解答解：f（x）定义域（0+∞）
f′（x）﹣1﹣﹣＜0
f（x）（0+∞）递减
5＞π＞
∴f（5）＜f（π）＜f（）
c＜b＜a
选：A．
点评题考查函数单调性问题考查导数应道基础题．
7．阅读程序框图果输出函数值区间输入实数x取值范围（ ）
A．（﹣∞﹣2] B．[﹣2﹣1] C．[﹣12] D．[2+∞）
分析分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作计算分段函数f（x）函数值．根函数解析式结合输出函数值区间答案．
解答解：分析程序中变量语句作
根流程图示序知：
该程序作计算分段函数f（x）
函数值．
∵输出函数值区间
∴x∈[﹣2﹣1]
选B
点评题考查知识点选择结构中根函数流程图判断出程序功解答题关键．
8．体三视图图示体体积（ ）
A． B． C． D．
分析体半圆锥四棱锥组合成求两体积．
解答解：体半圆锥四棱锥组合成
半圆锥体积××π×1×
四棱锥体积×2×2×
体体积V
选D．
点评题考查学生空间想象力计算力属基础题．
9．约束条件6≤s≤9时目标函数zx﹣y值变化范围（ ）
A．[38] B．[58] C．[36] D．[47]
分析作出等式组应面区域画出等式组表示面区域zx﹣yyx﹣z利移结．
解答解：约束条件应面区域图：（阴影部分）．
zx﹣yyx﹣z移直线yx﹣z
s6时移知直线yx﹣z点A时
直线yx﹣z截距时z取值x﹣y取值
解A（51）代入zx﹣yz5﹣14
zx﹣y值4
s9时移知直线yx﹣z点B时
直线yx﹣z截距时z取值x﹣y取值
解B（81）代入zx﹣yz8﹣17
zx﹣y值7
目标函数zx﹣y值变化范围：[47]．
选：D．
点评题考查线性规划应数形结合解决线性规划问题中基方法．
10．已知正实数ab满足a+b3值（ ）
A．1 B． C． D．2
分析已知代入然利基等式求值．
解答解：∵a+b3
∴
．
仅ab时等号成立．
选：C．
点评题考查利基等式求值关键掌握该类问题求解方法中档题．
11．已知a∈Rf（x）（x+）ex区间（01）极值点a取值范围（ ）
A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0
分析求导数分类讨利极值函数单调性确定a取值范围．
解答解：∵f（x）（x+）ex
∴f′（x）（）ex
设h（x）x3+x2+ax﹣a
∴h′（x）3x2+2x+a
a＞0h′（x）＞0（01）恒成立函数h（x）（01）增函数
∵h（0）﹣a＜0h（1）2＞0
∴h（x）（01）零点x0f′（x0）0
（0x0）f′（x）＜0（x01）f′（x）＞0
∴x0函数f（x）（01）唯极值点
a0时x∈（01）h′（x）3x2+2x＞0成立函数h（x）（01）增函数
时h（0）0∴h（x）＞0（01）恒成立
f′（x）＞0函数f（x）（01）单调增函数函数f（x）（01）极值
a＜0时h（x）x3+x2+a（x﹣1）
∵x∈（01）∴h（x）＞0（01）恒成立
f′（x）＞0函数f（x）（01）单调增函数函数f（x）（01）极值．
综述a＞0．
选：A．
点评题考查导数知识综合运考查函数单调性极值考查学生分析解决问题力属中档题．
12．设椭圆C：+1（a＞b＞0）左右焦点分F1F2焦距2c点Q（c）椭圆部点P椭圆C动点|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立椭圆离心率取值范围（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
分析点Q（c）椭圆部|PF1|+|PQ|2a﹣|PF2|+|PQ|﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2||QF2||PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．
解答解：∵点Q（c）椭圆部∴⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．
|PF1|+|PQ|2a﹣|PF2|+|PQ|
﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|
|QF2|
|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c
椭圆离心率取值范围（）．
选：B
点评题考查椭圆方程性质椭圆离心率转化思想解题关键属难题．
二．填空题（4题）
13．已知二项式展开式中常数项 240 ．
分析利定积分求出a写出展开式通项公式令x指数0出结．
解答解：sinx2二项式展开式通项公式Tr+1C6r2rx632r
令求r4二项式展开式中常数项×24240．
答案：240．
点评题考查定积分知识运考查二项式定理考查学生计算力属中档题．
14．函数f（x）Asin（ωx+φ）（A＞0ω＞00＜φ＜π）图象关y轴称该函数部分图象图示△PMNMN斜边等腰直角三角形f（1）值 0 ．
分析题意求出结合函数图象图象关y轴称φ△PMNMN斜边等腰直角三角形|PM|•sin45°|MN|求解
|MN|A函数f（x）Asin（ωx+φ）
解答解：题意图象关y轴称φ
∵△PMNMN斜边等腰直角三角形|PM|•sin45°|MN|
解：|MN|2|PM|
等腰三角形PMN中求△PMN高1P点坐标1
A1
T2|MN|4
∴
∴函数f（x）Asin（ωx+φ）sin（）
x1时f（1）cos0．
答案0．
点评题考查利yAsin（ωx+φ）图象特征函数yAsin（ωx+φ）部分图象求解析式属中档题．
15．面直角坐标系中△ABCA（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4顶点C轨迹方程 1（x≥2） ．
分析利A（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4双曲线定义点C轨迹焦点x轴双曲线右支2a4c3求出b求出点C轨迹方程．
解答解：∵A（﹣30）B（30）顶点C点A点B距离差4
∴双曲线定义点C轨迹焦点x轴双曲线右支2a4c3
∴a2b
∴点P轨迹方程1（x≥2）
答案1（x≥2）．
点评题考查点C轨迹方程考查双曲线定义正确运双曲线定义关键．
16．长宽高分123密封透明长方体容器中装部分液体果意转动该长方体液面形状三角形液体体积取值范围 （） ．
分析画出长方体顶点放桌面容易观察出液体体积时取值值．
解答解：长方体ABCD﹣EFGH液面三角形
液面必须高面EHD低面AFC
面EHD行水面放置时满足述条件意转动该长方体
液面形状三角形
液体体积必须三棱柱G﹣EHD体积
长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣
答案：（）．
点评题考查棱柱结构特征体体积求法问题考查空间想象力难题．
三．解答题（7题满分70分）
17．（12分）已知数列{an}满足a11an+11﹣中n∈N*．
（Ⅰ）设bn求证：数列{bn}等差数列求出{an}通项公式an
（Ⅱ）设Cn数列{CnCn+2}前n项Tn否存正整数mTn＜n∈N*恒成立存求出m值存请说明理．
分析（Ⅰ）利递推公式出bn+1﹣bn常数证明数列{bn}等差数列利等差数列通项公式bn进an
（Ⅱ）利（Ⅰ）结利裂项求TnTn＜n∈N*恒成立解出．
解答（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn
2
∴数列{bn}公差2等差数列
2∴bn2+（n﹣1）×22n．
∴2n解．
（Ⅱ）解：（Ⅰ）
∴cncn+2
∴数列{CnCn+2}前n项Tn…+
2＜3．
Tn＜n∈N*恒成立
解m≥3m≤﹣4
m＞0值3．
点评正确理解递推公式含义熟练掌握等差数列通项公式裂项求等价转化等方法解题关键．
18．（12分）某校高三学期期末数学考试成绩中机抽取60名学生成绩图示频率分布直方图：
（1）根频率分布直方图估计该校高三学生次数学考试均分
（2）分层抽样方法分数[3050）[130150]学生中抽取6该6中成绩[130150]？
（3）（2）抽取6中机抽取3计分数[130150]数ξ求期E（ξ）．
分析（1）频率分布直方图计算数均分
（2）计算样中分数[3050）[130150]数根分层抽样原理求出抽取数
（3）计算抽取6中分数[130150]数求出ξ取值概率分布计算数学期值．
解答解：（1）频率分布直方图
该校高三学生次数学考试均分
00050×20×40+00075×20×60+00075×20×80+00150×20×100
+00125×20×120+00025×20×14092…（4分）
（2）样中分数[3050）[130150]数分63
抽取6中分数[130150]（）…（8分）
（3）（2）知：抽取6中分数[130150]2
题意ξ取值012
ξ0时
ξ1时
ξ2时
∴．…（12分）
点评题考查频率分布直方图均数概率计算问题考查运统计知识解决简单实际问题力基础题．
19．（12分）图已知面QBC直线PA均垂直Rt△ABC面PAABAC．
（Ⅰ）求证：PA∥面QBC
（Ⅱ）PQ⊥面QBC求二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
分析（Ⅰ）利线面垂直性质定理线面行判定定理证明
（Ⅱ）方法：利三角形中位线定理二面角面角定义求出．
方法二：通建立空间直角坐标系利面法量成夹角求两面二面角面角．
解答解：（I）证明：点Q作QD⊥BC点D
∵面QBC⊥面ABC∴QD⊥面ABC
∵PA⊥面ABC
∴QD∥PA∵QD⊂面QBCPA⊄面QBC
∴PA∥面QBC．
（Ⅱ）方法：∵PQ⊥面QBC
∴∠PQB∠PQC90°∵PBPCPQPQ
∴△PQB≌△PQC∴BQCQ．
∴点DBC中点连接ADAD⊥BC
∴AD⊥面QBC∴PQ∥ADAD⊥QD
∴四边形PADQ矩形．
设PA2a
∴PB2a∴．
Q作QR⊥PB点R
∴QR
取PB中点M连接AM取PA中点N连接RN
∵PR∴MA∥RN．
∵PAAB∴AM⊥PB∴RN⊥PB．
∴∠QRN二面角Q﹣PB﹣A面角．
连接QNQN．
∴cos∠QRN．
二面角Q﹣PB﹣A余弦值．
（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥面QBC
∴∠PQB∠PQC90°∵PBPCPQPQ
∴△PQB≌△PQC∴BQCQ．
∴点DBC中点连ADAD⊥BC．
∴AD⊥面QBC∴PQ∥ADAD⊥QD
∴四边形PADQ矩形．
分ACABAPxyz轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．
妨设PA2Q（112）B（020）P（002）
设面QPB法量．
∵（110）（02﹣2）．
∴令x1yz﹣1．
∵面PAB法量．
设二面角Q﹣PB﹣Aθ|cosθ|
∵二面角Q﹣PB﹣A钝角
∴．
点评熟练掌握线面垂直性质定理线面行判定定理二面角定义通建立空间直角坐标系利面法量成夹角求二面角面角解题关键．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心Q椭圆C点P（0
）椭圆C右焦点距离．
（1）求椭圆C方程
（2）点P作互相垂直两条直线l1l2l1交椭圆CAB两点直线l2交圆QCD两点MCD中点求△MAB面积取值范围．
分析（1）求圆Q圆心代入椭圆方程运两点距离公式解方程ab值进椭圆方程
（2）讨两直线斜率存0求三角形MAB面积4设直线ykx+代入圆Q方程运韦达定理中点坐标公式M坐标求MP长直线AB方程y﹣x+代入椭圆方程运韦达定理弦长公式三角形面积公式化简整理换元法结合函数单调性面积范围．
解答解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）22圆心（2）
代入椭圆方程+1
点P（0）椭圆C右焦点距离
解c2a2﹣b24
解a2b2
椭圆方程+1
（2）直线l2：y代入圆方程x2±
M坐标（2）|AB|4
△MAB面积×2×44
设直线ykx+代入圆Q方程（1+k2）x2﹣4x+20
中点M（）
|MP|
设直线AB方程y﹣x+代入椭圆方程：
（2+k2）x2﹣4kx﹣4k20
设（x1y1）B（x2y2）x1+x2x1x2
|AB|•
•
△MAB面积S•••
4
设t4+k2（5＞t＞4）＜1
S＜4
S＞4
综△MAB面积取值范围（4]．
点评题考查椭圆方程求法注意运点满足椭圆方程考查三角形面积范围注意运直线方程椭圆方程联立运韦达定理弦长公式三角形面积公式运换元法函数单调性属中档题．
21．（12分）设函数f（x）x2+aln（x+1）（a常数）
（Ⅰ）函数yf（x）区间[1+∞）单调递增函数求实数a取值范围
（Ⅱ）函数yf（x）两极值点x1x2x1＜x2求证：．
分析（Ⅰ）已知原函数值正导函数值非负求出参量范围
（Ⅱ）利韦达定理求象进行消元新函数该函数求导导函数求导通导函数导导函数研究导函数值原函数值题结．
解答解：（Ⅰ）根题意知：f′（x）
[1+∞）恒成立．
a≥﹣2x2﹣2x区间[1+∞）恒成立．
∵﹣2x2﹣2x区间[1+∞）值﹣4
∴a≥﹣4
检验：a﹣4时x∈[1+∞）．
∴a取值范围[﹣4+∞）．
（Ⅱ）区间（﹣1+∞）两相等实数根
方程2x2+2x+a0区间（﹣1+∞）两相等实数根．
记g（x）2x2+2x+a解．
∴．
∴
令．
记．
∴
P’(12)4P’(0)2
p′（x0）0．
p′（x）＜0x∈（x00）时p′（x）＞0．
k′（x）单调递减（x00）单调递增
∵K'1212ln2<0K'00
∴x∈120K'(x)<0
∴k（x）单调递减
．
点评题考查导数知识重点利导数法研究函数单调性究极值值难点次连续求导二次求导题消元方法难度较．
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分
22．（10分）（选做题）直角坐标系xOy极坐标系Ox原点极点重合x轴正半轴极轴重合单位长度相直角坐标系曲线C参数方程参数）．
（1）极坐标系曲线C射线射线分交AB两点求△AOB面积
（2）直角坐标系直线l参数方程（t参数）求曲线C直线l交点坐标．
分析（1）先消参数方程中参数普通方程利直角坐标极坐标间关系利ρcosθxρsinθyρ2x2+y2进行代换直角坐标方程化成极坐标方程通极坐标方程求出三角形边长求面积．
（2）l参数方程代入曲线C普通方程t值代入l参数方程曲线C直线l交点坐标．
解答解：（1）曲线C参数方程参数）．
消参数普通方程：
化成极坐标方程：
分代入|OA|2|OB|2
∠AOB△AOB面积S|OA||OB|．
（2）l参数方程代入曲线C普通方程（t﹣2）20
∴t2代入l参数方程x2y
∴曲线C直线l交点坐标（2）．
点评题考查点极坐标直角坐标互化极坐标系中极坐标刻画点位置体会极坐标系面直角坐标系中刻画点位置区进行极坐标直角坐标互化．
23．（10分）已知函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|g（x）|x+1|+|x﹣a|
（1）求f（x）≥1解集
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）．求a取位范围．
分析（1）解等式等价转化等价三等式组求出等式组解集取集求．
（2）题意g（x）min≥f（x）max利绝值三角等分求g（x）min f（x）max解等式g（x）min≥f（x）max求a范围．
解答解：（1）∵函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|f（x）≥1等价|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1
等价① ②
③．
解①求x∈∅解②求≥x≥解③求x＞
综等式解集{x|x≥}．
（2）意t∈R存sg（s）≥f（t）g（x）min≥f（x）max．
∵函数f（x）|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣（2x﹣3）|4∴f（x）max4．
∵g（x）|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）||a+1|g（x）min|a+1|
∴|a+1|≥4∴a+1≥4a+1≤﹣4求a≥3a≤﹣5
求a范围{x|a≥3a≤﹣5 }．
点评题考查绝值三角等式绝值等式解法关键掉绝值化等价等式组解属基础题．
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