第八章 空间图形的基本关系与公理


    §82 空间图形基关系公理

    [知识梳理]
    1.四公理
    公理1:果条直线两点面条直线点面(直线面).
    公理2:条直线三点面(确定面).
    公理3:果两重合面公点条通点公直线.
    公理4:行条直线两条直线行.
    2.直线直线位置关系
    (1)位置关系分类
    (2)异面直线成角
    ①定义:设ab两条异面直线空间点O作直线a′∥ab′∥ba′b′成锐角(直角)做异面直线ab成角(夹角). ②范围:
    3.直线面位置关系行相交面三种情况.
    4.面面位置关系行相交两种情况.
    5.等角定理空间中果两角两条边分应行两角相等互补.
    [基础测]
    1.l1l2l3空间三条直线列命题正确(  )
    A.l1⊥l2l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2l2∥l3⇒l1⊥l3
    C.l1∥l2l2∥l3⇒l1l2l3面 D.l1l2l3点⇒l1l2l3面
    2.已知ab异面直线直线c行直线acb(  )
    A.定异面直线 B.定相交直线 C.行直线 D.相交直线
    4.(2016·高考浙江卷)已知互相垂直面αβ交直线l直线mn满足m∥αn⊥β定(  )
    A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
    5.(教材改编)图示已知长方体ABCD-EFGH中AB=2AD=2
    AE=2BCEG成角________AEBG成角________.

    类型 面基性质应
    [例1] (1)出命题:
    ①面四点中中意三点线②点ABCD面点ABCE面点ABCDE面③直线ab面直线ac面直线bc面④次首尾相接四条线段必面.
    正确命题数(  ) A.0     B.1 C.2 D.3
    类型二 空间两直线位置关系
    [例2] (1)(2015·高考广东卷)直线l1l2异面直线l1面αl2面βl面α面β交线列命题正确(  )
    A.ll1l2相交 B.ll1l2相交
    C.ll1l2中条相交 D.l少l1l2中条相交
    (2)图正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分BC1CD1中点列判断错误(  )
    A.MNCC1垂直 B.MNAC垂直 C.MNBD行 D.MNA1B1行

    2. (2)(2017·福建六校联考)设abc空间中三条直线面出三命题:
    ①a∥bb∥ca∥c ②a⊥bb⊥ca∥c ③ab相交bc相交ac相交
    述命题中正确命题________(写出正确命题序号).
    类型三 求两条异面直线成角
    [例3] (1)(2017·广东佛山模拟)图示正三棱柱ABC-A1B1C1中DAC中点AA1∶AB=∶1异面直线AB1BD成角________.
    (2)图示三棱锥P-ABC中PA⊥底面ABCDPC中点.已知∠BAC=AB=2AC=2PA=2求:
    ①三棱锥P-ABC体积 ②异面直线BCAD成角余弦值.
    课时规范训练
    [A组 基础演练]
    1.已知命题p:ab异面直线命题q:直线ab相交pq(  )
    A.充分必条件B.必充分条件C.充分必条件D.充分必条件
    解析:选A直线ab相交ab行异面pq充分必条件选A
    2.已知直线a面αβα∩β=laαaβaαβ射影分直线bc直线bc位置关系(  )
    A.相交行   B.相交异面 C.行异面 D.相交行异面
    解析:选D题意直线bc位置关系相交行异面选D
    3.abc表示空间中三条直线γ表示面出列命题:
    ①a⊥bb⊥ca∥c②a∥ba∥cb∥c③a∥γb∥γa∥b④a⊥γb⊥γa∥b
    中真命题序号(  )
    A.①② B.②③ C.①④ D.②④
    解析:选Da⊥bb⊥ca∥cac相交ac异面①假命题空间中行直线两条直线行②真命题a∥γb∥γa∥bab相交ab异面③假命题两条直线垂直面两条直线行
    ④真命题选D
    4.已知αβ两面mn两条直线出列命题:
    ①m⊥αmβα⊥β②mαnαm∥βn∥βα∥β
    ③果mαnαmn异面直线nα相交④α∩β=mn∥mnαnβn∥αn∥β
    中正确命题(  )
    A.①② B.②③ C.③④ D.①④
    解析:选D根面面垂直判定定理知①正确②m∥n出α∥β错误③nα行错误易知④正确.
    5图ABCD-A1B1C1D1长方体OB1D1中点直线A1C交面AB1D1点M列结正确(  )
    A.AMO三点线 B.AMOA1面
    C.AMCO面 D.BB1OM面
    解析:选A连接A1C1ACA1C1∥ACA1C1CA四点面A1C面ACC1A1M∈A1CM∈面ACC1A1M∈面AB1D1M面ACC1A1面AB1D1交线理O面ACC1A1面AB1D1交线AMO三点线.
    6.出四种说法:(设αβ表示面l表示直线ABC表示点)
    ①A∈lA∈αB∈lB∈αlα②A∈αA∈βB∈αB∈βα∩β=AB
    ③lαA∈lA∉α④ABC∈αABC∈βABC线αβ重合.
    述说法中正确数________.
    解析:①②④正确图示知③错误.答案:3
    8图三棱锥A-BCD中AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2点MN分ADBC中点异面直线ANCM成角余弦值________.
    解析:图示连接DN取线段DN中点K连接MKCK
    ∵MAD中点∴MK∥AN
    ∴∠KMC异面直线ANCM成角.
    ∵AB=AC=BD=CD=3AD=BC=2NBC中点勾股定理求AN=DN=CM=2
    ∴MK=Rt△CKN中CK==△CKM中余弦定理
    cos∠KMC== 答案:
    10图空间四边形ABCD中EFG分ABBCCD满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1CG∶GD=3∶1EFG面交AD点H
    (1)求AH∶HD
    解:(1)∵==2∴EF∥AC∴EF∥面ACDEF面EFGH
    面EFGH∩面ACD=GH∴EF∥GH∴AC∥GH∴==3∴AH∶HD=3∶1

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    贡献于2018-11-13

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