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秘密★启前
高三期期末考试
数 学（文科）试 题 卷
注意事项：
1．答卷前考生务必姓名准考证号填写答题卡
2．作答时答案写答题卡写试卷草稿纸效
3．考试结束试卷答题卡交回
第Ⅰ卷（选择题60 分）
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求
1．已知集合 {123}A  { | ( 1)( 2) 0 }B x x x x    Z ABU（ ）
A． 1 B． 21 C． 3210 D． 32101
2．复数
i
iz 
 1
43 （中i 虚数单位）复面应点位（ ）
A．第象限 B． 第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3（原创）设
3 24
2
3 4 3 log4 3 2a b c
           
cba 序（ ）
A． cab  B． bac  C． acb  D． a c b
4（原创）设 a 实数直线 011  yaxl   0212  ayaxl

2
1a 21 ll  （ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
5 执行右图示程序框图输出结果（ ）
A．
9
8 B．
10
9 C．
11
10 D． 12
11
6 体三视图右图示（单位：m）该体体积
（ ） 3m
A． 6 B． 5 C． 26 D． 25
7 正三角形 ABC 中 D 线段 BC 点 3AB 2BD
ADAB （ ）
A．3 B． 6 C． 9 D．12 第 2 页 9 页
8（原创）已知函数
     xAxf sin 



  2200 A 部分图
象右图示函数  xf 



 44
x 值域（ ）
A． 22 B．  22 C． 12 D． 12 
9（原创）面直角坐标系 xOy 中双曲线  001 2
2
2
2
 bab
y
a
xE 离心率2
焦点渐线距离 3 点  12P 直线 m 双曲线 E 交 AB两点 P AB
中点直线 m 斜率（ ）
A．2 B． 4 C． 6 D．8
10 元旦晚会次猜奖游戏中1 2 3 4四盒子里摆放 a b c d 四件奖品（盒里
仅放件） 甲学说：1号盒里b 3 号盒里c 乙学说：2 号盒里 号盒里
d 丙学说： 4 号盒里 号盒里 丁学说： 号盒里 a 号盒里
果猜半 号盒里（ ）
A． a B．b C． c D． d
11（原创）锐角三角形 ABC 中角 CBA 边分 a b c 2a
   CCBA 2sin2sin2cos 



   c 取值范围（ ）
A． 




 25
52 B． 



 23
2 C． 





3
325
52 D． 





3
323
2
12 ． 定义 R 周期 4 函数  fx 满足：  31x 时
 










302ln
012
1
xx
xxf
x
区间 0 4 函数     1 axxfxg 恰三零
点实数 a 取值范围（ ）
A． 1 ln 3 10 143
   
   
U B． 1 ln 3 10 133
   
   
U
C． 1 ln 3 10 243
   
   
U D． 1 ln 3 10 233
   
   
U
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 等数列 na 中已知 51 a 40109 aa 18a ．
14 （原创）已知  xf 定义 R 奇函数 0x 时   xxxf  ln2 曲线 第 3 页 9 页
 y f x 点 11 处切线斜率______．
15 设等式组
22
22
0
xy
xy
y
 
   
 
表示面区域 M函数 21 xy  图象 x 轴
围成区域 N M 机投点该点落 N 概率______．

16 已知圆锥底面直径 2 母线底面夹角余弦值 1
3 圆锥
接正方体该接正方体顶点圆锥底面侧面正方体外接球表面积
_________．
三解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤第 17～21 题必考题
试题考生必须作答第 2223 选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17 已知数列{ na }中 nabnaaa nnnn   121 11
（1）求证：数列{ nb }等数列
（2）求数列{ na }前 n 项 nS

18．某居民连续年月水量进行统计该居民月水量T (单位：吨)频
率分布直方图图．

（1）求 a 值根频率分布直方图估计该居民月均水量T月
（2）已知该居民月水量T 月均气温t (单位：C )关系回直线 µ 04 2Tt模
拟．2019 年月均气温 t 统计图图二 2019 年该居民月水量高低 月
份作两层分层抽样方法选取 5 月5 月中机抽取 2 月求 2 月
中该居民恰1 月水量超 概率．

19 已知四棱锥 S ABCD 中底面 ABCD边长 2 菱形
60BAD   5SA SD 7SB  点 E 棱 AD 中点
点 F 棱 SC SF
SC  SA ∥面 BEF ．
（1）求实数  值
（2）求四棱锥 EBCDF  体积． 第 4 页 9 页
20 已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    圆 22 4 2 3 0Q x y x y     圆心Q右
焦点抛物线 xy 342  焦点重合
（1）求椭圆C 方程
（2）点  10P 作直线l 交椭圆 C AB 两点
tanAQBS AQB  求直线l 方程

21 已知函数    xfRmxmxxf ＇ln   xf 导函数
（1）讨函数  xf 极值点数
（2） 0m 120 xx存 0x      12
0
12
＇ f x f xfx xx
 
试较 12xx
02x
（二）选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第
题计分
22 [选修 4－4：坐标系参数方程]
（原创）面直角坐标系 xOy 中已知曲线 1C 参数方程







ty
tx
2
22
2
21
(t 参数)
O 极点 x 轴非负半轴极轴曲线 2C 极坐标方程   42cos32  
（1）求曲线 1C 普通方程曲线 2C 参数方程
（2）点 M 曲线 运动求点 曲线 距离值应点 坐标
23 [选修 4－5：等式选讲]
（原创）已知函数    0 0f x x a x b a b      ．
（1） 1ab 时证明：   2xf
（2）  fx值域[2 )   53 f 解等式   4xf
第 5 页 9 页
数

学（文科）试

题

卷

选择题：
CDBCB ABDCA CB

二填空题：
13 8 143 15
161 

16 4
3

三解答题：

17（1）证明 nabnaa nnnn  121
bnannanab nnnnn 2)(2)1(12)1(11   …………4 分
ab 02111  b
b
n
n 21  ……………………………………5 分
数列{ nb }首项 2公 2 等数列 …………………………6 分
（2）(Ⅰ)知 bna n
nn 2 na n
n  2 ……………………………7 分
2321 (2 2)(2 3) (2 )n
nSn        L（）
232 2 2 2 1 2 3n n         LL（）（）……………………………9 分
2
)1(
21
)21(2 nnn 
 ………………………………………………………11 分
1 (1 )222
n nn    …………………………………………………………12 分
18（1）图知  0501407502203750  aa ……3 分
该居民月均水量T月 约
(00375 2 005 6 0075 10 005 14 00375 18) 4 10T    月 ……6 分
（2）回直线方程 µ 04 2Tt知 应月均气温刚
(10 2) 04 20( )tC     ………………………………………………7 分 第 6 页 9 页
根图二该居民 2019 年5 月10月水量刚T月 该居民 2019 年 4 月
月水量超T月 6 月月水量低T月 …………………………………8 分
分层抽样方法样中 2 月(记 12AA)月水量超T月 3月
(记 1 2 3BBB)月水量低T月 中抽取 2
12111213 21 22 23AAABABABABABAB 1 2 1 3 2 3BBBBBB 10种结果 ……………10 分
中恰月水量超T月 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3ABABABABAB 6 种结果 ………11 分
设 2 月中恰1 月水量超T月 事件 C 63() 10 5PC …………12 分
19（1）连接 AC 设 AC BE G面 SAC  面 EFB FG …………1 分
SA面 EFB SA FG …………………2 分
GEAQ ∽ GBC 1
2
AG AE
GC BC   ………4 分
11
23
SF AG SF SCFC GC     …………………5 分
1
3．……………………………………………6 分
（2） 5 2SA SD SE AD SE    Q
2 60 3AB AD BAD BE      Q
2 2 2SE BE SB   SE BE SE面 ABCD……………………9 分
 hSVEBCDEBCDF 四边形3
1   3212
1
3
223
1
3
2
3
1  SESEBCD四边形
3
32

…………12 分
20解：(1)抛物线焦点  03 3c  …………………………1 分
(21)Q 椭圆C 22
411ab 223ab 2 6a  2 3b  椭圆
C 方程
22
163
xy………………………………………………………5 分
(2) tanAQBS AQB  1 sin tan2 QA QB AQB AQB   
cos 2QA QB AQB   2QA QB
uuur uuur
……………………………………6 分 第 7 页 9 页
①l 垂直 x 轴时 ( 2 3 1)QA QB   
uuur uuur
( 2 3 1) 4 1 3 2        时满足题意
时直线l 方程 0x  …………………………………………………7 分
②l 垂直 x 轴时设 11()A x y 22()B x y 直线l 方程 1y kx

22
1{ 63
1
xy
y kx


消 y 22(1 2 ) 4 4 0k x kx   
12 2
4
12
kxx k

12 2
4
12xx k
 
…………………………………………8 分
代入 2QA QB
uuur uuur
   1 1 2 22 1 2 1 2x y x y     
代入 111y kx 221y kx 2
1 2 1 2( 2)( 2) 2x x k x x   
代入化简
2
22
4( 1) 8 201 2 1 2
kk
kk
  
……………………………………10 分
解 1
4k 
检验满足题意直线l 方程 4 4 0xy   ………………………………11 分
综述直线l 方程 0 x  4 4 0xy   ………………………………12 分
21解：(1)   x
mx
x
mxf 1＇……………………………………………1 分
0m 时   0＇ xf  xf  0 单调递增极值点……………2 分
0m 时   mxxf  令 0＇  xf  m 单调递增 m0 单减  xf
1 极值点极值点 ……………………………………………………4 分
综： 时 0 极值点 时 1 极值点 ………5 分
（2）   x
mxf 1＇        
2
1 2 1 1 2 2＇ 1
0
1 2 1 2 1 2
lnln ln 1
xmf x f x x m x x m x xfx x x x x x x
        

12
12 12
2＇ 1 12
2
xx mmf xx xx
     

 
2
＇＇1 2 1
0
1 2 1 2
ln 2112
xmx x x mf x f x x x x
       第 8 页 9 页

2
1
1 2 1 2
ln 2
xm x m
x x x x
 122
1 2 1 1 2
2ln xxxm
x x x x x

…………………………7 分
令  2
1
1xttx    
t
ttth 
 1
12ln ……………………………………8 分
   
 
  0
1
1
1
41
2
2
2
＇ 




tt
t
ttth  th  1 单调递增     01  hth
………………………9 分
  ＇＇12
0 2
xxf x f 
 122
1 2 1 1 2
2ln xxxm
x x x x x

0 ……………10 分
 ＇＇12
0 2
xxf x f 
 xf ＇  0 单调递增………………11 分
12
0 2
xxx  1 2 02x x x ……………………………………………12 分
22解：（1） 031  yxC………………………………………………………2 分
 
2
2
2
2 cos 12 sin
x xCy
y
 

   
参数 ……………………………………5 分
（2）设点 M   sincos2
点 曲线 1C 距离
2
3sin3
3cos3
63
2
3sincos2 




 




d

 
2
3sincoscossin3  
（中
3
3cos3
6sin   ）

 
2
3sin3 
…………………………………………………………………7 分
  1sin  时
2
623
2
33
min


d 时 2 Zkk  
Zkk  2 
3
3cos2sinsin 



   k
3
6sincos   第 9 页 9 页






3
33
32M……………………………………………………………………………10 分
23（1）证明：   21  aabaaxbxbxax …………………4 分
仅 1 ba 时取等号………………………………………………………………5 分
（2）   bababxaxxf  2 ba ……………………………6 分
   533333  babaf
2
12
3  ba …………………………7 分
题意





















42
1
2
3
2
1
42
3
2
1
2
3
2
1
42
1
2
3
2
3
xx
x
xx
x
xx
x
………………9 分
原等式解集





  2
3
2
5 xxx …………………………………………………10 分



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