中考动点专题
谓动点型问题指题设图形中存动点线段射线弧线运动类开放性题目解决类问题关键动中求静灵活运关数学知识解决问题
关键动中求静
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重图形运动变化力考查
变换角度运动变化研究三角形四边形函数图等图形通称动点运动等研究手段方法探索发现图形性质图形变化解题程中渗透空间观念合情推理选择基图形学生历探索程力立意考查学生探究力促进培养学生解决问题力．图形动点运动程中观察图形变化情况需理解图形位置情况做计算推理程变化中找变性质解决数学动点探究题基思路动态数学问题中核心数学质
二期课改数学卷中数学压轴性题正逐步转数形结合动态动手操作实验探究等方发展．压轴题题型繁题意创新目考察学生分析问题解决问题力容包括空间观念应意识推理力等．数学思想层面讲：（1）运动观点（2）方程思想（3）数形结合思想（4）分类思想（5）转化思想等．研究历年区压轴性试题找年中考数学试题热点形成命题动利教师教学中研究策握方．样更培养学生解题素养素质教育背景更明确体现课程标准导．文拟压轴题题型背景区分度测量点存性区分度题处理手法提出观点．
专题：建立动点问题函数解析式
函数揭示运动变化程中量量间变化规律初中数学重容动点问题反映种函数思想某点某图形条件运动变化引起未知量已知量间种变化关系种变化关系动点问题中函数关系样建立种函数解析式呢面结合中考试题举例分析
应勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·海)图1半径6圆心角90°扇形OAB弧AB动点PPH⊥OA垂足H△OPH重心G
(1)点P弧AB运动时线段GOGPGH中长度保持变线段果请指出样线段求出相应长度
(2)设PHGP求关函数解析式写出函数定义域(变量取值范围)
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
(3)果△PGH等腰三角形试求出线段PH长
解(1)点P弧AB运动时OP保持变线段GOGPGH中长度保持变线段条线段GHNHOP2
(2)Rt△POH中 ∴
Rt△MPH中
∴GPMP (0<<6)
(3)△PGH等腰三角形三种情况
①GPPH时解 检验 原方程根符合题意
②GPGH时 解 检验 原方程根符合题意
③PHGH时
综述果△PGH等腰三角形线段PH长2
二应例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）图2△ABC中ABAC1点DE直线BC运动设BDCE
(1)果∠BAC30°∠DAE105°试确定间函数解析式
A
E
D
C
B
图2
(2)果∠BAC度数∠DAE度数满足样关系式时(1)中间函数解析式成立试说明理
解(1)△ABC中∵ABAC∠BAC30°
∴∠ABC∠ACB75° ∴∠ABD∠ACE105°
∵∠BAC30°∠DAE105° ∴∠DAB+∠CAE75°
∠DAB+∠ADB∠ABC75°
∴∠CAE∠ADB
∴△ADB∽△EAC ∴
∴ ∴
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)∠DAB+∠CAE∠DAB+∠ADB∠ABC函数关系式成立
∴ 整理
时函数解析式成立
例3(2005年·海)图3(1)△ABC中∠ABC90°AB4BC3 点O边AC动点点O圆心作半圆边AB相切点D交线段OC点E作EP⊥ED交射线AB点P交射线CB点F
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证 △ADE∽△AEP
(2)设OAAP求关函数解析式写出定义域
(3)BF1时求线段AP长
解(1)连结OD
根题意OD⊥AB∴∠ODA90°∠ODA∠DEP
ODOE∠ODE∠OED∴∠ADE∠AEP ∴△ADE∽△AEP
(2)∵∠ABC90°AB4BC3 ∴AC5 ∵∠ABC∠ADO90° ∴OD∥BC ∴
∴ODAD ∴AE
∵△ADE∽△AEP ∴ ∴ ∴ ()
(3)BF1时
①EP交线段CB延长线点F图3(1)CF4
∵∠ADE∠AEP ∴∠PDE∠PEC ∵∠FBP∠DEP90° ∠FPB∠DPE
∴∠F∠PDE ∴∠F∠FEC ∴CFCE
∴54求AP2
②EP交线段CB点F图3(2) CF2
类似①CFCE
∴52
求AP6
综述 BF1时线段AP长26
三应求图形面积方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·海）图△ABC中∠BAC90°ABAC⊙A半径1点OBC边运动(点BC重合)设BO△AOC面积
(1)求关函数解析式写出函数定义域
(2)点O圆心BO长半径作圆O求⊙O⊙A相切时
△AOC面积
解(1)点A作AH⊥BC垂足H
∵∠BAC90°ABAC ∴BC4AHBC2 ∴OC4
∵ ∴ ()
(2)①⊙O⊙A外切时
Rt△AOH中OAOH ∴ 解
时△AOC面积
②⊙O⊙A切时
Rt△AOH中OAOH ∴ 解
时△AOC面积
综述⊙O⊙A相切时△AOC面积
专题二：动态型压轴题
动态特点问题背景特殊图形考查问题特殊图形握般特殊关系分析程中特关注图形特性（特殊角特殊图形性质图形特殊位置）动点问题直中考热点年考查探究运动中特殊性：等腰三角形直角三角形相似三角形行四边形梯形特殊角三角函数线段面积值面问题常见题型作简单介绍解题方法关键点拨
动态线压轴题
（）点动问题．
1．（09年徐汇区）图中点边点顶点作分交边点交射线点．
（1）时求长
（2）点圆心长半径⊙点圆心长半径⊙相切时
求长
（3）边直径⊙线段相切时求长．
[题型背景区分度测量点]
题改编新教材九相似形245(4)例六典型线三角(三等角)问题试题原题基础改编出第题E点AB边运动时渗透入圆圆位置关系(相切问题)存性研究形成第二题加入直线圆位置关系(相切问题)存性研究形成第三题．区分度测量点直线圆位置关系圆圆位置关系利方程思想求解．
[区分度性题处理手法]
1．直线圆相切存性处理方法：利dr建立方程．
2．圆圆位置关系存性(相切问题)处理方法：利dR±r()建立方程．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
解：（1） 证明∽∴ 代入数∴AF2
（2） 设BE利（1）方法
相切时分外切切两种情况考虑： 外切
切．
∴⊙⊙相切时长．
（3）边直径⊙线段相切时．
类题 ⑴动点：09杨浦25题（四月五月）09静安25题
⑵两动点：09闸北25题09松江25题09卢湾25题09青浦25题．
（二）线动问题
矩形ABCD中AB＝3点O角线AC直线l点OAC垂直交AD点E(1)直线l点B△ABE直线l翻折点A矩形ABCD称中心A＇重合求BC长
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)直线lAB相交点FAO＝AC设AD长五边形BCDEF面积S①求S关函数关系式指出取值范围
②探索：否存样A圆心长半径圆直线l相切存请求出值存请说明理．
[题型背景区分度测量点]
A
B
C
D
E
O
l
F
题矩形背景结合轴称相似三角等相关知识编制．第题考核学生轴称矩形勾股定理三块知识容直线AB边移时探求面积函数解析式区分测量点加入直线圆位置关系(相切问题)存性研究形成区分度测量点二．
[区分度性题处理手法]
1．找面积关系函数解析式规图形套公式割补法规图形割补法．
2．直线圆相切存性处理方法：利dr建立方程．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
(1)∵A’矩形ABCD称中心∴A’B＝AA’＝AC
∵AB＝A’BAB＝3∴AC＝6
(2)①
∴
()
②圆A直线l相切(舍)∵∴存样圆A直线l相切．
[类题]09虹口25题．
（三）面动问题
图中分边两动点（重合）保持边点异侧作正方形
（1）试求面积
（2）边重合时求正方形边长
（3）设正方形重叠部分面积试求关函数关系式写出定义域
（4）等腰三角形时请直接写出长．
[题型背景区分度测量点]
题改编新教材九相似形245(4)例七典型角相似三角形问题试题形成坡度原题基础改编出求等腰三角形面积第题D点AB边运动时正方形整体动起GF边落BC边时恰教材中例题应说相似三角形应高高应边边探寻正方形三角形重叠部分面积线段AD关系函数解析式形成第三题然属面积类题设置区分测量点等腰三角形存性设置区分测量点二．
[区分度性题处理手法]
1．找三角形正方形重叠部分解决题关键图3132重叠部分分正方形矩形包括两种情况．
2．正确抓住等腰三角形腰底分类图333435方程思想解决．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
解：（1）
（2）令时正方形边长解
（3）时
时
（4）
[类题] 改编09奉贤3月考25题条件（2）点MN分边BACA时掉时加第（3）题中
A
B
F
D
E
M
N
C
已知：△ABC中ABAC∠B30ºBC6点D边BC点E线段DCDE3△DEF等边三角形边DFEF边BACA分相交点MN．
（1）求证：△BDM∽△CEN
（2）设BD△ABC△DEF重叠部分面积求关函数解析式写出定义域．
（3）点MN分边BACA时否存点DM圆心 BM半径圆直线EF相切 果存请求出x值存请说明理．
例1：已知⊙O弦AB长等⊙O半径点C⊙O变化（AB）重合求∠ACB
分析：点C变化否影响∠ACB变化呢妨点C改变变化呢？优弧AB劣弧AB变化显然两者结果样点C优弧AB变化时∠ACB弧劣弧AB劣弧AB半然想圆心角连结AOBOABOAOB三角形ABC等边三角形∠AOB600弧圆心角圆周角关系出：∠ACB∠AOB300
点C劣弧AB变化时∠ACB弧优弧AB优弧AB半∠AOB600优弧AB度数36006003000弧圆心角圆周角关系出：∠ACB1500
题答案两分3001500
反思：题通点C圆运动确定性引起结果唯性需分类讨样点C运动变化性引起分类讨解题中常出现
变式1：已知△ABC半径2圆接三角形求∠C
题例1区AB圆半径关系发生变化解题方法面致三角形AOB中
点C优弧AB变化时∠C弧劣弧AB劣弧AB半
点C劣弧AB变化时∠C弧优弧AB优弧AB半∠AOB1200优弧AB度数360012002400弧圆心角圆周角关系出：∠C1200
∠C1200
变式2 图半1半圆O两动点ABAB1
判断∠AOB否会点AB变化变化变化求出变化范围变化求出值
四边形ABCD面积值
解：（1）ABOAOB三角形AOB等边三角形∠AOB600∠AOB会点AB变化变化
（2）四边形ABCD面积三三角形组成中三角形AOB面积三角
形AOD三角形BOC面积梯形
中位线定理三角形AOD三角形BOC面积四边形
ABCD面积需EH显然EH≤OEAB∥CD时EHOE
四边形ABCD面积值+
题学继续思考四边形ABCD周长变化范围
变式3 图块半圆形木板现截成三角形板块三角形两顶点分
AB顶点C半圆问样截取截出三角形面积？求说明理（广州市2000年考题）
分析：三角形ABC面积三角形ABC底边AB圆直径常量需AB边高点C作CD⊥AB点D连结CO
CD≤COOD重合CDCOCOAB垂直时C半圆弧
中点时三角形ABC面积
题先猜想点C半圆弧中点时三角形ABC面积需选位置C1（C重合）证明三角形ABC面积三角形ABC1面积图
显然三角形 ABC1面积AB×C1DC1D< C1OCO三角形 ABC1面积AB×C1D题研究三角形ABC周长时问题
提示：利周长面积间关系三角形ABC周长AB常数需AC+BC（AC+BC）2AC2+CB2+2AC×BCAB2+4×ΔABC面积ΔABC面积时AC+BCΔABC周长
道题三变式研究难发现解决动态问题常见方法
特殊探路般推证
例2：（2004年广州市中考题第11题）图⊙O1⊙O2切A⊙O1半径3⊙O2半径2点P⊙O1点（点A重合）直线PA交⊙O2点CPB切⊙O2点B值
（A） （B） （C） （D）
分析：题道选择题出四答案正确取特殊位置进行研究点P满足PB⊥AB时通计算出PB
BC×APBP×AB
BC
三角形BPC中PC
选（B）
然题根三角形相似计算出结
作道选择题已完成果道解答题出结特殊情况进步证明般情况成立
例3：图等腰直角三角形ABC中斜边BC4OABCO点E点F分边ABAC滑动保持AECF点FAC重合点EBA重合
判断OEF形状加证明
判断四边形AEOF面积否点EF变化变化变化求变化范围变化求值
AEF面积否着点EF变化变化变化求变化范围变化求值
分析：题结难发现先特殊情况入手特殊情况EF分ABAC中点显然ΔEOF等腰直角三角形发现点EA限接时点F点C限接时ΔEOF限接ΔAOCΔAOC等腰直角三角形种特殊情况出ΔEOF等腰直角三角形般情况成立？OEOF相等？∠EOF直角？否证明果成立便推出三角形OFC三角形OEA全等般情况两三角形全等？
难题目条件：OAOC∠OCF∠OAEAECFΔOEA≌ΔOFCOEOF∠FOC∠EOA∠EOF∠EOA+∠AOF∠FOC+∠FOA900∠EOF直角ΔEOF等腰直角三角形
二 动手实践操作确认
例4（2003年广州市中考试题）⊙O中C弧AB中点D弧AC点（AC重合）
（A）AC+CBAD+DB (B) AC+CB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CBAD+DB关系确定
分析题通动手操作度量ACCBADDB长度尝试换位置量量出结（C）
例5：图两心圆圆点C分作圆直径CA非直径弦CD延长CACD圆分交点BE列结中正确（ * ）
（A） （B）
（C）（D）确定
分析：题通度量方法进行选（B）
题证明出结连结DOEO三角形OED中两边差第三边
OE—OD三 建立联系计算说明
例6：图正方形ABCD边长4点M边DCDM1N角线AC意点DN+MN值
分析：否DNNM进行转化建立三角形两边第三边等问题然想轴称问题ABCD正方形连结BN显然NDNB问题转化BN+NM值问题般情况：BN+NM≥BMBNM三点线时BN+NMBMDN+MN值BM
题通建立面三点中构成三角形中两边第三边线时两边等第三边特殊情况求值通勾股定理计算出结
例7：图等腰直角三角形ABC中斜边BC4OABCO点E点F分边ABAC滑动保持AECF点FAC重合点EBA重合
判断四边形AEOF面积否点EF变化变化变化求变化范围变化求值
AEF面积否着点EF变化变化变化求变化范围变化求值
（例3第2第3问）
分析：(2)题方法建立四边形AEOFAE长函数关系式设AExAF
三角形AOB面积三角形AOE面积三角形AOB面积三角形AOE面积理三角形AOF面积四边形AEOF面积AEOF面积会点EF变化变化定值2
然题样思考三角形AOE三角形COF全等四边形AEOF面积三角形AOC面积相等AOC面积2AEOF面积会点EF变化变化定值2
题通建立函数关系关图形间关系然通简单计算出结方法应较广泛
第(3)问通建立函数关系求 AEF面积变化范围二次函数知识AEF面积范围
AEF面积
题根三角形AEF三角形OEF面积关系确定AEF面积范围
难证明AEF面积≤OEF面积公边EF取EF中点H显然OEF等腰直角三角形OH⊥EF作AG⊥EF显然AG≤AHAG（）AEF面积≤OEF面积2AEF面积
题包容涵十分丰富提出问题研究：
较线段EFAO长度等（通AEOF四点EF直径圆出结）
例8：图矩形ABCD中AB12cmBC6cm点PAB边点A开始点B2厘米秒速度移动点QDA边点D开始点A1厘米秒速度移动果ＰＱ时出发t秒表示移动时间（0≤ t ≤6）：
（1）t值时三角形QAP等腰三角形？
（2）求四边形QAPC面积提出计算结果关结
（3）t值时点QAP顶点三角形△ABC相似？
分析：（1）三角形QAP等腰三角形时∠A直角AQAP建立等量关系时三角形QAP等腰三角形
（2）四边形QAPC面积ABCD面积—三角形QDC面积—三角形PBC面积
36PQ运动时四边形QAPC面积变
（3）显然两种情况：△PAQ∽△ABC△QAP∽△ABC
相似关系解
建立关系求解包含容函数关系方程组等式等通解方程函数值值变量取值范围等方面解决问题通关系描述图形特征全等相似圆等方面知识求解
作训练学综合述方法求解：
练1：2003年广州市中考压轴题（全卷分低道）
已知ABC直角三角形AC5BC12∠ACB直角PAB边动点（点AB重合）QBC边动点（点BC重合）
（1） 图PQ∥ACQBC中点求线段CP长
PQAC行时CPQ直角三角形？求出线段CQ长取值范围请说明理
第1问易出PAB中点CP
第2问：果CPQ直角三角形PQAC行∠Q直角
点PA重合∠PCQ直角∠CPQ直角CQ直径圆AB交点设CQ2xCQ中点DAB距离DMCD
时CPQ直角三角形
然方法学继续研究
练2：（广东省2003年中考试题题）Rt△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°OBC中点
（1）写出点O△ABC三顶点 ABC距离关系
（2）果点MN分线段ABAC移动移动中保持AN＝BM请判断△OMN形状证明结
该题例3类似学仿
类题性：
1．代数高度综合（数形结合）着力数学质核心容考查四数学思想：数学结合分类讨方程函数．
2．形载体研究数量关系通设表列获函数关系式研究特殊情况函数值．
专题三：双动点问题
点动线动形动构成问题称动态问题 图形载体运动变化线集知识点体集种解题思想题 类题综合性强力求高全面考查学生实践操作力空间想象力分析问题解决问题力 中灵活变著称双动点问题更成年中考试题热点现采撷例加分类浅析供读者欣赏
1 双动点载体探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)直角梯形ABCD中∠C90°高CD6cm(图1) 动点PQ时点B出发点PBAADDC运动点C停止点QBC运动点C停止两点运动时速度1cms 点P达点A时点Q正达点C 设PQ时点B出发时间t(s)时△BPQ面积y(cm)2(图2) 分ty横坐标建立直角坐标系已知点PAD边AD运动时yt函数图象图3中线段MN
(1)分求出梯形中BAAD长度
(2)写出图3中MN两点坐标
(3)分写出点PBA边DC边运动时yt函数关系式(注明变量取值范围)图3中补全整运动中y关x函数关系致图象
评析 题点运动程中形成函数解析式相应函数图象机结合起二者相辅相成清新淡雅感 题彰显数形结合分类讨函数建模参数思想解题程中灵活运 解决题关键函数图象中确定线段AB梯形高t函数关系式建立起yt函数关系式进根函数关系式补充函数图象
2 双动点载体探求结开放性问题
例2 (2007年泰州市)图5Rt△ABC中∠B90°∠CAB30°顶点A坐标(100)顶点B坐标(553)AB10点P点A出发A→B→C方匀速运动时点Q点D(02)出发y轴正方相速度运动点P达点C时两点时停止运动设运动时间t秒
(1)求∠BAO度数
(2)点PAB运动时△OPQ面积S(方单位)时间t(秒)间函数图象抛物线部分(图6)求点P运动速度
(3)求(2)中面积S时间t间函数关系式面积S取值时点P坐标
(4)果点PQ保持(2)中速度变点PAB边运动时∠OPQ着时间t增增着BC边运动时∠OPQ着时间t增减点P两边运动时∠OPQ90°点P请说明理
解 (1)∠BAO60°
(2)点P运动速度2单位秒
评析 题双点运动构建集函数开放值问题体综合题 试题难度梯度区分度道具选拔功题 解决题关键图象中获取P速度2然建立St函数关系式利函数性质解问题(3)题难点题(4)考生题目信息中确定建立B直角顶点三角形B界点进行分类讨进确定点数问题
3 双动点载体探求存性问题
例3 (2007年扬州市)图8矩形ABCD中AD3厘米ABa厘米(a>3)动点MN时B点出发分B→AB→C运动速度1厘米秒M作直线垂直AB分交ANCDPQ点N达终点C时点M停止运动设运动时间t秒
(1)a4厘米t1秒PM厘米
(2)a5厘米求时间t△PNB∽△PAD求出相似
(3)运动程中存某时刻梯形PMBN梯形PQDA面积相等求a取值范围
(4)否存样矩形：运动程中存某时刻梯形PMBN梯形PQDA梯形PQCN面积相等存求a值存请说明理
评析 题双动点载体矩形背景创设存性问题试题浅入深层层递进代数知识完美综合题侧重相似梯形面积等知识点考查题难点题(3)解决题关键运相似三角形性质t代数式表示PM进利梯形面积相等列等式求出ta函数关系式利t范围确定a取值范围 第(4)题题(3)结拓展应解决问题程中全局观念问题整体握
4 双动点载体探求函数值问题
例4 (2007年吉林省)图9边长82cm正方形ABCD中EF角线AC两动点分点AC时出发角线1cms相速度运动E作EH垂直AC交Rt△ACD直角边HF作FG垂直AC交Rt△ACD直角边G连结HGEB设HEEFFGGH围成图形面积S1AEEBBA围成图形面积S2(里规定：线段面积0)E达CF达A停止E运动时间x(s)解答列问题：
(1)0 (2)①yS1S2求yx间函数关系式 (图10备图)
②求y值
解 (1)EFGH顶点四边形矩形正方形ABCD边长82AC16B作BO⊥ACOOB89AExS24xHEAExEF162xS1x(162x) S1S2时 4xx(162x)解x10(舍)x26x6时 S1S2
(2)①0≤x<8时yx(162x)+4x2x2+20x
8≤x≤16时AExCEHE16xEF162(16x)2x16
S1(16x)(2x16) y(16x)(2x16)+4x2x2+52x256
②0≤x<8时y2x2+20x2(x5)2+50x5时y值50
8≤x≤16时y2x2+52x2562(x13)2+82
x13时y值82
综y值82
评析 题双动点载体正方形背景创设函数值问题求学生认真读题领会题意画出情况图形根图形建立时间变量相关变量关系式进构建面积函数表达式 题知识点侧重二次函数值问题考查求学生扎实基础知识灵活解题方法良思维品质解题思想着重数形结合思想分类讨思想数学建模等思想灵活运
专题四：函数中动点产生相似三角形问题
例题 图1已知抛物线顶点A（21）原点Ox轴交点B
⑴求抛物线解析式（顶点式求抛物线解析式）
⑵点C抛物线称轴点D抛物线OCDB四点顶点四边形行四边形求D点坐标
⑶连接OAAB图2x轴方抛物线否存点P△OBP△OAB相似？存求出P点坐标存说明理
例1题图
图1
图2
分析1出四边形两顶点时应两顶点连线四边形边角线考虑问题OCDB四点顶点四边形行四边形分类讨OB边角线两种情况
2 函数中动点产生相似三角形问题般三解题途径
① 求相似三角形第三顶点时先分析已知三角形边角特点进出已知三角形否特殊三角形根未知三角形中已知边已知三角形应边分类讨
②利已知三角形中应角未知三角形中利勾股定理三角函数称旋转等知识推导边
③两三角形边均未出应先设求点坐标进函数解析式表示边长度利相似列方程求解
练1已知抛物线原点．
（1）求抛物线解析式．（般式抛物线解析式）
（2）点作行轴直线交轴点抛物线称轴右侧位直线方抛物线取点点作直线行轴交轴点交直线点直线直线两坐标轴围成矩形．否存点相似？存求出点坐标存说明理．
（3）果符合（2）中点轴方连结矩形四三角形间存样关系？什？
练2图四边形OABC张放面直角坐标系中矩形纸片点Ax轴点Cy轴边BC折叠点B落边OA点D处已知折叠
（1）判断否相似？请说明理
（2）求直线CEx轴交点P坐标
（3）否存点D直线l直线l直线CEx轴围成三角形直线l直线CEy轴围成三角形相似？果存请直接写出解析式画出相应直线果存请说明理
O
x
y
练2图
C
B
E
D
练3面直角坐标系中已知二次函数图象轴交两点（点点左边）轴交点顶点横坐标1点．
（1）求二次函数表达式（般式抛物线解析式）
（2）直线线段交点（点重合）否存样直线顶点三角形相似？存求出该直线函数表达式点坐标存请说明理
C
B
A
练4图
P
y
y
C
x
B
A
练3图
（3）点位该二次函数称轴右边图象顶点重合意点试较锐角（必证明）写出时点横坐标取值范围．
O
练4 (2008广东湛江市) 图示已知抛物线轴交AB两点轴交点C．
（1）求ABC三点坐标．
（2）点A作AP∥CB交抛物线点P求四边形ACBP面积．
（3）轴方抛物线否存点MM作MG轴点GAMG三点顶点三角形PCA相似．存请求出M点坐标否请说明理．
练5已知：图面直角坐标系中直角三角形点坐标分．
A
C
O
B
x
y
（1）求点直线函数表达式点
（2）轴找点连接相似（包括全等）求点坐标
（3）（2）条件分动点连接设问否存样相似存请求出值存请说明理．
参考答案
例题解⑴题意设抛物线解析式
∵抛物线原点
∴
∴
图1
抛物线解析式
⑵图1OB边四边形OCDB行四边形时CDOB
∴B(40)OB＝4
∴D点横坐标6
x＝6代入y＝－3
∴D(6－3)
图2
根抛物线称性知称轴左侧抛物线存点D四边形ODCB行四边形时D点坐标(－2－3)
OB角线四边形OCBD行四边形时D点A点时D点坐标(21)
⑶图2抛物线称性知AO＝AB∠AOB＝∠ABO
△BOP△AOB相似必须∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线称轴A′点显然A′(2－1)
∴直线OP解析式
∴P(6－3)
P作PE⊥x轴Rt△BEP中BE＝2PE＝3
∴PB＝≠4
∴PB≠OB∴∠BOP≠∠BPO
∴△PBO△BAO相似
理说明称轴左边抛物线存符合条件P点
该抛物线存点P△BOP△AOB相似
练1解：（1）已知：
解．
抛物线解析式：．
（2）存．
设点坐标
解．
时点
O
x
y
图1
C
B
E
D
3
1
2
A
解时点
时．
存两点相似．
点坐标．
（3）中．．
点坐标时．
．
直角三角形．
中．．
．
图2
O
x
y
C
B
E
D
P
M
G
l
N
A
F
．
练2
解：（1）相似
理：
折叠知
（2）设AE3t
AD4t
勾股定理DE5t
（1）
中
解t1
OC8AE3点C坐标（08）
点E坐标（103）
设直线CE解析式ykx+b
解
点P坐标（160）
（3）满足条件直线l2条：y－2x+12
y2x－12
图2：准确画出两条直线
练3
解：（1）二次函数图象顶点横坐标1点
解
二次函数表达式 ．
（2）假设存直线线段交点（点重合）顶点三角形相似．
y
x
B
E
A
O
C
D
中令解
．
令．．
设点直线交点点作轴点．
点坐标点坐标点坐标．
．
已需 ①
②
成立．
①．
．
中勾股定理．
解 （负值舍）．
．
点坐标．
点坐标代入中求．
满足条件直线函数表达式．
［求出直线函数表达式直线行直线函数表达式．时易知求出直线函数表达式．联立求点坐标．］
②．
．
中勾股定理．
解 （负值舍）．
．
点坐标．
点坐标代入中求．
满足条件直线函数表达式．
存直线线段交点（点重合）顶点三角形相似点坐标分．
（3）设点直线该二次函数图象交点．
点坐标代入中求．
直线函数表达式．
设点坐标代入．
x
B
E
A
O
C
P
·
解（合题意舍）．
．
点坐标．
时锐角．
二次函数称轴
点关称轴称点坐标．
时锐角
图1
C
P
B
y
A
时锐角
时锐角．
练四
解：（1）令 解
令
∴ A B C
（2）∵OAOBOC ∴BACACOBCO
∵AP∥CB ∴PAB
点P作PE轴EAPE等腰直角三角形
令OEPE ∴P
∵点P抛物线 ∴
解（合题意舍）
∴PE
∴四边形ACBP面积AB•OC+AB•PE
(3)． 假设存
∵PABBAC ∴PAAC
G
M
图2
C
B
y
P
A
∵MG轴点G ∴MGAPAC
Rt△AOC中OAOC ∴AC
Rt△PAE中AEPE ∴AP
设M点横坐标M
①点M轴左侧时
(ⅰ) AMG PCA时
G
M
图3
C
B
y
P
A
∵AGMG
解（舍） （舍）
(ⅱ) MAG PCA时
解：（舍）
∴M
② 点M轴右侧时
(ⅰ) AMG PCA时
∵AGMG
∴ 解（舍）
∴M
(ⅱ) MAGPCA时
解：（舍）
∴M
∴存点MAMG三点顶点三角形PCA相似
M点坐标
练5
解：（1）点
点坐标
设点直线函数表达式
图1
直线函数表达式
（2）图1点作交轴点
中
点求
（3）样存
图2
中勾股定理图1时
解
图2时
解
例1(2008福建福州)图已知△ABC边长6cm等边三角形动点PQ时AB两点出发分ABBC匀速运动中点P运动速度1cms点Q运动速度2cms点Q达点C时PQ两点停止运动设运动时间t（s）解答列问题：
（1）t＝2时判断△BPQ形状说明理
（2）设△BPQ面积S（cm2）求St函数关系式
（3）作QRBA交AC点R连结PRt值时△APR∽△PRQ？
分析t＝2求出BPBQ长度△BPQ形状
作QE⊥BP点EPBQEt表示×BP×QE
St函数关系式先证四边形EPRQ行四边形PRQE
△APR∽△PRQ应边成例列方程t值求
解(1)△BPQ等边三角形
t2时AP2×12BQ2×24BPABAP624
BQBP∠B600△BPQ等边三角形
(2)Q作QE⊥AB垂足EQB2tQE2t·sin600t
APtPB6t×BP×QE(6t)×t－t2+3t
(3)QR∥BA∠QRC∠A600∠RQC∠B600∠C600
△QRC等边三角形时BQ2tQRRCQC62t
BEBQ·cos600×2ttAPtEPABAPBE6tt62t
EPQREP∥QR四边形EPRQ行四边形PREQt
△APR∽△PRQ解t
t时 △APR∽△PRQ
点评 题双动点问题动态问题年中考数学热点题型类试题信息量学获取信息处理信息力求较高解题时需运动变化眼光观察研究问题挖掘运动变化全程特关注运动变化中变量变关系特殊关系动中取静静中求动
例2(2008浙江温州)图中分边中点点点出发方运动点作点作交点点重合时点停止运动．设．（1）求点距离长
（2）求关函数关系式（求写出变量取值范围）
（3）否存点等腰三角形？存请求出
满足求值存请说明理．
分析△BHD∽△BACDH△RQC∽△ABC
关函数关系式腰相等列方程值注意需分类讨
解：（1）．
点中点．
．
∴
（2）．
关函数关系式：．
（3）存腰相等分三种情况：
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
①时点作．
．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
．
②时
．
③时中垂线点
点中点
．
．
综述6时等腰三角形．
点评建立函数关系式实质函数y含变量x代数式表示求等腰三角形值假设等腰三角形找等量关系列出方程求解题设中没指明等腰三角形腰须分类讨
五圆载体动点问题
动点问题初中数学难点中考常考察类动点问题题中未说圆圆关巧妙构造圆圆载体利圆关性质问题便会迎刃解类问题方法巧妙耐寻味
例1 中AC＝5BC＝12∠ACB＝90°PAB边动点（点AB重合）QBC边动点（点BC重合）PQAC行时△CPQ直角三角形？请求出线段CQ长取值范围请说明理（03年广州市中考）
分析：PQ运动∠PCQ∠ACB90°PQAC行∠PQC等90°∠CPQ直角△CPQ直角三角形判断△CPQ否直角三角形需构造CQ直径圆根直径圆周角直角AB边动点P圆∠CPQ直角否∠CPQ直角
CQ直径做半圆D
①半圆DAB相切时设切点M连结DM
DM⊥ABAC＝AM＝5
设
中
解：
点P运动切点M位置时△CPQ直角三角形
②时半圆D直线AB两交点点P运动两交点位置时△CPQ直角三角形
③时半圆D直线AB相离点P半圆D外0＜∠CPQ＜90°时△CPQ直角三角形
时△CPQ直角三角形
例2 图2直角梯形ABCD中AD∥BC∠B＝90°AD＋BC＜DC腰DC动点PAP⊥BP样点少？
分析：条件AP⊥BP想AB直径作圆CD圆相交根直径圆周角90°两交点点PCD圆相切切点点PCD圆相离DC存动点PAP⊥BP
解：图3AB直径做⊙O设⊙OCD切点E
∠B＝∠A＝90°
ADBC⊙O切线
AD＝DEBC＝CE
AD＋BC＝CD
条件中AD＋BC＜DCCD左移图4CD长度变ADBC长度缩短时AD＋BC＜DC点OCD距离OE⊙O半径OECD⊙O相交直径AB圆周角90°交点求腰DCAP⊥BP动点P2
例3 图5△ABC外部动点P（直线BC方）分连结PBPC试确定∠BPC∠BAC关系（02年广州市中考）
分析：∠BPC∠BAC间没联系确定∠BPC∠BAC关系必须找恰载体作间桥梁道桥梁圆通构造△ABC外接圆问题会迎刃解
（1）点P△ABC外接圆外时
图5连结BD根外角相邻角∠BPC＜∠BDC
∠BDC＝∠BAC
∠BPC＜∠BAC
（2）点P△ABC外接圆时图6根弧圆周角相等
∠BPC＝∠BAC
（3）点P△ABC外接圆时图7延长BP交△ABC外接圆点D连结CD∠BPC＞∠BDC
∠BDC＝∠BAC∠BPC＞∠BAC
综知点P△ABC外接圆外时
∠BPC＜∠BAC
点P△ABC外接圆时
∠BPC＝∠BAC
点P△ABC外接圆时
∠BPC＞∠BAC
专题七2010中考数学热点专题突破训练――动点问题
动点试题年中考命题热点次函数二次函数等知识综合构成中考试题压轴题动点试题致分点动线动图形动三种类型动点试题静代动解题思想解题面中考动点试题进行分析
例1 （2006年福建晋州）图行四边形ABCD中AD4cm∠A60°BD⊥AD动点PA出发秒1cm速度A→B→C路线匀速运动点P作直线PMPM⊥AD
1．点P运动2秒时设直线PMAD相交点E求△APE面积
2．点P运动2秒时动点QA出发A→B路线运动AB秒1cm速度匀速运动（PQ中某点达终点两点停止运动）Q作直线QNQN∥PM设点Q运动时间t秒（0≤t≤8）直线PMQN截行四边形ABCD图形面积S（cm2）
（1）求S关t函数关系式
（2）求S值
1分析：题点动题1)搞清动点走路线速度样求出相应线段长2）分析运动中点种特殊位置
题意知点P动点走路线：A→B→C速度1cmst2s求出AP值进求出△APE面积
略解：AP2 ∠A60°AE1EP
2分析：两点时运动点P前点Q速度相等两点距出发点A距离相差总2cmPAB边运动BC边运动PMQN截行四边形ABCD图形分两种情况：
（1）①PQAB运动时PMQN截行四边形ABCD图形永远直角梯形时0≤t≤6
②PBC运动QAB边运动时画出相应图形成图形六边形DFQBPG规图形面积割补法时6＜t≤8
⑴略解：①PQ时AB边运动时0≤t≤6
AQtAPt+2 AFtQFtAG(t+2) 三角函数PG(t+2)
FGAGAF(t+2)t1S ·(QF+PG)·FG[t+(t+2)]·1t+
②6＜t≤8时
SS行四边形ABCDS△AQFS△GCP
易求S行四边形ABCD16S△AQFAF·QFt2
S△CGPPC·PGPC4BP4(t+28)10t例式∴PG(10t)∴S△CGPPC·PG(10t)·(10t)(10t)2
∴S16t2(10t)2(6＜t≤8
⑵分析求面积值时应函数增减性求题中分种情况种情况分求出值然综合起出结题分两种情况分求出0≤t≤66＜t≤8时值 0≤t≤6时次函数应次函数性质次项系数正数面积St增增 6＜t≤8时二次函数应配方法公式法求值
略解：t6时S＝
S＝(6＜t≤8t8时S6
综述 t8时S6
例2．（2006年锦州市）图面直角坐标系中四边形OABC菱形点C坐标(40)∠AOC60°垂直x轴直线ly轴出发x轴正方秒1单位长度速度运动设直线l菱形OABC两边分交点MN(点M点N方)
1求AB两点坐标
2设△OMN面积S直线l运动时间t秒(0≤t≤6)试求St函数表达式
3题(2)条件t值时S面积？面积少？
1分析：菱形性质三角函数易求AB两点坐标
解：∵四边形OABC菱形点C坐标(40)
∴OAABBCCO4图①点A作AD⊥OCD∵∠AOC60°∴OD2AD
∴A(2 )B（6 ）
2分析：直线l运动程中时间t变化△MON形状断变化首先情况画出相应图形种图形相应写出变量取值范围解决动点题关键
直线ly轴出发x轴正方运动菱形OABC两边相交三种情况：
①0≤t≤2时直线lOAOC两边相交(图①)
②2＜t≤4时直线lABOC两边相交(图②)
③4＜t≤6时直线lABBC两边相交(图③)
略解：①∵MN⊥OC∴ONt ∴MNONtan60°∴SON·MNt2
②SON·MNt·2t
③方法：设直线lx轴交点H∵MN＝2(t4)6t
∴SMN·OH(6t)tt2+3t
方法二：设直线lx轴交点H∵SS△OMHS△ONH∴St·2t·(t4)
t2+3t
方法三：设直线lx轴交点H∵S
4×28·2·(t2) t2
·4·(t4)2t8(6t)(6t)186t+t2
∴S8(t2)(2t8)(186t+t2)t2+3t
3求面积时候求出种情况面积值然综合种情况求出值
略解：2知0≤t≤2时×222
2＜t≤4时4
4＜t≤6时配方S(t3)2+
∴t3时函数S＝t2+3t值
t34＜t≤6∴4＜t≤6函数S＝t2+3t值
t＞3时函数S＝t2+3tt增减∴4＜t≤6时S＜4 综述t4秒时4
练1 （2006年南安市）图示直角坐标系中矩形ABCD边ADx轴点A原点AB＝3AD＝5．矩形秒2单位长度x轴正方作匀速运动．时点PA点出发秒1单位长度A－B－C－D路线作匀速运动．P点运动D点时停止运动矩形ABCD停止运动．
⑴求P点A点运动D点需时间
⑵设P点运动时间t（秒）
t＝5时求出点P坐标
⊿OAP面积s试求出st间函数关系式（写出相应变量t取值范围）．
解（1）P点A点运动D点需时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）
（2）t＝5时P点A点运动BC时OA10AB+BP5∴BP2
点P作PE⊥AD点EPEAB3AEBP2
∴OEOA+AE10+212∴点P坐标（123）．
分三种情况：
．0＜t≤3时点PAB运动时OA2tAPt∴s×2t×t t2
．3＜t≤8时点PBC运动时OA2t∴s×2t×33 t
．8＜t＜11时点PCD运动时OA2tAB+BC+CP t
∴DP(AB+BC+CD)( AB+BC+CP)11 t∴s×2t×(11 t) t2+11 t
综述st间函数关系式：0＜t≤3时s t23＜t≤8时s3 t8＜t＜11时s t2+11 t
练2 图边长4正方形OABC顶点O坐标原点点Ax轴正半轴点Cy轴正半轴．动点D线段BC移动（BC重合）连接OD点D作DE⊥OD交边AB点E连接OE．
（1）CD1时求点E坐标
（2）果设CDt梯形COEB面积S否存S值？存请求出值时t值存请说明理．
解：(1) 正方形OABC中ED⊥OD∠ODE 90°∠COD90°∠CDO ∠EDB 90°∠CDO∠COD ∠EDB∠OCD∠DBE90°△CDO∽△BED
BE点E坐标（4）．
(2) 存S值．
△CDO∽△BEDBEt－t2
×4×(4＋t－t2)．
t2时S值10．
1（09包头）图已知中厘米厘米点中点．
（1）果点P线段BC3厘米秒速度B点C点运动时点Q线段CAC点A点运动．
①点Q运动速度点P运动速度相等1秒否全等请说明理
②点Q运动速度点P运动速度相等点Q运动速度少时够全等？
A
Q
C
D
B
P
（2）点Q②中运动速度点C出发点P原运动速度点B时出发逆时针三边运动求长时间点P点Q第次条边相遇？
解：（1）①∵秒
∴厘米
∵厘米点中点
∴厘米．
∵厘米
∴厘米
∴．
∵
∴
∴． （4分）
②∵ ∴
∵
∴点点运动时间秒
∴厘米秒． （7分）
（2）设秒点点第次相遇
题意解秒．
∴点运动厘米．
∵
∴点点边相遇
∴秒点点第次边相遇． （12分）
2（09齐齐哈尔）直线坐标轴分交两点动点时点出发时达点运动停止．点线段 运动速度秒1单位长度点路线→→运动．
（1）直接写出两点坐标
x
A
O
Q
P
B
y
（2）设点运动时间秒面积求出间函数关系式
（3）时求出点坐标直接写出点顶点行四边形第四顶点坐标．
解（1）A（80）B（06） 1分
（2）
点时间（秒）
点速度（单位秒） 1分
线段运动（0）时
1分
线段运动（）时
图作点 1分
1分
（变量取值范围写1分否分．）
（3） 1分
3分
3（09深圳）图面直角坐标系中直线l：y－2x－8分x轴y轴相交AB两点点P（0k）y轴负半轴动点P圆心3半径作⊙P
（1）连结PAPAPB试判断⊙Px轴位置关系说明理
（2）k值时⊙P直线l两交点圆心P顶点三角形正三角形？
解：（1）⊙Px轴相切
∵直线y－2x－8x轴交A（40）
y轴交B（0－8）
∴OA4OB8
题意OP－k
∴PBPA8+k
Rt△AOP中k2+42(8+k)2
∴k－3∴OP等⊙P半径
∴⊙Px轴相切
（2）设⊙P直线l交CD两点连结PCPD圆心P线段OB时作PE⊥CDE
∵△PCD正三角形∴DECDPD3
∴PE
∵∠AOB∠PEB90° ∠ABO∠PBE
∴△AOB∽△PEB
∴
∴
∴
∴
∴
圆心P线段OB延长线时理P(0－－8)
∴k－－8
∴k－8k－－8时⊙P直线l两交点圆心P顶点三角形正三角形
4（09哈尔滨） 图1面直角坐标系中点O坐标原点四边形ABCO菱形点A坐标（－34）
点Cx轴正半轴直线AC交y轴点MAB边交y轴点H．
（1）求直线AC解析式 （2）连接BM图2动点P点A出发折线ABC方2单位／秒速度终点C匀速运动设△PMB面积S（S≠0）点P运动时间t秒求St间函数关系式（求写出变量t取值范围）
（3）（2）条件 t值时∠MPB∠BCO互余角求时直线OP直线AC夹锐角正切值． 解：
5（09河北）Rt△ABC中∠C90°AC 3AB 5．点P点C出发CA秒1单位长速度点A匀速运动达点A立刻原速度AC返回点Q点A出发AB秒1单位长速度点B匀速运动．伴着PQ运动DE保持垂直分PQ交PQ点D交折线QBBCCP点E．点PQ时出发点Q达点B时停止运动点P停止．设点PQ运动时间t秒（t＞0）．
A
C
B
P
Q
E
D
图16
（1）t 2时AP 点QAC距离
（2）点PCA运动程中求△APQ面积S
t函数关系式（必写出t取值范围）
（3）点EBC运动程中四边形QBED否成
直角梯形？求t值．请说明理
（4）DE点C 时请直接写出t值．
解：（1）1
A
C
B
P
Q
E
D
图4
（2）作QF⊥AC点F图3 AQ CP t∴．
△AQF∽△ABC
．∴．
∴
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
．
（3）．
①DE∥QB时图4．
∵DE⊥PQ∴PQ⊥QB四边形QBED直角梯形．
时∠AQP90°．
△APQ ∽△ABC
． 解．
②图5PQ∥BC时DE⊥BC四边形QBED直角梯形．
时∠APQ 90°．
△AQP ∽△ABC
． 解．
（4）．
①点PCA运动DE点C．
连接QC作QG⊥BC点G图6．
．
解．
②点PAC运动DE点C图7．
6（09河南））图中．点中点点直线重合位置开始绕点作逆时针旋转交边点．点作交直线点设直线旋转角．
（1）① 度时四边形等腰梯形时长
② 度时四边形直角梯形时长
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
（备图）
（2）时判断四边形否菱形说明理．
解（1）①301②6015 ……………………4分
（2）∠α900时四边形EDBC菱形
∵∠α∠ACB900∴BCED
∵CEAB ∴四边形EDBC行四边形……………6分
Rt△ABC中∠ACB900∠B600BC2
∴∠A300
∴AB4AC2
∴AO ……………………8分
Rt△AOD中∠A300∴AD2
∴BD2 ∴BDBC
∵四边形EDBC行四边形
∴四边形EDBC菱形 ……………………10分
A
D
C
B
M
N
7（09济南）图梯形中动点点出发线段秒2单位长度速度终点运动动点时点出发线段秒1单位长度速度终点运动．设运动时间秒．
（1）求长．
（2）时求值．
（3）试探究：值时等腰三角形．
解：（1）图①分作四边形矩形
∴ ……………………1分
中
2分
中勾股定理
∴……………3分
（2）图②作交点四边形行四边形
∵
（图①）
A
D
C
B
K
H
∴
∴
∴……………4分
题意知运动秒时
∵
∴
∴
（图②）
A
D
C
B
G
M
N
∴……………5分
解……………6分
（3）分三种情况讨：
①时图③
∴……………7分
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E
②时图④作
解法：
等腰三角形三线合性质
中
中
∴
解 8分
解法二：
∵
∴
∴
∴……………8分
③时图⑤作点
解法：（方法②中解法）
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
解
解法二：
∵
∴
∴ ∴
综述时等腰三角形 9分
8（09江西）图1等腰梯形中中点点作交点．
（1）求点距离
（2）点线段动点作交点作交折线点连结设
①点线段时（图2）形状否发生改变？变求出周长改变请说明理
A
D
E
B
F
C
图4（备）
A
D
E
B
F
C
图5（备）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
②点线段时（图3）否存点等腰三角形？存请求出满足求值存请说明理
解（1）图1点作点 1分
∵中点
∴
中∴……………2分
∴
点距离……………3分
（2）①点线段运动时形状发生改变．
图1
A
D
E
B
F
C
G
∵∴
∵∴
理……………4分
图2点作∵
∴
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
中
∴周长 6分
②点线段运动时形状发生改变恒等边三角形．
时图3作
类似①
∴ 7分
∵等边三角形∴
时 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
时图4时
时
时图5
∴
点重合直角三角形．
∴
时
综述4时等腰三角形． 10分
9（09兰州）图①正方形 ABCD中点AB坐标分（010）（84）
点C第象限．动点P正方形 ABCD边点A出发A→B→C→D匀速运动
时动点Q相速度x轴正半轴运动P点达D点时两点时停止运动
设运动时间t秒．
(1)P点边AB运动时点Q横坐标（长度单位）关运动时间t（秒）函数图象图②示请写出点Q开始运动时坐标点P运动速度
(2)求正方形边长顶点C坐标
(3)（1）中t值时△OPQ面积求时P点坐标
(4)果点PQ保持原速度变点PA→B→C→D匀速运动时OPPQ否相等写出符合条件t值请说明理．
解：（1）（10）……………1分
点P运动速度秒钟1单位长度．……………2分
（2） 点作BF⊥y轴点⊥轴点＝8．
∴．
Rt△AFB中……………3分
点作⊥轴点延长线交点．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴求C点坐标（1412）． ……………4分
（3） 点P作PM⊥y轴点MPN⊥轴点N
△APM∽△ABF．
∴． ．
∴． ∴．
设△OPQ面积（方单位）
∴（0≤≤10） ……………5分
说明未注明变量取值范围扣分．
∵<0 ∴时 △OPQ面积． 6分
时P坐标（） ． 7分
（4） 时 OPPQ相等． 9分
10（09沂）数学课张老师出示问题：图1四边形ABCD正方形点E边BC中点．EF交正方形外角行线CF点F求证：AEEF．
思考明展示种正确解题思路：取AB中点M连接MEAMEC易证．
基础学作进步研究：
（1）颖提出：图2果点E边BC中点改点E边BC（BC外）意点条件变结AEEF然成立认颖观点正确？果正确写出证明程果正确请说明理
A
D
F
C
G
E
B
图1
（2）华提出：图3点EBC延长线（C点外）意点条件变结AEEF然成立．认华观点正确？果正确写出证明程果正确请说明理．
A
D
F
C
G
E
B
图3
A
D
F
C
G
E
B
图2
解：（1）正确． （1分）
证明：取点连接． （2分）
．．
外角分线
．
A
D
F
C
G
E
B
M
．
．
（ASA）．……………（5分）
．……………（6分）
（2）正确．……………（7分）
A
D
F
C
G
E
B
N
证明：延长线取点．
连接．……………（8分）
．
．
四边形正方形
．
．
．
（ASA）．……………（10分）
．……………（11分）
x
y
B
O
A
11（09天津）已知直角三角形纸片中．图该纸片放置面直角坐标系中折叠该纸片折痕边交点边交点．
（Ⅰ）折叠点点重合求点坐标
（Ⅱ）折叠点落边点设试写出关函数解析式确定取值范围
（Ⅲ）折叠点落边点求时点坐标．
解（Ⅰ）图①折叠点点重合
x
y
B
O
A
设点坐标
中勾股定理
x
y
B
O
A
解
点坐标……………4分
（Ⅱ）图②折叠点落边点
题设
中勾股定理
6分
点边
解析式求
时增减
取值范围 7分
（Ⅲ）图③折叠点落边点
9分
中
设
（Ⅱ）结
解
图（1）
A
B
C
D
E
F
M
N
点坐标 10分
12（09太原）问题解决
图（1）正方形纸片折叠点落边点（点重合）压折痕．时求值．
方法指导：
求值先求长妨设：2
类纳
图（1）中值等 值等 （整数）值等 ．（含式子表示）
联系拓广
图（2）
N
A
B
C
D
E
F
M
图（2）矩形纸片折叠点落边点（点重合）压折痕设值等 ．（含式子表示）
解：方法：图（11）连接．
题设四边形四边形关直线称．
∴垂直分．∴……………1分
∵四边形正方形∴
∵设
中．
N
图（11）
A
B
C
D
E
F
M
∴解…………3分
中
∴…………5分
设∴
N
图（12）
A
B
C
D
E
F
M
G
解…………6分
∴…………7分
方法二：方法…………3分
图（1－2）点做交点连接
∵∴四边形行四边形．
∴
理四边形行四边形．∴
∵
中
∴ ５分
∵…………6分
∴…………7分
类纳 （） …………10分
联系拓广 …………12分
07
08
09
动点数
两
两
问题背景
特殊菱形两边移动
特殊直角梯形三边移动
抛物线中特殊直角梯形底边移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
探究等腰三角形
考
点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线抛物线解析式
④相似三角形
⑤等式
①求直线解析式
②四边形面积表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究行四边形
③探究动三角形面积定值
④探究等腰三角形存性
特
点
①菱形含60°特殊菱形
△AOB底角30°等腰三角形
②动点速度参数字母
③探究相似三角形时应角分类讨先画图探究
④通相似三角形度转化相似出方程
⑤利at范围运等式求出at值
①观察图形构造特征适割补表示面积
②动点拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件图形探究存性
①直角梯形特殊（底角45°）
②点动带动线动
③线动中特殊性（两交点DE定点动线段PF长度定值PFOA）
④通相似三角形度转化相似出方程
⑤探究等腰三角形时先画图探究（边相等分类讨）
三年点：①特殊四边形背景②点动带线动出动三角形③探究动三角形问题（相似等腰三角形面积函数关系式）④求直线抛物线解析式⑤探究存性问题时先画出图形根图形性质探究答案
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谓动点型问题指题设图形中存动点线段射线弧线运动类开放性题目解决类问题关键动中求静灵活运关数学知识解决问题
关键动中求静
数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
注重图形运动变化力考查
变换角度运动变化研究三角形四边形函数图等图形通称动点运动等研究手段方法探索发现图形性质图形变化解题程中渗透空间观念合情推理选择基图形学生历探索程力立意考查学生探究力促进培养学生解决问题力．图形动点运动程中观察图形变化情况需理解图形位置情况做计算推理程变化中找变性质解决数学动点探究题基思路动态数学问题中核心数学质
二期课改数学卷中数学压轴性题正逐步转数形结合动态动手操作实验探究等方发展．压轴题题型繁题意创新目考察学生分析问题解决问题力容包括空间观念应意识推理力等．数学思想层面讲：（1）运动观点（2）方程思想（3）数形结合思想（4）分类思想（5）转化思想等．研究历年区压轴性试题找年中考数学试题热点形成命题动利教师教学中研究策握方．样更培养学生解题素养素质教育背景更明确体现课程标准导．文拟压轴题题型背景区分度测量点存性区分度题处理手法提出观点．
专题：建立动点问题函数解析式
函数揭示运动变化程中量量间变化规律初中数学重容动点问题反映种函数思想某点某图形条件运动变化引起未知量已知量间种变化关系种变化关系动点问题中函数关系样建立种函数解析式呢面结合中考试题举例分析
应勾股定理建立函数解析式
例1(2000年·海)图1半径6圆心角90°扇形OAB弧AB动点PPH⊥OA垂足H△OPH重心G
(1)点P弧AB运动时线段GOGPGH中长度保持变线段果请指出样线段求出相应长度
(2)设PHGP求关函数解析式写出函数定义域(变量取值范围)
H
M
N
G
P
O
A
B
图1
(3)果△PGH等腰三角形试求出线段PH长
解(1)点P弧AB运动时OP保持变线段GOGPGH中长度保持变线段条线段GHNHOP2
(2)Rt△POH中 ∴
Rt△MPH中
∴GPMP (0<<6)
(3)△PGH等腰三角形三种情况
①GPPH时解 检验 原方程根符合题意
②GPGH时 解 检验 原方程根符合题意
③PHGH时
综述果△PGH等腰三角形线段PH长2
二应例式建立函数解析式
例2（2006年·山东）图2△ABC中ABAC1点DE直线BC运动设BDCE
(1)果∠BAC30°∠DAE105°试确定间函数解析式
A
E
D
C
B
图2
(2)果∠BAC度数∠DAE度数满足样关系式时(1)中间函数解析式成立试说明理
解(1)△ABC中∵ABAC∠BAC30°
∴∠ABC∠ACB75° ∴∠ABD∠ACE105°
∵∠BAC30°∠DAE105° ∴∠DAB+∠CAE75°
∠DAB+∠ADB∠ABC75°
∴∠CAE∠ADB
∴△ADB∽△EAC ∴
∴ ∴
O
●
F
P
D
E
A
C
B
3(1)
(2)∠DAB+∠CAE∠DAB+∠ADB∠ABC函数关系式成立
∴ 整理
时函数解析式成立
例3(2005年·海)图3(1)△ABC中∠ABC90°AB4BC3 点O边AC动点点O圆心作半圆边AB相切点D交线段OC点E作EP⊥ED交射线AB点P交射线CB点F
●
P
D
E
A
C
B
3(2)
O
F
(1)求证 △ADE∽△AEP
(2)设OAAP求关函数解析式写出定义域
(3)BF1时求线段AP长
解(1)连结OD
根题意OD⊥AB∴∠ODA90°∠ODA∠DEP
ODOE∠ODE∠OED∴∠ADE∠AEP ∴△ADE∽△AEP
(2)∵∠ABC90°AB4BC3 ∴AC5 ∵∠ABC∠ADO90° ∴OD∥BC ∴
∴ODAD ∴AE
∵△ADE∽△AEP ∴ ∴ ∴ ()
(3)BF1时
①EP交线段CB延长线点F图3(1)CF4
∵∠ADE∠AEP ∴∠PDE∠PEC ∵∠FBP∠DEP90° ∠FPB∠DPE
∴∠F∠PDE ∴∠F∠FEC ∴CFCE
∴54求AP2
②EP交线段CB点F图3(2) CF2
类似①CFCE
∴52
求AP6
综述 BF1时线段AP长26
三应求图形面积方法建立函数关系式
A
B
C
O
图8
H
例4（2004年·海）图△ABC中∠BAC90°ABAC⊙A半径1点OBC边运动(点BC重合)设BO△AOC面积
(1)求关函数解析式写出函数定义域
(2)点O圆心BO长半径作圆O求⊙O⊙A相切时
△AOC面积
解(1)点A作AH⊥BC垂足H
∵∠BAC90°ABAC ∴BC4AHBC2 ∴OC4
∵ ∴ ()
(2)①⊙O⊙A外切时
Rt△AOH中OAOH ∴ 解
时△AOC面积
②⊙O⊙A切时
Rt△AOH中OAOH ∴ 解
时△AOC面积
综述⊙O⊙A相切时△AOC面积
专题二：动态型压轴题
动态特点问题背景特殊图形考查问题特殊图形握般特殊关系分析程中特关注图形特性（特殊角特殊图形性质图形特殊位置）动点问题直中考热点年考查探究运动中特殊性：等腰三角形直角三角形相似三角形行四边形梯形特殊角三角函数线段面积值面问题常见题型作简单介绍解题方法关键点拨
动态线压轴题
（）点动问题．
1．（09年徐汇区）图中点边点顶点作分交边点交射线点．
（1）时求长
（2）点圆心长半径⊙点圆心长半径⊙相切时
求长
（3）边直径⊙线段相切时求长．
[题型背景区分度测量点]
题改编新教材九相似形245(4)例六典型线三角(三等角)问题试题原题基础改编出第题E点AB边运动时渗透入圆圆位置关系(相切问题)存性研究形成第二题加入直线圆位置关系(相切问题)存性研究形成第三题．区分度测量点直线圆位置关系圆圆位置关系利方程思想求解．
[区分度性题处理手法]
1．直线圆相切存性处理方法：利dr建立方程．
2．圆圆位置关系存性(相切问题)处理方法：利dR±r()建立方程．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
解：（1） 证明∽∴ 代入数∴AF2
（2） 设BE利（1）方法
相切时分外切切两种情况考虑： 外切
切．
∴⊙⊙相切时长．
（3）边直径⊙线段相切时．
类题 ⑴动点：09杨浦25题（四月五月）09静安25题
⑵两动点：09闸北25题09松江25题09卢湾25题09青浦25题．
（二）线动问题
矩形ABCD中AB＝3点O角线AC直线l点OAC垂直交AD点E(1)直线l点B△ABE直线l翻折点A矩形ABCD称中心A＇重合求BC长
A
B
C
D
E
O
l
A′
(2)直线lAB相交点FAO＝AC设AD长五边形BCDEF面积S①求S关函数关系式指出取值范围
②探索：否存样A圆心长半径圆直线l相切存请求出值存请说明理．
[题型背景区分度测量点]
A
B
C
D
E
O
l
F
题矩形背景结合轴称相似三角等相关知识编制．第题考核学生轴称矩形勾股定理三块知识容直线AB边移时探求面积函数解析式区分测量点加入直线圆位置关系(相切问题)存性研究形成区分度测量点二．
[区分度性题处理手法]
1．找面积关系函数解析式规图形套公式割补法规图形割补法．
2．直线圆相切存性处理方法：利dr建立方程．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
(1)∵A’矩形ABCD称中心∴A’B＝AA’＝AC
∵AB＝A’BAB＝3∴AC＝6
(2)①
∴
()
②圆A直线l相切(舍)∵∴存样圆A直线l相切．
[类题]09虹口25题．
（三）面动问题
图中分边两动点（重合）保持边点异侧作正方形
（1）试求面积
（2）边重合时求正方形边长
（3）设正方形重叠部分面积试求关函数关系式写出定义域
（4）等腰三角形时请直接写出长．
[题型背景区分度测量点]
题改编新教材九相似形245(4)例七典型角相似三角形问题试题形成坡度原题基础改编出求等腰三角形面积第题D点AB边运动时正方形整体动起GF边落BC边时恰教材中例题应说相似三角形应高高应边边探寻正方形三角形重叠部分面积线段AD关系函数解析式形成第三题然属面积类题设置区分测量点等腰三角形存性设置区分测量点二．
[区分度性题处理手法]
1．找三角形正方形重叠部分解决题关键图3132重叠部分分正方形矩形包括两种情况．
2．正确抓住等腰三角形腰底分类图333435方程思想解决．
3．解题关键含代数式表示出相关线段
[ 略解]
解：（1）
（2）令时正方形边长解
（3）时
时
（4）
[类题] 改编09奉贤3月考25题条件（2）点MN分边BACA时掉时加第（3）题中
A
B
F
D
E
M
N
C
已知：△ABC中ABAC∠B30ºBC6点D边BC点E线段DCDE3△DEF等边三角形边DFEF边BACA分相交点MN．
（1）求证：△BDM∽△CEN
（2）设BD△ABC△DEF重叠部分面积求关函数解析式写出定义域．
（3）点MN分边BACA时否存点DM圆心 BM半径圆直线EF相切 果存请求出x值存请说明理．
例1：已知⊙O弦AB长等⊙O半径点C⊙O变化（AB）重合求∠ACB
分析：点C变化否影响∠ACB变化呢妨点C改变变化呢？优弧AB劣弧AB变化显然两者结果样点C优弧AB变化时∠ACB弧劣弧AB劣弧AB半然想圆心角连结AOBOABOAOB三角形ABC等边三角形∠AOB600弧圆心角圆周角关系出：∠ACB∠AOB300
点C劣弧AB变化时∠ACB弧优弧AB优弧AB半∠AOB600优弧AB度数36006003000弧圆心角圆周角关系出：∠ACB1500
题答案两分3001500
反思：题通点C圆运动确定性引起结果唯性需分类讨样点C运动变化性引起分类讨解题中常出现
变式1：已知△ABC半径2圆接三角形求∠C
题例1区AB圆半径关系发生变化解题方法面致三角形AOB中
点C优弧AB变化时∠C弧劣弧AB劣弧AB半
点C劣弧AB变化时∠C弧优弧AB优弧AB半∠AOB1200优弧AB度数360012002400弧圆心角圆周角关系出：∠C1200
∠C1200
变式2 图半1半圆O两动点ABAB1
判断∠AOB否会点AB变化变化变化求出变化范围变化求出值
四边形ABCD面积值
解：（1）ABOAOB三角形AOB等边三角形∠AOB600∠AOB会点AB变化变化
（2）四边形ABCD面积三三角形组成中三角形AOB面积三角
形AOD三角形BOC面积梯形
中位线定理三角形AOD三角形BOC面积四边形
ABCD面积需EH显然EH≤OEAB∥CD时EHOE
四边形ABCD面积值+
题学继续思考四边形ABCD周长变化范围
变式3 图块半圆形木板现截成三角形板块三角形两顶点分
AB顶点C半圆问样截取截出三角形面积？求说明理（广州市2000年考题）
分析：三角形ABC面积三角形ABC底边AB圆直径常量需AB边高点C作CD⊥AB点D连结CO
CD≤COOD重合CDCOCOAB垂直时C半圆弧
中点时三角形ABC面积
题先猜想点C半圆弧中点时三角形ABC面积需选位置C1（C重合）证明三角形ABC面积三角形ABC1面积图
显然三角形 ABC1面积AB×C1DC1D< C1OCO三角形 ABC1面积AB×C1D
提示：利周长面积间关系三角形ABC周长AB常数需AC+BC（AC+BC）2AC2+CB2+2AC×BCAB2+4×ΔABC面积ΔABC面积时AC+BCΔABC周长
道题三变式研究难发现解决动态问题常见方法
特殊探路般推证
例2：（2004年广州市中考题第11题）图⊙O1⊙O2切A⊙O1半径3⊙O2半径2点P⊙O1点（点A重合）直线PA交⊙O2点CPB切⊙O2点B值
（A） （B） （C） （D）
分析：题道选择题出四答案正确取特殊位置进行研究点P满足PB⊥AB时通计算出PB
BC×APBP×AB
BC
三角形BPC中PC
选（B）
然题根三角形相似计算出结
作道选择题已完成果道解答题出结特殊情况进步证明般情况成立
例3：图等腰直角三角形ABC中斜边BC4OABCO点E点F分边ABAC滑动保持AECF点FAC重合点EBA重合
判断OEF形状加证明
判断四边形AEOF面积否点EF变化变化变化求变化范围变化求值
AEF面积否着点EF变化变化变化求变化范围变化求值
分析：题结难发现先特殊情况入手特殊情况EF分ABAC中点显然ΔEOF等腰直角三角形发现点EA限接时点F点C限接时ΔEOF限接ΔAOCΔAOC等腰直角三角形种特殊情况出ΔEOF等腰直角三角形般情况成立？OEOF相等？∠EOF直角？否证明果成立便推出三角形OFC三角形OEA全等般情况两三角形全等？
难题目条件：OAOC∠OCF∠OAEAECFΔOEA≌ΔOFCOEOF∠FOC∠EOA∠EOF∠EOA+∠AOF∠FOC+∠FOA900∠EOF直角ΔEOF等腰直角三角形
二 动手实践操作确认
例4（2003年广州市中考试题）⊙O中C弧AB中点D弧AC点（AC重合）
（A）AC+CBAD+DB (B) AC+CB
分析题通动手操作度量ACCBADDB长度尝试换位置量量出结（C）
例5：图两心圆圆点C分作圆直径CA非直径弦CD延长CACD圆分交点BE列结中正确（ * ）
（A） （B）
（C）（D）确定
分析：题通度量方法进行选（B）
题证明出结连结DOEO三角形OED中两边差第三边
OE—OD
例6：图正方形ABCD边长4点M边DCDM1N角线AC意点DN+MN值
分析：否DNNM进行转化建立三角形两边第三边等问题然想轴称问题ABCD正方形连结BN显然NDNB问题转化BN+NM值问题般情况：BN+NM≥BMBNM三点线时BN+NMBMDN+MN值BM
题通建立面三点中构成三角形中两边第三边线时两边等第三边特殊情况求值通勾股定理计算出结
例7：图等腰直角三角形ABC中斜边BC4OABCO点E点F分边ABAC滑动保持AECF点FAC重合点EBA重合
判断四边形AEOF面积否点EF变化变化变化求变化范围变化求值
AEF面积否着点EF变化变化变化求变化范围变化求值
（例3第2第3问）
分析：(2)题方法建立四边形AEOFAE长函数关系式设AExAF
三角形AOB面积三角形AOE面积三角形AOB面积三角形AOE面积理三角形AOF面积四边形AEOF面积AEOF面积会点EF变化变化定值2
然题样思考三角形AOE三角形COF全等四边形AEOF面积三角形AOC面积相等AOC面积2AEOF面积会点EF变化变化定值2
题通建立函数关系关图形间关系然通简单计算出结方法应较广泛
第(3)问通建立函数关系求 AEF面积变化范围二次函数知识AEF面积范围
AEF面积
题根三角形AEF三角形OEF面积关系确定AEF面积范围
难证明AEF面积≤OEF面积公边EF取EF中点H显然OEF等腰直角三角形OH⊥EF作AG⊥EF显然AG≤AHAG（）AEF面积≤OEF面积2AEF面积
题包容涵十分丰富提出问题研究：
较线段EFAO长度等（通AEOF四点EF直径圆出结）
例8：图矩形ABCD中AB12cmBC6cm点PAB边点A开始点B2厘米秒速度移动点QDA边点D开始点A1厘米秒速度移动果ＰＱ时出发t秒表示移动时间（0≤ t ≤6）：
（1）t值时三角形QAP等腰三角形？
（2）求四边形QAPC面积提出计算结果关结
（3）t值时点QAP顶点三角形△ABC相似？
分析：（1）三角形QAP等腰三角形时∠A直角AQAP建立等量关系时三角形QAP等腰三角形
（2）四边形QAPC面积ABCD面积—三角形QDC面积—三角形PBC面积
36PQ运动时四边形QAPC面积变
（3）显然两种情况：△PAQ∽△ABC△QAP∽△ABC
相似关系解
建立关系求解包含容函数关系方程组等式等通解方程函数值值变量取值范围等方面解决问题通关系描述图形特征全等相似圆等方面知识求解
作训练学综合述方法求解：
练1：2003年广州市中考压轴题（全卷分低道）
已知ABC直角三角形AC5BC12∠ACB直角PAB边动点（点AB重合）QBC边动点（点BC重合）
（1） 图PQ∥ACQBC中点求线段CP长
PQAC行时CPQ直角三角形？求出线段CQ长取值范围请说明理
第1问易出PAB中点CP
第2问：果CPQ直角三角形PQAC行∠Q直角
点PA重合∠PCQ直角∠CPQ直角CQ直径圆AB交点设CQ2xCQ中点DAB距离DMCD
时CPQ直角三角形
然方法学继续研究
练2：（广东省2003年中考试题题）Rt△ABC中AB＝AC∠BAC＝90°OBC中点
（1）写出点O△ABC三顶点 ABC距离关系
（2）果点MN分线段ABAC移动移动中保持AN＝BM请判断△OMN形状证明结
该题例3类似学仿
类题性：
1．代数高度综合（数形结合）着力数学质核心容考查四数学思想：数学结合分类讨方程函数．
2．形载体研究数量关系通设表列获函数关系式研究特殊情况函数值．
专题三：双动点问题
点动线动形动构成问题称动态问题 图形载体运动变化线集知识点体集种解题思想题 类题综合性强力求高全面考查学生实践操作力空间想象力分析问题解决问题力 中灵活变著称双动点问题更成年中考试题热点现采撷例加分类浅析供读者欣赏
1 双动点载体探求函数图象问题
例1 (2007年杭州市)直角梯形ABCD中∠C90°高CD6cm(图1) 动点PQ时点B出发点PBAADDC运动点C停止点QBC运动点C停止两点运动时速度1cms 点P达点A时点Q正达点C 设PQ时点B出发时间t(s)时△BPQ面积y(cm)2(图2) 分ty横坐标建立直角坐标系已知点PAD边AD运动时yt函数图象图3中线段MN
(1)分求出梯形中BAAD长度
(2)写出图3中MN两点坐标
(3)分写出点PBA边DC边运动时yt函数关系式(注明变量取值范围)图3中补全整运动中y关x函数关系致图象
评析 题点运动程中形成函数解析式相应函数图象机结合起二者相辅相成清新淡雅感 题彰显数形结合分类讨函数建模参数思想解题程中灵活运 解决题关键函数图象中确定线段AB梯形高t函数关系式建立起yt函数关系式进根函数关系式补充函数图象
2 双动点载体探求结开放性问题
例2 (2007年泰州市)图5Rt△ABC中∠B90°∠CAB30°顶点A坐标(100)顶点B坐标(553)AB10点P点A出发A→B→C方匀速运动时点Q点D(02)出发y轴正方相速度运动点P达点C时两点时停止运动设运动时间t秒
(1)求∠BAO度数
(2)点PAB运动时△OPQ面积S(方单位)时间t(秒)间函数图象抛物线部分(图6)求点P运动速度
(3)求(2)中面积S时间t间函数关系式面积S取值时点P坐标
(4)果点PQ保持(2)中速度变点PAB边运动时∠OPQ着时间t增增着BC边运动时∠OPQ着时间t增减点P两边运动时∠OPQ90°点P请说明理
解 (1)∠BAO60°
(2)点P运动速度2单位秒
评析 题双点运动构建集函数开放值问题体综合题 试题难度梯度区分度道具选拔功题 解决题关键图象中获取P速度2然建立St函数关系式利函数性质解问题(3)题难点题(4)考生题目信息中确定建立B直角顶点三角形B界点进行分类讨进确定点数问题
3 双动点载体探求存性问题
例3 (2007年扬州市)图8矩形ABCD中AD3厘米ABa厘米(a>3)动点MN时B点出发分B→AB→C运动速度1厘米秒M作直线垂直AB分交ANCDPQ点N达终点C时点M停止运动设运动时间t秒
(1)a4厘米t1秒PM厘米
(2)a5厘米求时间t△PNB∽△PAD求出相似
(3)运动程中存某时刻梯形PMBN梯形PQDA面积相等求a取值范围
(4)否存样矩形：运动程中存某时刻梯形PMBN梯形PQDA梯形PQCN面积相等存求a值存请说明理
评析 题双动点载体矩形背景创设存性问题试题浅入深层层递进代数知识完美综合题侧重相似梯形面积等知识点考查题难点题(3)解决题关键运相似三角形性质t代数式表示PM进利梯形面积相等列等式求出ta函数关系式利t范围确定a取值范围 第(4)题题(3)结拓展应解决问题程中全局观念问题整体握
4 双动点载体探求函数值问题
例4 (2007年吉林省)图9边长82cm正方形ABCD中EF角线AC两动点分点AC时出发角线1cms相速度运动E作EH垂直AC交Rt△ACD直角边HF作FG垂直AC交Rt△ACD直角边G连结HGEB设HEEFFGGH围成图形面积S1AEEBBA围成图形面积S2(里规定：线段面积0)E达CF达A停止E运动时间x(s)解答列问题：
(1)0
②求y值
解 (1)EFGH顶点四边形矩形正方形ABCD边长82AC16B作BO⊥ACOOB89AExS24xHEAExEF162xS1x(162x) S1S2时 4xx(162x)解x10(舍)x26x6时 S1S2
(2)①0≤x<8时yx(162x)+4x2x2+20x
8≤x≤16时AExCEHE16xEF162(16x)2x16
S1(16x)(2x16) y(16x)(2x16)+4x2x2+52x256
②0≤x<8时y2x2+20x2(x5)2+50x5时y值50
8≤x≤16时y2x2+52x2562(x13)2+82
x13时y值82
综y值82
评析 题双动点载体正方形背景创设函数值问题求学生认真读题领会题意画出情况图形根图形建立时间变量相关变量关系式进构建面积函数表达式 题知识点侧重二次函数值问题考查求学生扎实基础知识灵活解题方法良思维品质解题思想着重数形结合思想分类讨思想数学建模等思想灵活运
专题四：函数中动点产生相似三角形问题
例题 图1已知抛物线顶点A（21）原点Ox轴交点B
⑴求抛物线解析式（顶点式求抛物线解析式）
⑵点C抛物线称轴点D抛物线OCDB四点顶点四边形行四边形求D点坐标
⑶连接OAAB图2x轴方抛物线否存点P△OBP△OAB相似？存求出P点坐标存说明理
例1题图
图1
图2
分析1出四边形两顶点时应两顶点连线四边形边角线考虑问题OCDB四点顶点四边形行四边形分类讨OB边角线两种情况
2 函数中动点产生相似三角形问题般三解题途径
① 求相似三角形第三顶点时先分析已知三角形边角特点进出已知三角形否特殊三角形根未知三角形中已知边已知三角形应边分类讨
②利已知三角形中应角未知三角形中利勾股定理三角函数称旋转等知识推导边
③两三角形边均未出应先设求点坐标进函数解析式表示边长度利相似列方程求解
练1已知抛物线原点．
（1）求抛物线解析式．（般式抛物线解析式）
（2）点作行轴直线交轴点抛物线称轴右侧位直线方抛物线取点点作直线行轴交轴点交直线点直线直线两坐标轴围成矩形．否存点相似？存求出点坐标存说明理．
（3）果符合（2）中点轴方连结矩形四三角形间存样关系？什？
练2图四边形OABC张放面直角坐标系中矩形纸片点Ax轴点Cy轴边BC折叠点B落边OA点D处已知折叠
（1）判断否相似？请说明理
（2）求直线CEx轴交点P坐标
（3）否存点D直线l直线l直线CEx轴围成三角形直线l直线CEy轴围成三角形相似？果存请直接写出解析式画出相应直线果存请说明理
O
x
y
练2图
C
B
E
D
练3面直角坐标系中已知二次函数图象轴交两点（点点左边）轴交点顶点横坐标1点．
（1）求二次函数表达式（般式抛物线解析式）
（2）直线线段交点（点重合）否存样直线顶点三角形相似？存求出该直线函数表达式点坐标存请说明理
C
B
A
练4图
P
y
y
C
x
B
A
练3图
（3）点位该二次函数称轴右边图象顶点重合意点试较锐角（必证明）写出时点横坐标取值范围．
O
练4 (2008广东湛江市) 图示已知抛物线轴交AB两点轴交点C．
（1）求ABC三点坐标．
（2）点A作AP∥CB交抛物线点P求四边形ACBP面积．
（3）轴方抛物线否存点MM作MG轴点GAMG三点顶点三角形PCA相似．存请求出M点坐标否请说明理．
练5已知：图面直角坐标系中直角三角形点坐标分．
A
C
O
B
x
y
（1）求点直线函数表达式点
（2）轴找点连接相似（包括全等）求点坐标
（3）（2）条件分动点连接设问否存样相似存请求出值存请说明理．
参考答案
例题解⑴题意设抛物线解析式
∵抛物线原点
∴
∴
图1
抛物线解析式
⑵图1OB边四边形OCDB行四边形时CDOB
∴B(40)OB＝4
∴D点横坐标6
x＝6代入y＝－3
∴D(6－3)
图2
根抛物线称性知称轴左侧抛物线存点D四边形ODCB行四边形时D点坐标(－2－3)
OB角线四边形OCBD行四边形时D点A点时D点坐标(21)
⑶图2抛物线称性知AO＝AB∠AOB＝∠ABO
△BOP△AOB相似必须∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设OP交抛物线称轴A′点显然A′(2－1)
∴直线OP解析式
∴P(6－3)
P作PE⊥x轴Rt△BEP中BE＝2PE＝3
∴PB＝≠4
∴PB≠OB∴∠BOP≠∠BPO
∴△PBO△BAO相似
理说明称轴左边抛物线存符合条件P点
该抛物线存点P△BOP△AOB相似
练1解：（1）已知：
解．
抛物线解析式：．
（2）存．
设点坐标
解．
时点
O
x
y
图1
C
B
E
D
3
1
2
A
解时点
时．
存两点相似．
点坐标．
（3）中．．
点坐标时．
．
直角三角形．
中．．
．
图2
O
x
y
C
B
E
D
P
M
G
l
N
A
F
．
练2
解：（1）相似
理：
折叠知
（2）设AE3t
AD4t
勾股定理DE5t
（1）
中
解t1
OC8AE3点C坐标（08）
点E坐标（103）
设直线CE解析式ykx+b
解
点P坐标（160）
（3）满足条件直线l2条：y－2x+12
y2x－12
图2：准确画出两条直线
练3
解：（1）二次函数图象顶点横坐标1点
解
二次函数表达式 ．
（2）假设存直线线段交点（点重合）顶点三角形相似．
y
x
B
E
A
O
C
D
中令解
．
令．．
设点直线交点点作轴点．
点坐标点坐标点坐标．
．
已需 ①
②
成立．
①．
．
中勾股定理．
解 （负值舍）．
．
点坐标．
点坐标代入中求．
满足条件直线函数表达式．
［求出直线函数表达式直线行直线函数表达式．时易知求出直线函数表达式．联立求点坐标．］
②．
．
中勾股定理．
解 （负值舍）．
．
点坐标．
点坐标代入中求．
满足条件直线函数表达式．
存直线线段交点（点重合）顶点三角形相似点坐标分．
（3）设点直线该二次函数图象交点．
点坐标代入中求．
直线函数表达式．
设点坐标代入．
x
B
E
A
O
C
P
·
解（合题意舍）．
．
点坐标．
时锐角．
二次函数称轴
点关称轴称点坐标．
时锐角
图1
C
P
B
y
A
时锐角
时锐角．
练四
解：（1）令 解
令
∴ A B C
（2）∵OAOBOC ∴BACACOBCO
∵AP∥CB ∴PAB
点P作PE轴EAPE等腰直角三角形
令OEPE ∴P
∵点P抛物线 ∴
解（合题意舍）
∴PE
∴四边形ACBP面积AB•OC+AB•PE
(3)． 假设存
∵PABBAC ∴PAAC
G
M
图2
C
B
y
P
A
∵MG轴点G ∴MGAPAC
Rt△AOC中OAOC ∴AC
Rt△PAE中AEPE ∴AP
设M点横坐标M
①点M轴左侧时
(ⅰ) AMG PCA时
G
M
图3
C
B
y
P
A
∵AGMG
解（舍） （舍）
(ⅱ) MAG PCA时
解：（舍）
∴M
② 点M轴右侧时
(ⅰ) AMG PCA时
∵AGMG
∴ 解（舍）
∴M
(ⅱ) MAGPCA时
解：（舍）
∴M
∴存点MAMG三点顶点三角形PCA相似
M点坐标
练5
解：（1）点
点坐标
设点直线函数表达式
图1
直线函数表达式
（2）图1点作交轴点
中
点求
（3）样存
图2
中勾股定理图1时
解
图2时
解
例1(2008福建福州)图已知△ABC边长6cm等边三角形动点PQ时AB两点出发分ABBC匀速运动中点P运动速度1cms点Q运动速度2cms点Q达点C时PQ两点停止运动设运动时间t（s）解答列问题：
（1）t＝2时判断△BPQ形状说明理
（2）设△BPQ面积S（cm2）求St函数关系式
（3）作QRBA交AC点R连结PRt值时△APR∽△PRQ？
分析t＝2求出BPBQ长度△BPQ形状
作QE⊥BP点EPBQEt表示×BP×QE
St函数关系式先证四边形EPRQ行四边形PRQE
△APR∽△PRQ应边成例列方程t值求
解(1)△BPQ等边三角形
t2时AP2×12BQ2×24BPABAP624
BQBP∠B600△BPQ等边三角形
(2)Q作QE⊥AB垂足EQB2tQE2t·sin600t
APtPB6t×BP×QE(6t)×t－t2+3t
(3)QR∥BA∠QRC∠A600∠RQC∠B600∠C600
△QRC等边三角形时BQ2tQRRCQC62t
BEBQ·cos600×2ttAPtEPABAPBE6tt62t
EPQREP∥QR四边形EPRQ行四边形PREQt
△APR∽△PRQ解t
t时 △APR∽△PRQ
点评 题双动点问题动态问题年中考数学热点题型类试题信息量学获取信息处理信息力求较高解题时需运动变化眼光观察研究问题挖掘运动变化全程特关注运动变化中变量变关系特殊关系动中取静静中求动
例2(2008浙江温州)图中分边中点点点出发方运动点作点作交点点重合时点停止运动．设．（1）求点距离长
（2）求关函数关系式（求写出变量取值范围）
（3）否存点等腰三角形？存请求出
满足求值存请说明理．
分析△BHD∽△BACDH△RQC∽△ABC
关函数关系式腰相等列方程值注意需分类讨
解：（1）．
点中点．
．
∴
（2）．
关函数关系式：．
（3）存腰相等分三种情况：
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
①时点作．
．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
．
②时
．
③时中垂线点
点中点
．
．
综述6时等腰三角形．
点评建立函数关系式实质函数y含变量x代数式表示求等腰三角形值假设等腰三角形找等量关系列出方程求解题设中没指明等腰三角形腰须分类讨
五圆载体动点问题
动点问题初中数学难点中考常考察类动点问题题中未说圆圆关巧妙构造圆圆载体利圆关性质问题便会迎刃解类问题方法巧妙耐寻味
例1 中AC＝5BC＝12∠ACB＝90°PAB边动点（点AB重合）QBC边动点（点BC重合）PQAC行时△CPQ直角三角形？请求出线段CQ长取值范围请说明理（03年广州市中考）
分析：PQ运动∠PCQ∠ACB90°PQAC行∠PQC等90°∠CPQ直角△CPQ直角三角形判断△CPQ否直角三角形需构造CQ直径圆根直径圆周角直角AB边动点P圆∠CPQ直角否∠CPQ直角
CQ直径做半圆D
①半圆DAB相切时设切点M连结DM
DM⊥ABAC＝AM＝5
设
中
解：
点P运动切点M位置时△CPQ直角三角形
②时半圆D直线AB两交点点P运动两交点位置时△CPQ直角三角形
③时半圆D直线AB相离点P半圆D外0＜∠CPQ＜90°时△CPQ直角三角形
时△CPQ直角三角形
例2 图2直角梯形ABCD中AD∥BC∠B＝90°AD＋BC＜DC腰DC动点PAP⊥BP样点少？
分析：条件AP⊥BP想AB直径作圆CD圆相交根直径圆周角90°两交点点PCD圆相切切点点PCD圆相离DC存动点PAP⊥BP
解：图3AB直径做⊙O设⊙OCD切点E
∠B＝∠A＝90°
ADBC⊙O切线
AD＝DEBC＝CE
AD＋BC＝CD
条件中AD＋BC＜DCCD左移图4CD长度变ADBC长度缩短时AD＋BC＜DC点OCD距离OE⊙O半径OECD⊙O相交直径AB圆周角90°交点求腰DCAP⊥BP动点P2
例3 图5△ABC外部动点P（直线BC方）分连结PBPC试确定∠BPC∠BAC关系（02年广州市中考）
分析：∠BPC∠BAC间没联系确定∠BPC∠BAC关系必须找恰载体作间桥梁道桥梁圆通构造△ABC外接圆问题会迎刃解
（1）点P△ABC外接圆外时
图5连结BD根外角相邻角∠BPC＜∠BDC
∠BDC＝∠BAC
∠BPC＜∠BAC
（2）点P△ABC外接圆时图6根弧圆周角相等
∠BPC＝∠BAC
（3）点P△ABC外接圆时图7延长BP交△ABC外接圆点D连结CD∠BPC＞∠BDC
∠BDC＝∠BAC∠BPC＞∠BAC
综知点P△ABC外接圆外时
∠BPC＜∠BAC
点P△ABC外接圆时
∠BPC＝∠BAC
点P△ABC外接圆时
∠BPC＞∠BAC
专题七2010中考数学热点专题突破训练――动点问题
动点试题年中考命题热点次函数二次函数等知识综合构成中考试题压轴题动点试题致分点动线动图形动三种类型动点试题静代动解题思想解题面中考动点试题进行分析
例1 （2006年福建晋州）图行四边形ABCD中AD4cm∠A60°BD⊥AD动点PA出发秒1cm速度A→B→C路线匀速运动点P作直线PMPM⊥AD
1．点P运动2秒时设直线PMAD相交点E求△APE面积
2．点P运动2秒时动点QA出发A→B路线运动AB秒1cm速度匀速运动（PQ中某点达终点两点停止运动）Q作直线QNQN∥PM设点Q运动时间t秒（0≤t≤8）直线PMQN截行四边形ABCD图形面积S（cm2）
（1）求S关t函数关系式
（2）求S值
1分析：题点动题1)搞清动点走路线速度样求出相应线段长2）分析运动中点种特殊位置
题意知点P动点走路线：A→B→C速度1cmst2s求出AP值进求出△APE面积
略解：AP2 ∠A60°AE1EP
2分析：两点时运动点P前点Q速度相等两点距出发点A距离相差总2cmPAB边运动BC边运动PMQN截行四边形ABCD图形分两种情况：
（1）①PQAB运动时PMQN截行四边形ABCD图形永远直角梯形时0≤t≤6
②PBC运动QAB边运动时画出相应图形成图形六边形DFQBPG规图形面积割补法时6＜t≤8
⑴略解：①PQ时AB边运动时0≤t≤6
AQtAPt+2 AFtQFtAG(t+2) 三角函数PG(t+2)
FGAGAF(t+2)t1S ·(QF+PG)·FG[t+(t+2)]·1t+
②6＜t≤8时
SS行四边形ABCDS△AQFS△GCP
易求S行四边形ABCD16S△AQFAF·QFt2
S△CGPPC·PGPC4BP4(t+28)10t例式∴PG(10t)∴S△CGPPC·PG(10t)·(10t)(10t)2
∴S16t2(10t)2(6＜t≤8
⑵分析求面积值时应函数增减性求题中分种情况种情况分求出值然综合起出结题分两种情况分求出0≤t≤66＜t≤8时值 0≤t≤6时次函数应次函数性质次项系数正数面积St增增 6＜t≤8时二次函数应配方法公式法求值
略解：t6时S＝
S＝(6＜t≤8t8时S6
综述 t8时S6
例2．（2006年锦州市）图面直角坐标系中四边形OABC菱形点C坐标(40)∠AOC60°垂直x轴直线ly轴出发x轴正方秒1单位长度速度运动设直线l菱形OABC两边分交点MN(点M点N方)
1求AB两点坐标
2设△OMN面积S直线l运动时间t秒(0≤t≤6)试求St函数表达式
3题(2)条件t值时S面积？面积少？
1分析：菱形性质三角函数易求AB两点坐标
解：∵四边形OABC菱形点C坐标(40)
∴OAABBCCO4图①点A作AD⊥OCD∵∠AOC60°∴OD2AD
∴A(2 )B（6 ）
2分析：直线l运动程中时间t变化△MON形状断变化首先情况画出相应图形种图形相应写出变量取值范围解决动点题关键
直线ly轴出发x轴正方运动菱形OABC两边相交三种情况：
①0≤t≤2时直线lOAOC两边相交(图①)
②2＜t≤4时直线lABOC两边相交(图②)
③4＜t≤6时直线lABBC两边相交(图③)
略解：①∵MN⊥OC∴ONt ∴MNONtan60°∴SON·MNt2
②SON·MNt·2t
③方法：设直线lx轴交点H∵MN＝2(t4)6t
∴SMN·OH(6t)tt2+3t
方法二：设直线lx轴交点H∵SS△OMHS△ONH∴St·2t·(t4)
t2+3t
方法三：设直线lx轴交点H∵S
4×28·2·(t2) t2
·4·(t4)2t8(6t)(6t)186t+t2
∴S8(t2)(2t8)(186t+t2)t2+3t
3求面积时候求出种情况面积值然综合种情况求出值
略解：2知0≤t≤2时×222
2＜t≤4时4
4＜t≤6时配方S(t3)2+
∴t3时函数S＝t2+3t值
t34＜t≤6∴4＜t≤6函数S＝t2+3t值
t＞3时函数S＝t2+3tt增减∴4＜t≤6时S＜4 综述t4秒时4
练1 （2006年南安市）图示直角坐标系中矩形ABCD边ADx轴点A原点AB＝3AD＝5．矩形秒2单位长度x轴正方作匀速运动．时点PA点出发秒1单位长度A－B－C－D路线作匀速运动．P点运动D点时停止运动矩形ABCD停止运动．
⑴求P点A点运动D点需时间
⑵设P点运动时间t（秒）
t＝5时求出点P坐标
⊿OAP面积s试求出st间函数关系式（写出相应变量t取值范围）．
解（1）P点A点运动D点需时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）
（2）t＝5时P点A点运动BC时OA10AB+BP5∴BP2
点P作PE⊥AD点EPEAB3AEBP2
∴OEOA+AE10+212∴点P坐标（123）．
分三种情况：
．0＜t≤3时点PAB运动时OA2tAPt∴s×2t×t t2
．3＜t≤8时点PBC运动时OA2t∴s×2t×33 t
．8＜t＜11时点PCD运动时OA2tAB+BC+CP t
∴DP(AB+BC+CD)( AB+BC+CP)11 t∴s×2t×(11 t) t2+11 t
综述st间函数关系式：0＜t≤3时s t23＜t≤8时s3 t8＜t＜11时s t2+11 t
练2 图边长4正方形OABC顶点O坐标原点点Ax轴正半轴点Cy轴正半轴．动点D线段BC移动（BC重合）连接OD点D作DE⊥OD交边AB点E连接OE．
（1）CD1时求点E坐标
（2）果设CDt梯形COEB面积S否存S值？存请求出值时t值存请说明理．
解：(1) 正方形OABC中ED⊥OD∠ODE 90°∠COD90°∠CDO ∠EDB 90°∠CDO∠COD ∠EDB∠OCD∠DBE90°△CDO∽△BED
BE点E坐标（4）．
(2) 存S值．
△CDO∽△BEDBEt－t2
×4×(4＋t－t2)．
t2时S值10．
1（09包头）图已知中厘米厘米点中点．
（1）果点P线段BC3厘米秒速度B点C点运动时点Q线段CAC点A点运动．
①点Q运动速度点P运动速度相等1秒否全等请说明理
②点Q运动速度点P运动速度相等点Q运动速度少时够全等？
A
Q
C
D
B
P
（2）点Q②中运动速度点C出发点P原运动速度点B时出发逆时针三边运动求长时间点P点Q第次条边相遇？
解：（1）①∵秒
∴厘米
∵厘米点中点
∴厘米．
∵厘米
∴厘米
∴．
∵
∴
∴． （4分）
②∵ ∴
∵
∴点点运动时间秒
∴厘米秒． （7分）
（2）设秒点点第次相遇
题意解秒．
∴点运动厘米．
∵
∴点点边相遇
∴秒点点第次边相遇． （12分）
2（09齐齐哈尔）直线坐标轴分交两点动点时点出发时达点运动停止．点线段 运动速度秒1单位长度点路线→→运动．
（1）直接写出两点坐标
x
A
O
Q
P
B
y
（2）设点运动时间秒面积求出间函数关系式
（3）时求出点坐标直接写出点顶点行四边形第四顶点坐标．
解（1）A（80）B（06） 1分
（2）
点时间（秒）
点速度（单位秒） 1分
线段运动（0）时
1分
线段运动（）时
图作点 1分
1分
（变量取值范围写1分否分．）
（3） 1分
3分
3（09深圳）图面直角坐标系中直线l：y－2x－8分x轴y轴相交AB两点点P（0k）y轴负半轴动点P圆心3半径作⊙P
（1）连结PAPAPB试判断⊙Px轴位置关系说明理
（2）k值时⊙P直线l两交点圆心P顶点三角形正三角形？
解：（1）⊙Px轴相切
∵直线y－2x－8x轴交A（40）
y轴交B（0－8）
∴OA4OB8
题意OP－k
∴PBPA8+k
Rt△AOP中k2+42(8+k)2
∴k－3∴OP等⊙P半径
∴⊙Px轴相切
（2）设⊙P直线l交CD两点连结PCPD圆心P线段OB时作PE⊥CDE
∵△PCD正三角形∴DECDPD3
∴PE
∵∠AOB∠PEB90° ∠ABO∠PBE
∴△AOB∽△PEB
∴
∴
∴
∴
∴
圆心P线段OB延长线时理P(0－－8)
∴k－－8
∴k－8k－－8时⊙P直线l两交点圆心P顶点三角形正三角形
4（09哈尔滨） 图1面直角坐标系中点O坐标原点四边形ABCO菱形点A坐标（－34）
点Cx轴正半轴直线AC交y轴点MAB边交y轴点H．
（1）求直线AC解析式 （2）连接BM图2动点P点A出发折线ABC方2单位／秒速度终点C匀速运动设△PMB面积S（S≠0）点P运动时间t秒求St间函数关系式（求写出变量t取值范围）
（3）（2）条件 t值时∠MPB∠BCO互余角求时直线OP直线AC夹锐角正切值． 解：
5（09河北）Rt△ABC中∠C90°AC 3AB 5．点P点C出发CA秒1单位长速度点A匀速运动达点A立刻原速度AC返回点Q点A出发AB秒1单位长速度点B匀速运动．伴着PQ运动DE保持垂直分PQ交PQ点D交折线QBBCCP点E．点PQ时出发点Q达点B时停止运动点P停止．设点PQ运动时间t秒（t＞0）．
A
C
B
P
Q
E
D
图16
（1）t 2时AP 点QAC距离
（2）点PCA运动程中求△APQ面积S
t函数关系式（必写出t取值范围）
（3）点EBC运动程中四边形QBED否成
直角梯形？求t值．请说明理
（4）DE点C 时请直接写出t值．
解：（1）1
A
C
B
P
Q
E
D
图4
（2）作QF⊥AC点F图3 AQ CP t∴．
△AQF∽△ABC
．∴．
∴
A
C
B
P
Q
E
D
图5
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图6
G
A
C(E)
)
B
P
Q
D
图7
G
．
（3）．
①DE∥QB时图4．
∵DE⊥PQ∴PQ⊥QB四边形QBED直角梯形．
时∠AQP90°．
△APQ ∽△ABC
． 解．
②图5PQ∥BC时DE⊥BC四边形QBED直角梯形．
时∠APQ 90°．
△AQP ∽△ABC
． 解．
（4）．
①点PCA运动DE点C．
连接QC作QG⊥BC点G图6．
．
解．
②点PAC运动DE点C图7．
6（09河南））图中．点中点点直线重合位置开始绕点作逆时针旋转交边点．点作交直线点设直线旋转角．
（1）① 度时四边形等腰梯形时长
② 度时四边形直角梯形时长
O
E
C
B
D
A
l
O
C
B
A
（备图）
（2）时判断四边形否菱形说明理．
解（1）①301②6015 ……………………4分
（2）∠α900时四边形EDBC菱形
∵∠α∠ACB900∴BCED
∵CEAB ∴四边形EDBC行四边形……………6分
Rt△ABC中∠ACB900∠B600BC2
∴∠A300
∴AB4AC2
∴AO ……………………8分
Rt△AOD中∠A300∴AD2
∴BD2 ∴BDBC
∵四边形EDBC行四边形
∴四边形EDBC菱形 ……………………10分
A
D
C
B
M
N
7（09济南）图梯形中动点点出发线段秒2单位长度速度终点运动动点时点出发线段秒1单位长度速度终点运动．设运动时间秒．
（1）求长．
（2）时求值．
（3）试探究：值时等腰三角形．
解：（1）图①分作四边形矩形
∴ ……………………1分
中
2分
中勾股定理
∴……………3分
（2）图②作交点四边形行四边形
∵
（图①）
A
D
C
B
K
H
∴
∴
∴……………4分
题意知运动秒时
∵
∴
∴
（图②）
A
D
C
B
G
M
N
∴……………5分
解……………6分
（3）分三种情况讨：
①时图③
∴……………7分
A
D
C
B
M
N
（图③）
（图④）
A
D
C
B
M
N
H
E
②时图④作
解法：
等腰三角形三线合性质
中
中
∴
解 8分
解法二：
∵
∴
∴
∴……………8分
③时图⑤作点
解法：（方法②中解法）
（图⑤）
A
D
C
B
H
N
M
F
解
解法二：
∵
∴
∴ ∴
综述时等腰三角形 9分
8（09江西）图1等腰梯形中中点点作交点．
（1）求点距离
（2）点线段动点作交点作交折线点连结设
①点线段时（图2）形状否发生改变？变求出周长改变请说明理
A
D
E
B
F
C
图4（备）
A
D
E
B
F
C
图5（备）
A
D
E
B
F
C
图1
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
（第25题）
②点线段时（图3）否存点等腰三角形？存请求出满足求值存请说明理
解（1）图1点作点 1分
∵中点
∴
中∴……………2分
∴
点距离……………3分
（2）①点线段运动时形状发生改变．
图1
A
D
E
B
F
C
G
∵∴
∵∴
理……………4分
图2点作∵
∴
图2
A
D
E
B
F
C
P
N
M
G
H
∴
∴
中
∴周长 6分
②点线段运动时形状发生改变恒等边三角形．
时图3作
类似①
∴ 7分
∵等边三角形∴
时 8分
图3
A
D
E
B
F
C
P
N
M
图4
A
D
E
B
F
C
P
M
N
图5
A
D
E
B
F（P）
C
M
N
G
G
R
G
时图4时
时
时图5
∴
点重合直角三角形．
∴
时
综述4时等腰三角形． 10分
9（09兰州）图①正方形 ABCD中点AB坐标分（010）（84）
点C第象限．动点P正方形 ABCD边点A出发A→B→C→D匀速运动
时动点Q相速度x轴正半轴运动P点达D点时两点时停止运动
设运动时间t秒．
(1)P点边AB运动时点Q横坐标（长度单位）关运动时间t（秒）函数图象图②示请写出点Q开始运动时坐标点P运动速度
(2)求正方形边长顶点C坐标
(3)（1）中t值时△OPQ面积求时P点坐标
(4)果点PQ保持原速度变点PA→B→C→D匀速运动时OPPQ否相等写出符合条件t值请说明理．
解：（1）（10）……………1分
点P运动速度秒钟1单位长度．……………2分
（2） 点作BF⊥y轴点⊥轴点＝8．
∴．
Rt△AFB中……………3分
点作⊥轴点延长线交点．
∵ ∴△ABF≌△BCH．
∴．
∴．
∴求C点坐标（1412）． ……………4分
（3） 点P作PM⊥y轴点MPN⊥轴点N
△APM∽△ABF．
∴． ．
∴． ∴．
设△OPQ面积（方单位）
∴（0≤≤10） ……………5分
说明未注明变量取值范围扣分．
∵<0 ∴时 △OPQ面积． 6分
时P坐标（） ． 7分
（4） 时 OPPQ相等． 9分
10（09沂）数学课张老师出示问题：图1四边形ABCD正方形点E边BC中点．EF交正方形外角行线CF点F求证：AEEF．
思考明展示种正确解题思路：取AB中点M连接MEAMEC易证．
基础学作进步研究：
（1）颖提出：图2果点E边BC中点改点E边BC（BC外）意点条件变结AEEF然成立认颖观点正确？果正确写出证明程果正确请说明理
A
D
F
C
G
E
B
图1
（2）华提出：图3点EBC延长线（C点外）意点条件变结AEEF然成立．认华观点正确？果正确写出证明程果正确请说明理．
A
D
F
C
G
E
B
图3
A
D
F
C
G
E
B
图2
解：（1）正确． （1分）
证明：取点连接． （2分）
．．
外角分线
．
A
D
F
C
G
E
B
M
．
．
（ASA）．……………（5分）
．……………（6分）
（2）正确．……………（7分）
A
D
F
C
G
E
B
N
证明：延长线取点．
连接．……………（8分）
．
．
四边形正方形
．
．
．
（ASA）．……………（10分）
．……………（11分）
x
y
B
O
A
11（09天津）已知直角三角形纸片中．图该纸片放置面直角坐标系中折叠该纸片折痕边交点边交点．
（Ⅰ）折叠点点重合求点坐标
（Ⅱ）折叠点落边点设试写出关函数解析式确定取值范围
（Ⅲ）折叠点落边点求时点坐标．
解（Ⅰ）图①折叠点点重合
x
y
B
O
A
设点坐标
中勾股定理
x
y
B
O
A
解
点坐标……………4分
（Ⅱ）图②折叠点落边点
题设
中勾股定理
6分
点边
解析式求
时增减
取值范围 7分
（Ⅲ）图③折叠点落边点
9分
中
设
（Ⅱ）结
解
图（1）
A
B
C
D
E
F
M
N
点坐标 10分
12（09太原）问题解决
图（1）正方形纸片折叠点落边点（点重合）压折痕．时求值．
方法指导：
求值先求长妨设：2
类纳
图（1）中值等 值等 （整数）值等 ．（含式子表示）
联系拓广
图（2）
N
A
B
C
D
E
F
M
图（2）矩形纸片折叠点落边点（点重合）压折痕设值等 ．（含式子表示）
解：方法：图（11）连接．
题设四边形四边形关直线称．
∴垂直分．∴……………1分
∵四边形正方形∴
∵设
中．
N
图（11）
A
B
C
D
E
F
M
∴解…………3分
中
∴…………5分
设∴
N
图（12）
A
B
C
D
E
F
M
G
解…………6分
∴…………7分
方法二：方法…………3分
图（1－2）点做交点连接
∵∴四边形行四边形．
∴
理四边形行四边形．∴
∵
中
∴ ５分
∵…………6分
∴…………7分
类纳 （） …………10分
联系拓广 …………12分
07
08
09
动点数
两
两
问题背景
特殊菱形两边移动
特殊直角梯形三边移动
抛物线中特殊直角梯形底边移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
探究等腰三角形
考
点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线抛物线解析式
④相似三角形
⑤等式
①求直线解析式
②四边形面积表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究行四边形
③探究动三角形面积定值
④探究等腰三角形存性
特
点
①菱形含60°特殊菱形
△AOB底角30°等腰三角形
②动点速度参数字母
③探究相似三角形时应角分类讨先画图探究
④通相似三角形度转化相似出方程
⑤利at范围运等式求出at值
①观察图形构造特征适割补表示面积
②动点拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件图形探究存性
①直角梯形特殊（底角45°）
②点动带动线动
③线动中特殊性（两交点DE定点动线段PF长度定值PFOA）
④通相似三角形度转化相似出方程
⑤探究等腰三角形时先画图探究（边相等分类讨）
三年点：①特殊四边形背景②点动带线动出动三角形③探究动三角形问题（相似等腰三角形面积函数关系式）④求直线抛物线解析式⑤探究存性问题时先画出图形根图形性质探究答案
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