高考数学常结集锦
函数
1函数图象称性
①函数图象关直线称
② 函数图象关点称
2两函数图象称性
①函数函数图象关直线(轴)称
②函数函数图象关直线称
特殊 函数图象关直线称
③函数图象关直线称解析式
④函数图象关点称解析式
3 数换底公式 推
数恒等式（）
4 导数： ⑴导数定义：f(x)点x0处导数记作
⑵常见函数导数公式 ①②③
④⑤⑥⑦
⑧ ⑶导数四运算法：
二数列
1 数列等差数列前n项成等差数列图示：
前n项公式
5 等差数列前项等差数列前项
等数列通项公式等数列变通项公式
前n项公式
三三角函数
1． 角三角函数基关系式
2 正弦余弦诱导公式
奇变偶变符号象限
3 角差角公式
(方正弦公式)
(辅助角象限点象限决定 )
4 二倍角公式
（升幂公式）
（降幂公式）
5万公式
6半角公式
7 三函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0)周期
函数(Aω常数A≠0ω＞0)周期
8 单调递增区间单调递减区间称轴称中心
9 单调递增区间单调递减区间称轴称中心
10 单调递增区间称中心
11 正弦定理
12．面积定理（1）（分表示abc边高）
（2）
(3)(夹角)
13三角形角定理 △ABC中
四面量
1面两点间距离公式
(AB)
2量行垂直 设abb0
a∥bbλa
ab(a0)a·b0
3．线段定分公式 设线段分点实数
（）
4．O直线ABABC线充条件 x+y1
五直线圆方程
1．直线方程五种形式
（1）点斜式 (直线点斜率)．
（2）斜截式 (b直线y轴截距)
（3）两点式 ()( ())
（4）截距式
（5）般式 (中AB时0)
2．两条直线行垂直 （1）
①②
(2)
①②
3夹角公式 ()
()
直线时直线l1l2夹角
直线l1l2角()
4．点直线距离 (点直线：)
5．两条行线间距离
(直线：)
5圆中关重结
(1) P()圆点点P()切线方程
特例P()圆点点P()切线方程
(2) P()圆外点 P()圆引两条切线 切点分AB直线AB方程
特例 P()圆外点P()圆引两条切线 切点分AB
直线AB方程
(3) P()圆点P()弦端点切点圆作两条切线两切线交点轨迹方程
特例 P()圆点 P()弦端点切点圆作两条切线两切线交点轨迹方程
六圆锥曲线
1 椭圆
()椭圆参数方程
(2)椭圆焦半径公式
(3)椭圆准线方程椭圆准线方程
(4)椭圆通径(焦点垂直称轴弦)长
(5)P椭圆点FF 两焦点∠FP Fθ △P F F面积 点椭圆短轴顶点重合时P椭圆点AB长轴两端点点P短轴端点时
(6)AB焦点F弦设P表示焦准距
2 双曲线
(1)双曲线准线方程双曲线准线方程
(2) 双曲线渐线方程双曲线渐线方程
(3) P双曲线点FF 两焦点∠FP Fθ△P F F面积
(4)AB焦点F弦设P表示焦准距AB交支时AB交两支时 (设)
（5）双曲线焦点条渐线距离等虚半轴长准线垂足
※ 等轴双曲线意点中心距离两焦点距离例中项
（2）轭双曲线：离心率分
性质：①渐线相②焦距相（焦点）
（3）渐线相双曲线系方程：
渐线方程
（7）心型二次曲线（圆椭圆双曲线）弦中点中心连线斜率弦直线斜率积（圆－１什？）
3抛物线
(1)动点设P P中
(2)P()抛物线点F焦点|PF|+
(3)抛物线y22px(p>0)焦点弦AB性质：<1>． x1x2y1y2－p2 <2>．
<3>．AB直径圆准线相切 <4>．AF（BF）直径圆轴相切<5>．焦点弦长中焦点弦x轴夹角 点P抛物线点F焦点
⑥AB中垂线X轴交点R
（6）抛物线y22px(p>0)称轴定点
①顶点点A距离值 ②抛物线关轴称两点A距离值
（7）直线圆锥曲线相交：弦长公式
4AB抛物线y22px(p>0)两点直线AB定点（）
（1）先证
设直线AB：抛物线方程联立
（2）证
设直线AB：抛物线方程联立
证直线AB定点
5抛物线y22px(p>0)直线相交该直线轴交点
6抛物线y22px(p>0)焦点直线交该抛物线两点两点准线作垂线垂足分逆命题：AFB三点线
※点M准线点
7抛物线y22px(p>0)顶点O作两条互相垂直动弦OAOB①
②直线AB定点 ③值
4直线圆锥曲线相交弦长公式
（弦端点A方程 消y直线斜率）
（弦端点A方程 消x直线斜率）
5圆锥曲线关点成中心称曲线
求圆锥曲线切线切线关定点问题
1已知点椭圆意点求点切点切线方程
解：① 切线
②
①理
③切线满足
求切线方程
2已知点双曲线意点求点切点切线方程
解：① 切线
② ①理
③切线满足
求切线方程
3已知点抛物线意点求点切点切线方程
解：
4已知椭圆点定直线动点点P作椭圆两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明：设第1题结
直线AB：直线AB定点
点评：点定直线动点呢？直线AB定点
5已知双曲线点定直线动点点P作双曲线两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明：设第2题结
直线AB：直线AB定点
点评：点定直线动点呢？点作两条切线直线AB定点
6已知抛物线点定直线动点点P作抛物线两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明 设第3题结
直线AB：直线AB定点
7已知椭圆C：左右顶点分AB设直线动点直线椭圆C分交MN求证：直线MN定点
证明：
理
令直线MN定点
注意理解思路试题般会告知具体数字
变式：已知椭圆C：顶点分AB设直线动点直线椭圆C分交MN求证：直线MN定点
8已知双曲线C：左右顶点分AB设直线点直线双曲线C分交MN求证：直线MN定点
9已知抛物线顶点直线动点点作轴行线抛物线交点直线抛物线交点直线定点
证明：设直线：代入
点评：①定点直线抛物线交点点抛物线顶点直线交定直线
②定点直线抛物线交点作交定直线三点线
10已知点椭圆C：
左右顶点AB意点直线分交直线点 MN直径圆定点
证明：
MN直径圆：
令定点
11抛物线焦点F意作直线抛物线交点两点轴存定点始终分
证明：设
设
始终分
点评：定点作直线抛物线交点两点点点关轴称直线定点
12椭圆左焦点F意作直线椭圆交点两点轴存定点始终分
点评：定点作直线椭圆交点两点点点关轴称直线定点（焦点）
13双曲线右焦点F意作直线双曲线交点两点轴存定点始终分
点评：定点作直线双曲线交点两点点点关轴称直线定点（焦点）
14已知椭圆点P作倾斜角互补两条直线PMPN分椭圆交异点P两点MN直线MN斜率定值类似已知双曲线点P作倾斜角互补两条直线PMPN分双曲线交异点P两点MN直线MN斜率定值
七立体
()量法公式
1直线面成角(面法量)
2．二面角面角（面法量）
3异面直线间距离 (两异面直线公垂量分点间距离)
4点面距离 （面法量面条斜线）
(二)公式
1
（长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分）（立中长方体角线长公式特例）
2 面积射影定理
3球半径R体积表面积．
4
(三)正面体关结
1正面体球关系(设正面体棱长外接球切球半径分R)
正面体
R
r
Rr
正四面体
31
正六面体
1
正八面体
1
2正面体关角度问题
(1) 正四面体相邻两侧面成二面角余弦值 (2) 正六面体相邻两侧面成二面角余弦值0
(3) 正八面体相邻两侧面成二面角余弦值 (4) 正四面体中心两顶点张角余弦值
(5) 正六面体中心两顶点张角余弦值 (6) 正八面体中心两顶点张角余弦值0
(7)正四棱锥侧面底面成角相邻两侧面成二面角
(四)两问题
1面体切球半径分面体表面积S体积
2正方体顶点作直线成样直线作_3__条成直线作_1__条成直线作_4__条
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函数
1函数图象称性
①函数图象关直线称
② 函数图象关点称
2两函数图象称性
①函数函数图象关直线(轴)称
②函数函数图象关直线称
特殊 函数图象关直线称
③函数图象关直线称解析式
④函数图象关点称解析式
3 数换底公式 推
数恒等式（）
4 导数： ⑴导数定义：f(x)点x0处导数记作
⑵常见函数导数公式 ①②③
④⑤⑥⑦
⑧ ⑶导数四运算法：
二数列
1 数列等差数列前n项成等差数列图示：
前n项公式
5 等差数列前项等差数列前项
等数列通项公式等数列变通项公式
前n项公式
三三角函数
1． 角三角函数基关系式
2 正弦余弦诱导公式
奇变偶变符号象限
3 角差角公式
(方正弦公式)
(辅助角象限点象限决定 )
4 二倍角公式
（升幂公式）
（降幂公式）
5万公式
6半角公式
7 三函数周期公式
函数x∈R函数x∈R(Aω常数A≠0)周期
函数(Aω常数A≠0ω＞0)周期
8 单调递增区间单调递减区间称轴称中心
9 单调递增区间单调递减区间称轴称中心
10 单调递增区间称中心
11 正弦定理
12．面积定理（1）（分表示abc边高）
（2）
(3)(夹角)
13三角形角定理 △ABC中
四面量
1面两点间距离公式
(AB)
2量行垂直 设abb0
a∥bbλa
ab(a0)a·b0
3．线段定分公式 设线段分点实数
（）
4．O直线ABABC线充条件 x+y1
五直线圆方程
1．直线方程五种形式
（1）点斜式 (直线点斜率)．
（2）斜截式 (b直线y轴截距)
（3）两点式 ()( ())
（4）截距式
（5）般式 (中AB时0)
2．两条直线行垂直 （1）
①②
(2)
①②
3夹角公式 ()
()
直线时直线l1l2夹角
直线l1l2角()
4．点直线距离 (点直线：)
5．两条行线间距离
(直线：)
5圆中关重结
(1) P()圆点点P()切线方程
特例P()圆点点P()切线方程
(2) P()圆外点 P()圆引两条切线 切点分AB直线AB方程
特例 P()圆外点P()圆引两条切线 切点分AB
直线AB方程
(3) P()圆点P()弦端点切点圆作两条切线两切线交点轨迹方程
特例 P()圆点 P()弦端点切点圆作两条切线两切线交点轨迹方程
六圆锥曲线
1 椭圆
()椭圆参数方程
(2)椭圆焦半径公式
(3)椭圆准线方程椭圆准线方程
(4)椭圆通径(焦点垂直称轴弦)长
(5)P椭圆点FF 两焦点∠FP Fθ △P F F面积 点椭圆短轴顶点重合时P椭圆点AB长轴两端点点P短轴端点时
(6)AB焦点F弦设P表示焦准距
2 双曲线
(1)双曲线准线方程双曲线准线方程
(2) 双曲线渐线方程双曲线渐线方程
(3) P双曲线点FF 两焦点∠FP Fθ△P F F面积
(4)AB焦点F弦设P表示焦准距AB交支时AB交两支时 (设)
（5）双曲线焦点条渐线距离等虚半轴长准线垂足
※ 等轴双曲线意点中心距离两焦点距离例中项
（2）轭双曲线：离心率分
性质：①渐线相②焦距相（焦点）
（3）渐线相双曲线系方程：
渐线方程
（7）心型二次曲线（圆椭圆双曲线）弦中点中心连线斜率弦直线斜率积（圆－１什？）
3抛物线
(1)动点设P P中
(2)P()抛物线点F焦点|PF|+
(3)抛物线y22px(p>0)焦点弦AB性质：<1>． x1x2y1y2－p2 <2>．
<3>．AB直径圆准线相切 <4>．AF（BF）直径圆轴相切<5>．焦点弦长中焦点弦x轴夹角 点P抛物线点F焦点
⑥AB中垂线X轴交点R
（6）抛物线y22px(p>0)称轴定点
①顶点点A距离值 ②抛物线关轴称两点A距离值
（7）直线圆锥曲线相交：弦长公式
4AB抛物线y22px(p>0)两点直线AB定点（）
（1）先证
设直线AB：抛物线方程联立
（2）证
设直线AB：抛物线方程联立
证直线AB定点
5抛物线y22px(p>0)直线相交该直线轴交点
6抛物线y22px(p>0)焦点直线交该抛物线两点两点准线作垂线垂足分逆命题：AFB三点线
※点M准线点
7抛物线y22px(p>0)顶点O作两条互相垂直动弦OAOB①
②直线AB定点 ③值
4直线圆锥曲线相交弦长公式
（弦端点A方程 消y直线斜率）
（弦端点A方程 消x直线斜率）
5圆锥曲线关点成中心称曲线
求圆锥曲线切线切线关定点问题
1已知点椭圆意点求点切点切线方程
解：① 切线
②
①理
③切线满足
求切线方程
2已知点双曲线意点求点切点切线方程
解：① 切线
② ①理
③切线满足
求切线方程
3已知点抛物线意点求点切点切线方程
解：
4已知椭圆点定直线动点点P作椭圆两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明：设第1题结
直线AB：直线AB定点
点评：点定直线动点呢？直线AB定点
5已知双曲线点定直线动点点P作双曲线两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明：设第2题结
直线AB：直线AB定点
点评：点定直线动点呢？点作两条切线直线AB定点
6已知抛物线点定直线动点点P作抛物线两条切线PAPBAB切点求证：直线AB定点求出定点坐标
证明 设第3题结
直线AB：直线AB定点
7已知椭圆C：左右顶点分AB设直线动点直线椭圆C分交MN求证：直线MN定点
证明：
理
令直线MN定点
注意理解思路试题般会告知具体数字
变式：已知椭圆C：顶点分AB设直线动点直线椭圆C分交MN求证：直线MN定点
8已知双曲线C：左右顶点分AB设直线点直线双曲线C分交MN求证：直线MN定点
9已知抛物线顶点直线动点点作轴行线抛物线交点直线抛物线交点直线定点
证明：设直线：代入
点评：①定点直线抛物线交点点抛物线顶点直线交定直线
②定点直线抛物线交点作交定直线三点线
10已知点椭圆C：
左右顶点AB意点直线分交直线点 MN直径圆定点
证明：
MN直径圆：
令定点
11抛物线焦点F意作直线抛物线交点两点轴存定点始终分
证明：设
设
始终分
点评：定点作直线抛物线交点两点点点关轴称直线定点
12椭圆左焦点F意作直线椭圆交点两点轴存定点始终分
点评：定点作直线椭圆交点两点点点关轴称直线定点（焦点）
13双曲线右焦点F意作直线双曲线交点两点轴存定点始终分
点评：定点作直线双曲线交点两点点点关轴称直线定点（焦点）
14已知椭圆点P作倾斜角互补两条直线PMPN分椭圆交异点P两点MN直线MN斜率定值类似已知双曲线点P作倾斜角互补两条直线PMPN分双曲线交异点P两点MN直线MN斜率定值
七立体
()量法公式
1直线面成角(面法量)
2．二面角面角（面法量）
3异面直线间距离 (两异面直线公垂量分点间距离)
4点面距离 （面法量面条斜线）
(二)公式
1
（长度线段三条两两互相垂直直线射影长分夹角分）（立中长方体角线长公式特例）
2 面积射影定理
3球半径R体积表面积．
4
(三)正面体关结
1正面体球关系(设正面体棱长外接球切球半径分R)
正面体
R
r
Rr
正四面体
31
正六面体
1
正八面体
1
2正面体关角度问题
(1) 正四面体相邻两侧面成二面角余弦值 (2) 正六面体相邻两侧面成二面角余弦值0
(3) 正八面体相邻两侧面成二面角余弦值 (4) 正四面体中心两顶点张角余弦值
(5) 正六面体中心两顶点张角余弦值 (6) 正八面体中心两顶点张角余弦值0
(7)正四棱锥侧面底面成角相邻两侧面成二面角
(四)两问题
1面体切球半径分面体表面积S体积
2正方体顶点作直线成样直线作_3__条成直线作_1__条成直线作_4__条
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