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高考数学诊试卷（理科）

题号 二 三 总分
分

选择题（题 12 题 600 分）
1 设集合 A{x|1＜x≤2}B{10123} A∩B（ ）
A {1012} B {012}
C {01} D {x|1＜x≤2 x3}
2 量 （42） （6k） ∥ 充条件（ ）
A k12 B k12 C k3 D k3
3 30 名运动员 6 名教练员中分层抽样方法抽取 n 参加新闻发布会
抽取 n 中教练员 1 n（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
4 知直线 abl面 αβ列结中正确（ ）
A a⊂αb⊂αl⊥al⊥b l⊥α
B a⊂αb∥a b∥α
C α⊥βa⊂α a⊥β
D α∥βl⊥α l⊥β
5 a0302blog012c0301 abc 关系（ ）
A c＞a＞b B b＞a＞c C a＞c＞b D b＞c＞a
6 二次项 展开式中常数项（ ）
A 5 B 10 C 15 D 20
7 已知直线 yx+3 圆 x2+y22x2y0 相交 AB 两点|AB|（ ）
A B C D 2
8 斗拱中国古典建筑富装饰性构件中国特图图二斗拱实
物图图三斗拱构件斗体图中斗棱台长方体形凹
槽（长方体掉长方体）组成．棱台两底面面积分 400cm2900cm2
高 9cm长方体形凹槽体积 4300cm3斗密度 070gcm3．斗
质量（ ）注：台体体积公式 ．


A 3990g B 3010g C 7000g D 6300g 第 2 页 14 页
9 实数 xy 满足 2xy 值（ ）
A 2 B 0 C 7 D 9
10 已知函数 区间（0+∞）增函数实数 a 取值范
围（ ）
A [01] B [0+∞） C （1+∞） D （11）
11 已知 A 双曲线 D： 右支点BC 分双曲线 D 左右焦点．记
△ABC 角 ABC|AC|8 时 （ ）
A 1 B C D 2
12 抛物线 C：y24x 焦点直线交该抛物线 C 点 AB
抛物线 C 准线交点 P图示 值
（ ）
A 8
B 12
C 16
D 18



二填空题（题 4 题 200 分）
13 知机变量 y x 相关关系 x3 时y 预报值______．
14 复数 实部______．
15 已知函数 f（x）2sin（ωx+φ） 图象相邻两条称轴距离
______．
16 f（x）定义域 R 偶函数∀x∈R f（x+4）f（x） 0≤x≤2 时
______．
三解答题（题 7 题 840 分）
17 图四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 正方形PD⊥底面 ABCD点 E PC
中点．
（1）求证：PA∥面 EDB
（2） PDAD2求二面角 CEDB 余弦值． 第 3 页 14 页









18 国已进入新时代中国特色社会义时期民生活水断提高某市机统计
城区干户市民十月均生活支出九月均生活支出增加量（记 P 元）情
况根统计数制成频率分布直方图．
（1）根频率分布直方图估算 P 均值
（2）视样中频率概率现该市住户中机抽取 3 次次抽取 1 户
次抽取相互独立设 ξ 抽出 3 户中 P 值低 65 元户数求 ξξ 分布列
期 E（ξ）．









19 知数列{an}满足 a11．
（1）求证：数列 等数列：
（2）求数列{an}前 n 项 Sn．

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20 已知椭圆 C： 点 F1（c0）F2（c0）（c
＞0）焦点椭圆 C 离心率 ．
（1）求实数 c 值
（2）左焦点 F1 直线 l 椭圆 C 相交 BD 两点O 坐标原点问椭圆 C
否存点 P线段 BD 线段 OP 相互分？存求出点 P 坐标
存说明理．







21 已知 f（x）（xm）ex．
（1） m2 时求函数 f（x）点（0f（0））处切线方程
（2）函数 f（x）区间（10）极值点总存实数 m函数 f（x）
极值 互相反数求实数 a 取值范围．







22 新中国成立 70 周年国庆阅兵庆典中众群众
脸贴着颗红心表达祖国热爱
情．数学中种方程表示心型曲线
中著名笛卡尔心型曲线．图直角坐标
系中原点 O 极点x 轴正半轴极轴建立极
坐标系．图中曲线笛卡尔心型曲线极坐
标方程 ρ1sinθ（p1sinθρ＞0）M 该曲
线意点．
（1） 时求 M 点极坐标
（2）射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 该曲线相交点 N求|MN|值．



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23 知函数 f（x）|x+1|+2|x1|．
（1）求等式 f（x）＞x+5 解集
（2）|x1x2|＞1求证：f（x1+x2）+f（2x1）＞3．






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答案解析
1答案B

解析解：∵A{x|1＜x≤2}B{10123}
∴A∩B{012}．
选：B．
进行交集运算．
题考查描述法列举法定义交集运算考查计算力属基础题．
2答案D

解析解：量 （x1y1）量 （x2y2）行充条件：x1y2x2y1
量 （42） （6k）
∥ 充条件：4k2×6
k3
选：D．
根充分条件必条件定义分进行判断．
题考查充分条件必条件判断根充分条件必条件定义解决题
关键．
3答案B

解析解： 30 名运动员 6 名教练员中分层抽样方法抽取 n 参加新闻发
布会
抽取 n 中教练员 1
求 n6
选：B．
题意利分层抽样定义求出 n 值．
题考查分层抽样定义方法属基础题．
4答案D

解析解：A 错直线垂直面两条相交直线垂直面缺少条件直线 ab 相
交
B 错面外条直线行面条直线行面缺少条件 b⊈ α
C 错两面垂直面直线行相交垂直外面．
D 直线垂直两行面中垂直外面．
选：D．
通立体定义定理解判断错．
题考查立体知识点理解属基础题．
5答案A

解析解：∵y03x 单调递减函数
∴0＜a0302＜0301c＜0301
blog012＜log0110
∴abc 关系 b＜a＜c． 第 7 页 14 页
选：A．
利指数函数数函数单调性直接求解．
题考查三数判断考查指数函数数函数单调性等基础知识考查运
算求解力基础题．
6答案D

解析解：利二次项定理通项公式求二次项 展开式通项公式

令 62r0求 r 3常数项
选：D．
题意利二次项定理通项公式求展开式中常数项．
题考查二项式定理应二项展开式通项公式二项式系数性质属基
础题．
7答案C

解析解： x2+y22x2y0（x1）2+（y1）22．
∴圆 x2+y22x2y0 圆心坐标（11）半径 ．
圆心直线 x+y30 距离 d
∴|AB| ．
选：C．
圆方程求出圆心坐标半径求出圆心直线距离垂径定理求弦长．
题考查直线圆位置关系应训练利垂径定理求弦长基础题．
8答案C

解析解：题意 长方体形凹
槽体积 4300
斗体积 10000cm3
∴质量 10000×077000g．
选：C．
题意求出斗体积利 mρV 求解．
题考查台体体积计算时跨学科考查质量密度体积间关系考
查运算求解力基础题．
9答案D

解析解：实数 xy 满足
行域图示：
联立 解 A（41）．
化目标函数 z2xy y2xz
图知直线 y2xz A 时 第 8 页 14 页
直线 y 轴截距z 值 2×4+19．
选：D．
约束条件作出行域化目标函数直线方程斜截式数形结合优解联立
方程组求优解坐标代入目标函数答案．
题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
10答案B

解析解：∵函数 区间（0+∞）增函数
∴f＇（x）≥0 区间（0+∞）恒成立
∴ax+2a+ ≥0 区间（0+∞）恒成立
∴a 区间（0+∞）恒成立
∵yx2+2x 区间（0+∞）单调递增∴x2+2x＞0
∴ ＜0
∴a≥0
选：B．
函数 区间（0+∞）增函数转化 f＇（x）≥0 区间（0
+∞）恒成立分离参数法转化求 值 ＜0 a≥0．
题考查利导数研究函数单调性中档题．
11答案A

解析解：A 双曲线 D： 右支点BC 分双曲线 D 左右焦
点．
B（60）C（60）|BC|12
|AC|8|AB|2a+|AC|2+810
△ABC 中cosB
2•• 1
选：A．
求双曲线焦点坐标运双曲线定义|AB|△ABC 中运正弦定理余
弦定理结合二倍角正弦公式计算求值．
题考查双曲线定义方程性质三角形正弦定理余弦定理运二倍
角正弦公式考查化简运算力属中档题．
12答案A

解析解：抛物线 C：y24x 焦点（10）
设直线 PB 方程：yk（x1）A（x1y1）B（x2y2）
联立直线 PB 抛物线方程
k2x2（2k2+4）x+k20
x1+x2 x1x21y1y22 第 9 页 14 页
y1+y2k（x11）+k（x21）k（x1+x2）2kk 2k
P（0k）
（x1y1+k）•（x2y2+k）x1x2+y1y2+k（y1+y2）+k2
+（2）+k× +k2k2+ +4≥2 8（仅 k2 k 时取）
值 8
选：A．
物线 C：y24x 焦点（10）设直线 PB 方程：yk（x1）A（x1y1）B（x2y2）
联立直线 PB 抛物线方程 k2x2（2k2+4）x+k20韦达定理 x1+x2 x1x21
y1y22y1+y2k（x11）+k（x21）k（x1+x2）2kk 2k 坐标表示
求值．
题考查直线抛物线相交问题量属中档题．
13答案7

解析解：∵机变量 y x 相关关系
∴x3 时y 预报值 2×3+17．
答案：7．
直接线性回方程中取 x2 求 y 值．
题考查线性回方程基础计算题．
14答案

解析解：∵
∴复数 实部 ．
答案： ．
直接利复数代数形式运算化简答案．
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
15答案

解析解：∵函数 f（x）图象相邻两条称轴距离
∴ Tπ π
ω2
f（x）2sin（2x+φ）
∵ 第 10 页 14 页
∴ 2sin（ +φ）
sin（ +φ）1
∵0＜φ＜
∴ +φ
φ
f（x）2sin（2x+ ）
2sin（2× + ）2sin（ + ）2（sin cos +cos sin ）2（ × + × ）
答案：
根条件先求出函数周期 ω结合条件建立方程求出 φ然代入计算．
题考查三角函数值计算结合条件建立方程关系求出 ω φ 值解决题
关键．较基础．
16答案

解析解：根题意f（x）定义域 R 偶函数∀x∈R f（x+4）f（x）
f（x+4）f（x）函数 f（x）周期 4 周期函数
f（）f（）f（4+ ）f（）f（21）f（1+4×5）f（1）
0≤x≤2 时
f（） 1f（1）1
f（）+f（1）（1）+1
答案： ．
根题意分析 f（x+4）f（x）函数 f（x）周期 4 周期函数进
f（）f（）f（）f（21）f（1）结合函数解析式计算 f（）f（1）
值相加答案．
题考查函数奇偶性周期性综合应注意分析函数周期属基础题．
17答案解：（1）证明：连接 AC BD 相
交 F连接 EF．
∵底面 ABCD 正方形
∴F AC 中点
E PC 中点
∴EF∥PA
∵PA⊄ 面 EDBEF⊂面 EDB
∴PA∥面 EDB．
（2） D 原点 分 xyz第 11 页 14 页
轴正方建立空间直角坐标系 Dxyz
∵|PD||AD|2
∴D（000）E（011）B（220）
取面CED法量 设面EDB法量


妨令 z1解 x1y1
∴
∴二面角 CEDB 余弦值 ．

解析（1）需证明 EF∥PA ．
（2）建立空间直角坐标系求出两面法量利量公式求解．
题考查线面行判定利空间量求解二面角余弦值考查逻辑推理力运
算求解力属基础题．
18答案解：（1） （30×0014+40×0026+50×0036+60×0014+70×001）×1048
（2）已知三次机抽取 3 次独立重复试验次抽取十月均生活支出增
加低 65 元概率 01
ξ～B（301） ．∴P（ξ0）0729
P（ξ1）0243P（ξ2）0027P（ξ3）0001．
ξ 分布列
ξ 0 1 2 3
P 0729 0243 0027 0001
∴E（ξ）3×0103．

解析（1）利频率分布直方图直接估算 P 均值
（2）三次机抽取 3 次独立重复试验推出 ξ～B（301）然求解分布列求
出期．
题考查频率分布直方图应中频率频数÷样容量矩形高×组矩处
理利频率分布直方图问题关键．独立重复实验概率期求法考查分析问题
解决问题力．
19答案解：（1）
两边 n（n+1）
∴ ． 第 12 页 14 页
∵ ∴
∴
∴数列 2 首项2 公等数列．
（2）（1） ∴
n•2n（1+2+3+…+n） ．
令 +（n1）
•2n+n•2n+1
∴
∴ ．
前 n 项 Sn（n1）•2n+1+2．

解析（1）已知等式两边 n（n+1）结合等数列定义证
（2）求 数列分组求错位相减法求结合等差数列等
数列求公式化简变形求．
题考查等数列定义通项公式求公式运考查数列分组求错位相
减法求考查化简变形力运算力属中档题．
20答案解：（1）∵椭圆方程 （a＞b＞0）．
已知椭圆 C 点 ∴ ．
∵F1（c0）F2（c0）（c＞0）椭圆 C 焦点
椭圆 C 离心率 ∴ c2a2b2．
解 b1∴c1．
（2）（1）椭圆 C 方程 F1（10）．
假设存点 P 满足题意 BD OP 相交点 Q（x0y0）．
直线 l x 轴重合时满足题意．
设直线 l 方程 xty1A（x1y1）B（x2y2）．
联立 （2+t2）y22ty10∴ ．

x0y0 代入 ． 第 13 页 14 页
解 ∴
存 P 线段 BD OP 相互分坐标 ．

解析（1）点 椭圆 ．结合离心率 c2a2b2．求解
．
（2）设直线 l 方程 xty1A（x1y1）B（x2y2）．联立 结合韦达
定理通线段 BD 线段 OP 相互分推出关系式求解坐标．
题考查椭圆简单性质直线椭圆位置关系综合应考查转化思想计
算力难题．
21答案解：（1）f＇（x）[x（m1）]ex．
m2 时f（x）（x2）exf＇（x）（x1）ex．
∴f（0）2f＇（0）1
函数 f（x）点（0f（0））处切线方程 y+2（x0） x+y+20．
（2）f＇（x）[x（m1）]ex x∈（∞m1）时f＇（x）＜0x∈（m1+∞）时f＇
（x）＞0
∴函数 f（x）区间（∞m1）单调递减区间（m1+∞）单调递增
函数 f（x）极值点 m1．
已知1＜m1＜0
∴0＜m＜1
区间（01）存 m ．
∴ （0＜m＜1）．
设 ．
∴ 0＜m＜1 时
∴函数 g（m）区间（01）递增
∴ 0＜m＜1 时g（0）＜g（m）＜g（1）
∴
实数 a 取值范围 ．

解析（1）m2 代入求导求出函数 x0 处切线斜率求 f（0）值
点斜式求出 x0 处切线方程
（2）令导数等零解出方程根极值点求出极值题意函数 f
（x）极值 互相反数 a 取值范围．
考查导数求某点切线方程导数研究函数极值属中档题．
22答案解：（1）设点 M 极坐标系中坐标 第 14 页 14 页
ρ1sinθ
∵0≤θ＜2π
∴
点 M 极坐标
（1）题意设 M（ρ1θ） ．
ρ1sinθ ρ11sinθ．

时|MN|值 ．

解析（1）直接利转换关系参数方程极坐标方程直角坐标方程间进行转
换．
（2）利极径应三角函数关系式变换应求出结果．
题考察知识点：三角函数关系式恒等变换参数方程极坐标方程直角坐标方程
间转换考查学生运算力转换力思维力属基础题型．
23答案解：（1）解：f（x）|x+1|+2|x1|
x≤1 时 f（x）＞x+53x+1＞x+5解 x＜1
1＜x＜1 时 f（x）＞x+5x+3＞x+5时解
x≥1 时 f（x）＞x+5 3x1＞x+5解 x＞3
综述f（x）＞x+5 解集（∞1）∪（3+∞）．
（2）证明：∵|x1x2|＞1
∴f（x1+x2）+f（2x1）|x1+x2+1|+2|x1+x21|+|2x2+1|+2|2x21|≥|（x1+x2+1）（2x2+1）|+2|
（x1+x21）（2x21）3|x1x2|＞3
原命题成立．

解析（1）绝值等式分段讨求出
（2）利绝值等式性质转化 3|x1x2|求出．
考查零点分段法求绝值等式绝值等式性质应中档题．


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