中考数学三角形：精选真题专项破刺提分60题
（含答案解析）
解 答 题（60题）
1．（2014•重庆）图△ABC中∠BAC90°ABACAD⊥BC垂足DAE分∠BAD交BC点E．△ABC外点FFA⊥AEFC⊥BC．
（1）求证：BECF
（2）AB取点MBM2DE连接MC交AD点N连接ME．
求证：①ME⊥BC②DEDN．
2．（2014•张家界）图四边形ABCD中ABADCBCDACBD相交O点OCOAECD意点连接BE交AC点F连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF
（2）AC2BD2求四边形ABCD周长
（3）请添加条件∠EFD∠BAD予证明．
3．（2014•湘潭）图修公路遇座山修条隧道．加快施工进度想山侧时施工．山侧开挖点CAB延伸线设想C点作直线AB垂线L点B作断线（山旁边）L相交D点测量∠ABD135°BD800米求直线L距离D点远C处开挖？（≈14141米）
4．（2014•西宁）课间明着老师等腰三角板玩心掉两墙间图．
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）三角板刻度知AC25cm请帮明求出砌墙砖块厚度a（块砖厚度相等）．
5．（2014•温州）图等边三角形ABC中点DE分边BCACDE∥AB点E作EF⊥DE交BC延伸线点F．
（1）求∠F度数
（2）CD2求DF长．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘美证法样巧妙中面积法聪灵感惊喜发现两全等直角三角形图1图2摆放时面积法证明面聪利图1证明勾股定理程：
两全等直角三角形图1示摆放中∠DAB90°求证：a2+b2c2．
证明：连结DB点D作BC边高DFDFECb﹣a．
∵S四边形ADCBS△ACD+S△ABCb2+ab．
∵S四边形ADCBS△ADB+S△DCBc2+a（b﹣a）
∴b2+abc2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2
请参述证法利图2完成面证明．
两全等直角三角形图2示摆放中∠DAB90°．
求证：a2+b2c2
证明：连结
∵S五边形ACBED
∵S五边形ACBED
∴
∴a2+b2c2．
7．（2014•）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE．请残缺阐明△ABC△DEC全等理．
8．（2014•遂宁）图根图中数完成填空求答题：
sin2A1+sin2B1 sin2A2+sin2B2 sin2A3+sin2B3 ．
（1）观察述等式猜想：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B ．
（2）图④Rt△ABC中∠C90°∠A∠B∠C边分abc利三角函数定义勾股定理证明猜想．
（3）已知：∠A+∠B90°sinA求si．
9．（2014•邵阳）图已知点AFEC断线AB∥CD∠ABE∠CDFAFCE．
（1）图中找两组全等三角形
（2）（1）中选组进行证明．
10．（2014•南京）成绩提出
学三角形全等判定方法（SASASAAASSSS）直角三角形全等判定方法（HL）继续两三角形满足两边中边角应相等情形进行研讨．
初步考虑
妨成绩符号言语表示：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E然∠B进行分类分∠B直角钝角锐角三种情况进行探求．
深入探求
种情况：∠B直角时△ABC≌△DEF．
（1）图①△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E90°根 知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：∠B钝角时△ABC≌△DEF．
（2）图②△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E钝角求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：∠B锐角时△ABC△DEF定全等．
（3）△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角请尺规图③中作出△DEF△DEF△ABC全等．（写作法保留作图痕迹）
（4）∠B满足什条件△ABC≌△DEF？请直接写出结：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角 △ABC≌△DEF．
11．（2014•梅州）图Rt△ABC中∠B90°分AC圆心AC长半径画弧两弧相交点MN连结MNACBC分交点DE连结AE：
（1）∠ADE °
（2）AE EC（填＞＜）
（3）AB3AC5时△ABE周长 ．
12．（2014•锦州）图△ABC中点DABCDCB点EBD中点点FAC中点连结EF交CD点M连接AM．
（1）求证：EFAC．
（2）∠BAC45°求线段AMDMBC间数量关系．
13．（2014•吉林）图△ABC△DAE中∠BAC∠DAEABAEACAD连接BDCE求证：△ABD≌△AEC．
14．（2014•黄石）明听说武黄城际列车开通便设计成绩：图黄石A坐客车武昌客运站BA坐城际列车武汉青山站C青山站C坐市公汽车武昌客运站B．设AB80kmBC20km∠ABC120°．请协助明处理成绩：
（1）求AC间距离（参考数46）
（2）客车均速度60kmh市公汽车均速度40kmh城际列车均速度180kmh短工夫达武昌客运站明应该选择种车？请阐明理．（计候车工夫）
15．（2014•衡阳）图△ABC中ABACBDCDDE⊥ABDF⊥AC垂足分点EF．
求证：△BED≌△CFD．
16．（2014•菏泽）（1）△ABC中AD分∠BACBD⊥AD垂足DD作DE∥AC交ABEAB5求线段DE长．
（2）已知x2﹣4x+10求﹣值．
17．（2014•菏泽）图AB⊙O直径点C⊙O连接BCAC作OD∥BC点A切线交点D连接DC延伸交AB延伸线点E．
（1）求证：DE⊙O切线
（2）求cos∠ABC值．
18．（2014•德州）成绩背景：
图1：四边形ABCD中ABAD∠BAD120°∠B∠ADC90°．EF分BCCD点．∠EAF60°．探求图中线段BEEFFD间数量关系．
王窗探求成绩方法延伸FD点G．DGBE．连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应
探求延伸：
图2四边形ABCD中ABAD∠B+∠D180°．EF分BCCD点∠EAF∠BAD述结否然成立阐明理
实践运：
图3某次军事演中舰艇甲指挥（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥南偏东70°B处两舰艇指挥距离相等接举动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离．
19．（2013•淄博）图AD∥BCBD分∠ABC．求证：ABAD．
20．（2013•云南）图点BAE点DACABAD．请添加适条件△ABC≌△ADE（添加）．
（1）添加条件 ．
（2）添加条件请阐明△ABC≌△ADE理．
21．（2013•湘西州）图Rt△ABC中∠C90°AD分∠CABDE⊥ABEAC6BC8CD3．
（1）求DE长
（2）求△ADB面积．
22．（2013•仙桃）图已知△ABC≌△ADEABED交点MBCEDAD分交点FN．请写出图中两全等三角形（△ABC≌△ADE外）选择中加证明．
23．（2013•天水）图四边形ABCD中角线ACBD交点E∠BAC90°∠CED45°∠DCE30°DEBE2．求CD长四边形ABCD面积．
24．（2013•州）图点FBEC断线BFCE∠ABC∠DEF．否面已知条件证明△ABC≌△DEF？果请出证明果请列三条件中选择合适条件添加已知条件中△ABC≌△DEF出证明．
提供三条件：①ABDE②ACDF③AC∥DF．
25．（2013•宁德）图点DAC断线AB∥CEABCD∠B∠D
求证：△ABC≌△CDE．
26．（2013•荆州）图△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°DAB连结BE．请找出全等三角形阐明理．
27．（2013•杭州）（1）先求解列两题：
①图①点BD射线AM点CE射线ANABBCCDDE已知∠EDM84°求∠A度数
②图②直角坐标系中点Ay轴正半轴AC∥x轴点BC横坐标3BC2点DAC横坐标1反例函数图象点BD求k值．
（2）解题发现两题什点？请简单写出．
28．（2013•贵阳）△ABC中BCaACbABc设c长边a2+b2c2时△ABC直角三角形a2+b2≠c2时利代数式a2+b2c2关系探求△ABC外形（角分类）．
（1）△ABC三边分689时△ABC 三角形△ABC三边分6811时△ABC 三角形．
（2）猜想a2+b2 c2时△ABC锐角三角形a2+b2 c2时△ABC钝角三角形．
（3）判断a2b4时△ABC外形求出应c取值范围．
29．（2013•佛山）课指出：公认真命题称公理公理外真命题（推定理等）正确性需求推理方法证明．
（1）叙说三角形全等判定方法中推AAS
（2）证明推AAS．
求：叙说推文字表达图形中符号表达已知求证证明证明步骤注明根．
30．（2013•防城港）图ABAE∠1∠2∠C∠D．
求证：△ABC≌△AED．
31．（2013•鄂州）明华栋电梯楼前感慨楼房真高．明说：楼少20层华然：20层？没数数知道明说：事数明白华想想说：没成绩量量吧明华楼体两侧选AB两点测量数图中矩形CDEF表示楼体AB150米CD10米∠A30°∠B45°（ACDB四点断线）问：
（1）楼高少米？
（2）层楼3米计算支持明华观点呢？请阐明理．（参考数：≈173≈141≈224）
32．（2013•郴州）图△ABC中ABBCAC8tanAkPAC边动点设PCx作PE∥AB交BCEPF∥BC交ABF．
（1）证明：△PCE等腰三角形
（2）EMFNBH分△PEC△AFP△ABC高含xk代数式表示EMFN探求EMFNBH间数量关系
（3）k4时求四边形PEBF面积Sx函数关系式．x值时S值？求出S值．
33．（2013•阳）某段河流两岸行数学兴味组老师带领涉水河测河宽度样做：
①河流条岸边B点选岸正颗树A
②河岸直走20步树C继续前行20步达D处
③D处河岸垂直方行走达A树正C树遮挡住E处中止行走
④测DE长河宽AB．
请证明做法正确性．
34．（2013•包头）图根长6米木棒（AB）斜面（OM）垂直墙（ON）面倾斜角（∠ABO）60°．木棒A端墙滑点A′时B端面右滑行点B′．
（1）求OB长
（2）AA′1米时求BB′长．
35．（2012•遵义）图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动（AC重合）QCB延伸线点点P时相反速度BCB延伸线方运动（QB重合）P作PE⊥ABE连接PQ交ABD．
（1）∠BQD30°时求AP长
（2）运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请阐明理．
36．（2012•珠海）图△ABC中ABACAD高AM△ABC外角∠CAE分线．
（1）尺规作图方法作∠ADC分线DN（保留作图痕迹写作法证明）
（2）设DNAM交点F判断△ADF外形．（写结果）
37．（2012•枣庄）已知：图四边形ABCD中∠ABC90°CD⊥ADAD2+CD22AB2．
（1）求证：ABBC
（2）BE⊥ADE时试证明：BEAE+CD．
38．（2012•益阳）图已知AE∥BCAE分∠DAC．
求证：ABAC．
39．（2012•湘潭）图△ABC边长3等边三角形△ABC直线BC右移B点C点重合△DCE连接BD交ACF．
（1）猜想ACBD位关系证明结
（2）求线段BD长．
40．（2012•梧州）图等腰梯形ABCD中AD∥BC点EAD延伸线点CECD．
求证：∠B∠E．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心概念引入概念．
定义：三角形两顶点距离相等点做三角形准外心．
举例：图1PAPB点P△ABC准外心．
运：图2CD等边三角形ABC高准外心P高CDPDAB求∠APB度数．
探求：已知△ABC直角三角形斜边BC5AB3准外心PAC边试探求PA长．
42．（2012•南京）图AB⊙O两定点P⊙O动点（PAB重合）称∠APB⊙O关点AB滑动角．
（1）已知∠APB⊙O关点AB滑动角
①AB⊙O直径∠APB °
②⊙O半径1AB求∠APB度数
（2）已知O2⊙O1外点O2圆心作圆⊙O1相交AB两点∠APB⊙O1关点AB滑动角直线PAPB分交⊙O2MN（点M点A点N点B均重合）连接AN试探求∠APB∠MAN∠A间数量关系．
43．（2012•牡丹江）图①△ABC中．ABACP底边BC点PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB垂足分EFH．易证PE+PFCH．证明程：
图①连接AP．
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH．
∵S△ABP+S△ACPS△ABC
∴AB•PE+AC•PFAB•CH．
∵ABAC
∴PE+PFCH．
（1）图②PBC延伸线点时条件变PEPFCH样数量关系？请写出猜想加证明：
（2）填空：∠A30°△ABC面积49点P直线BCP直线AC距离PFPF3时AB边高CH ．点PAB边距离PE ．
44．（2012•黄冈） 图△ABC中ABAC∠A36°AB垂直分线交AC点E垂足点D连接BE∠EBC度数 ．
45．（2012•淮安）图△ABC中∠C90°点DAC已知∠BDC45°BD10AB20．求∠A度数．
46．（2012•河池）图10×10正方形网格中△ABC顶点线段EF端点边长1正方形顶点．
（1）填空：tanA AC （结果保留根号）
（2）请图中找出点D（仅点）连接DEDFDEF顶点三角形△ABC全等加证明．
47．（2012•抚）图Rt△ABC中∠ACB90°∠ABC30°．点D直线BC动点连接ADAD边AD右侧作等边△ADE．
（1）图①点E恰线段BC时请判断线段DEBE数量关系图①证明结
（2）点E直线BC时连接BE条件变（1）中结否成立？成立请图②予证明成立请直接写出新结
（3）AC3点D直线BC挪动程中否存ACDE顶点四边形梯形？果存直接写出线段CD长度果存请阐明理．
48．（2012•鄂州）明位善考虑先生数学课副直角三角板图位摆放ABD断线EF∥AD∠A∠EDF90°∠C45°∠E60°量DE8试求BD长．
49．（2012•庆）已知等边△ABC边长3单位点PA出发秒1单位速度三角形边A→B→C→A方运动次回点A处中止运动设APSt表示运动工夫．
（1）点PBC运动程中t表示S
（2）t取值时S等（求出切t值）
（3）根（2）中t取值直接写出时段AP？
50．（2012•常州）图四边形ABCD中AD∥BC角线AC中点O点O作AC垂线分ADBC相交点EF连接AF．求证：AEAF．
51．（2011•株洲）图△ABC中ABAC∠A36°AC垂直分线交ABED垂足连接EC．
（1）求∠ECD度数
（2）CE5求BC长．
52．（2011•枣庄）图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点请求完成列题：
（1）画线段AD∥BCADBC连接CD
（2）线段AC长 CD长 AD长
（3）△ACD 三角形四边形ABCD面积
（4）EBC中点tan∠CAE值 ．
53．（2011•州）图等腰直角三角形ABC中∠ABC90°DAC边中点D点作DE丄DF交ABE交BCFAE4FC3求EF长．
54．（2011•沈阳）图△ABC中ABACDBC边点∠B30°∠DAB45°．
（1）求∠DAC度数
（2）求证：DCAB．
55．（2011•青海）认真阅读面关三角形外角分线夹角探求片段完成提出成绩．
探求1：图1△ABC中O∠ABC∠ACB分线BOCO交点分析发现∠BOC90°+理：
∵BOCO分∠ABC∠ACB角分线
∴
∴
∵∠ABC+∠ACB180°﹣∠A
∴
∴∠BOC180°﹣（∠1+∠2）180°﹣（90°﹣∠A）
探求2：图2中O∠ABC外角∠ACD分线BOCO交点试分析∠BOC∠A样关系？请阐明理．
探求3：图3中O外角∠DBC外角∠ECB分线BOCO交点∠BOC∠A样关系？（写结需证明）
结： ．
56．（2011•宁波）阅读面情景话然解答成绩：
（1）根奇异三角形定义请判断华提出命题：等边三角形定奇异三角形真命题假命题？
（2）Rt△ABC中∠C90°ABcACbBCab＞aRt△ABC奇异三角形求a：b：c
（3）图AB⊙O直径C⊙O点（点AB重合）D半圆中点CD直径AB两侧⊙O存点EAEADCBCE．
①求证：△ACE奇异三角形
②△ACE直角三角形时求∠AOC度数．
57．（2011•牡丹江）△ABC中AB2AC4BC2AB边△ABC外作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
58．（2011•梅州）图1已知线段AB长2a点PAB动点（PAB重合）分APPB边线段AB侧作正△APC正△PBD．
（1）△APC△PBD面积取值时AP （直接写结果）
（2）连接ADBC相交点Q设∠AQCαα否会点P挪动面变化？请阐明理
（3）图2点P固定△PBD绕点P时针方旋转（旋转角180°）时α否发生变化？（需直接写出猜想必证明）
59．（2011•连云港）某课题研讨组图形面积成绩进行专题研讨发现结：
（1）条边应相等两三角形面积等条边应高
（2）角应相等两三角形面积等夹角两边积
…
现请继续面成绩进行探求探求程直接运述结．（S表示面积）
成绩1：图1现块三角形纸板ABCP1P2三等分边ABR1R2三等分边AC．探求知S△ABC请证明．
成绩2：块三角形纸板成绩1中拼合成四边形ABCD图2Q1Q2三等分边DC．请探求S四边形ABCD间数量关系．
成绩3：图3P1P2P3P4五等分边ABQ1Q2Q3Q4五等分边DC．S四边形ABCD1求．
成绩4：图4P1P2P3四等分边ABQ1Q2Q3四等分边DCP1Q1P2Q2P3Q3四边形ABCD分成四部分面积分S1S2S3S4．请直接写出含S1S2S3S4等式．
60．（2011•乐山）图直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCDDE垂直分AB求∠B度数．
中考数学提分刺真题精析：三角形
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2014•重庆）图△ABC中∠BAC90°ABACAD⊥BC垂足DAE分∠BAD交BC点E．△ABC外点FFA⊥AEFC⊥BC．
（1）求证：BECF
（2）AB取点MBM2DE连接MC交AD点N连接ME．
求证：①ME⊥BC②DEDN．
考点：
全等三角形判定性质角分线性质等腰直角三角形．版权切
专题：
证明题综合题．
分析：
（1）根等腰直角三角形性质求出∠B∠ACB45°求出∠ACF45°∠B∠ACF根角余角相等求出∠BAE∠CAF然利角边角证明△ABE△ACF全等根全等三角形应边相等证明
（2）①点E作EH⊥ABH求出△BEH等腰直角三角形然求出HEBH根角分线点角两边距离相等DEHE然求出HEHM△HEM等腰直角三角形根等腰直角三角形性质求解
②求出∠CAE∠CEA675°根等角等边ACCE利HL证明Rt△ACMRt△ECM全等根全等三角形应角相等∠ACM∠ECM225°求出∠DAE∠ECM根等腰直角三角形性质ADCD利角边角证明△ADE△CDN全等根全等三角形应边相等证明．
解答：
证明：（1）∵∠BAC90°ABAC
∴∠B∠ACB45°
∵FC⊥BC
∴∠BCF90°
∴∠ACF90°﹣45°45°
∴∠B∠ACF
∵∠BAC90°FA⊥AE
∴∠BAE+∠CAE90°
∠CAF+∠CAE90°
∴∠BAE∠CAF
△ABE△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴BECF
（2）①图点E作EH⊥ABH△BEH等腰直角三角形
∴HEBH∠BEH45°
∵AE分∠BADAD⊥BC
∴DEHE
∴DEBHHE
∵BM2DE
∴HEHM
∴△HEM等腰直角三角形
∴∠MEH45°
∴∠BEM45°+45°90°
∴ME⊥BC
②题意∠CAE45°+×45°675°
∴∠CEA180°﹣45°﹣675°675°
∴∠CAE∠CEA675°
∴ACCE
Rt△ACMRt△ECM中
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）
∴∠ACM∠ECM×45°225°
∵∠DAE×45°225°
∴∠DAE∠ECM
∵∠BAC90°ABACAD⊥BC
∴ADCDBC
△ADE△CDN中
∴△ADE≌△CDN（ASA）
∴DEDN．
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质角分线点角两边距离相等性质熟记性质作辅助线构造出等腰直角三角形全等三角形解题关键难点问根角度数相等角．
2．（2014•张家界）图四边形ABCD中ABADCBCDACBD相交O点OCOAECD意点连接BE交AC点F连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF
（2）AC2BD2求四边形ABCD周长
（3）请添加条件∠EFD∠BAD予证明．
考点：
全等三角形判定性质勾股定理菱形判定性质．版权切
专题：
综合题开放型．
分析：
（1）首先利SSS定理证明△ABC≌△ADC∠BCA∠DCA证明△CBF≌△CDF．
（2）△ABC≌△ADC知△ABC△ADC轴称图形出OBOD∠COB∠COD90°OCOAACBD互相垂直分证四边形ABCD菱形然根勾股定理全等AB长进求四边形面积．
（3）首先证明△BCF≌△DCF∠CBF∠CDF根BE⊥CD∠BEC∠DEF90°进∠EFD∠BCD∠BAD．
解答：
（1）证明：△ABC△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BCA∠DCA
△CBF△CDF中
∴△CBF≌△CDF（SAS）
（2）解：∵△ABC≌△ADC
∴△ABC△ADC轴称图形
∴OBODBD⊥AC
∵OAOC
∴四边形ABCD菱形
∴ABBCCDDA
∵AC2BD2
∴OAOB1
∴AB2
∴四边形ABCD周长4AB4×28．
（3）EB⊥CD时EBCD垂直时垂线垂足∠EFD∠BCD
理：∵四边形ABCD菱形
∴BCCD∠BCF∠DCF∠BCD∠BAD
∵△BCF≌△DCF
∴∠CBF∠CDF
∵BE⊥CD
∴∠BEC∠DEF90°
∴∠BCD+∠CBF90°∠EFD+∠CDF90°
∴∠EFD∠BAD．
点评：
题次考查全等三角形判定性质菱形判定性质全等三角形判定全等三角形性质证明线段角相等重工具．
3．（2014•湘潭）图修公路遇座山修条隧道．加快施工进度想山侧时施工．山侧开挖点CAB延伸线设想C点作直线AB垂线L点B作断线（山旁边）L相交D点测量∠ABD135°BD800米求直线L距离D点远C处开挖？（≈14141米）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
首先证明△BCD等腰直角三角形根勾股定理CD2+BC2BD2然代入BD800米进行计算．
解答：
解：∵CD⊥AC
∴∠ACD90°
∵∠ABD135°
∴∠DBC45°
∴∠D45°
∴CBCD
Rt△DCB中：CD2+BC2BD2
2CD28002
CD400≈566（米）
答：直线L距离D点566米C处开挖．
点评：
题次考查勾股定理运运勾股定理处理实践成绩时勾股定理方程处理实践成绩常方法关键题中笼统出勾股定理数学模型画出精确表示图．领会数形思想运．
4．（2014•西宁）课间明着老师等腰三角板玩心掉两墙间图．
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）三角板刻度知AC25cm请帮明求出砌墙砖块厚度a（块砖厚度相等）．
考点：
全等三角形运勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根题意ACBC∠ACB90°AD⊥DEBE⊥DE进∠ADC∠CEB90°根等角余角相等∠BCE∠DAC证明△ADC≌△CEB．
（2）题意：AD4aBE3a根全等DCBE3a根勾股定理（4a）2+（3a）2252解．
解答：
（1）证明：题意：ACBC∠ACB90°AD⊥DEBE⊥DE
∴∠ADC∠CEB90°
∴∠ACD+∠BCE90°∠ACD+∠DAC90°
∴∠BCE∠DAC
△ADC△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
（2）解：题意：
∵块墙砖厚度a
∴AD4aBE3a
（1）：△ADC≌△CEB
∴DCBE3a
Rt△ACD中：AD2+CD2AC2
∴（4a）2+（3a）2252
∵a＞0
解a5
答：砌墙砖块厚度a5cm．
点评：
题次考查全等三角形运勾股定理运关键正确找出证明三角形全等条件．
5．（2014•温州）图等边三角形ABC中点DE分边BCACDE∥AB点E作EF⊥DE交BC延伸线点F．
（1）求∠F度数
（2）CD2求DF长．
考点：
等边三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根行线性质∠EDC∠B60°根三角形角定理求解
（2）易证△EDC等边三角形根直角三角形性质求解．
解答：
解：（1）∵△ABC等边三角形
∴∠B60°
∵DE∥AB
∴∠EDC∠B60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF90°
∴∠F90°﹣∠EDC30°
（2）∵∠ACB60°∠EDC60°
∴△EDC等边三角形．
∴EDDC2
∵∠DEF90°∠F30°
∴DF2DE4．
点评：
题考查等边三角形判定性质直角三角形性质30度锐角直角边等斜边半．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘美证法样巧妙中面积法聪灵感惊喜发现两全等直角三角形图1图2摆放时面积法证明面聪利图1证明勾股定理程：
两全等直角三角形图1示摆放中∠DAB90°求证：a2+b2c2．
证明：连结DB点D作BC边高DFDFECb﹣a．
∵S四边形ADCBS△ACD+S△ABCb2+ab．
∵S四边形ADCBS△ADB+S△DCBc2+a（b﹣a）
∴b2+abc2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2
请参述证法利图2完成面证明．
两全等直角三角形图2示摆放中∠DAB90°．
求证：a2+b2c2
证明：连结 BD点B作DE边高BFBFb﹣a
∵S五边形ACBED S△ACB+S△ABE+S△ADEab+b2+ab
∵S五边形ACBED S△ACB+S△ABD+S△BDEab+c2+a（b﹣a）
∴ ab+b2+abab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2．
考点：
勾股定理证明．版权切
专题：
推理填 空 题．
分析：
首先连结BD点B作DE边高BFBFb﹣a表示出S五边形ACBED进出答案．
解答：
证明：连结BD点B作DE边高BFBFb﹣a
∵S五边形ACBEDS△ACB+S△ABE+S△ADEab+b2+ab
∵S五边形ACBEDS△ACB+S△ABD+S△BDEab+c2+a（b﹣a）
∴ab+b2+abab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2．
点评：
题次考查勾股定理证明表示出五边形面积解题关键．
7．（2014•）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE．请残缺阐明△ABC△DEC全等理．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根∠BCE∠ACD90°∠3∠5根∠BAE∠1+∠290°∠2+∠D90°∠1∠D继根AAS判定△ABC≌△DEC．
解答：
解：∵∠BCE∠ACD90°
∴∠3+∠4∠4+∠5
∴∠3∠5
△ACD中∠ACD90°
∴∠2+∠D90°
∵∠BAE∠1+∠290°
∴∠1∠D
△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：
题考查全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
8．（2014•遂宁）图根图中数完成填空求答题：
sin2A1+sin2B1 1 sin2A2+sin2B2 1 sin2A3+sin2B3 1 ．
（1）观察述等式猜想：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B 1 ．
（2）图④Rt△ABC中∠C90°∠A∠B∠C边分abc利三角函数定义勾股定理证明猜想．
（3）已知：∠A+∠B90°sinA求si．
考点：
勾股定理互余两角三角函数关系解直角三角形．版权切
专题：
综合题规律型．
分析：
（1）前面结猜想出：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B1
（2）Rt△ABC中∠C90°．利锐角三角函数定义出sinAsisin2A+sin2B根勾股定理a2+b2c2证明sin2A+sin2B1
（3）利关系式sin2A+sin2B1已知条件sinA进行求解．
解答：
解：（1）图知：sin2A1+sin2B1（）2+（）21
sin2A2+sin2B2（）2+（）21
sin2A3+sin2B3（）2+（）21．
观察述等式猜想：sin2A+sin2B1．
（2）图Rt△ABC中∠C90°．
∵sinAsi
∴sin2A+sin2B
∵∠C90°
∴a2+b2c2
∴sin2A+sin2B1．
（3）∵sinAsin2A+sin2B1
∴si．
点评：
题考查直角三角形中互余两角三角函数关系勾股定理锐角三角函数定义较简单．
9．（2014•邵阳）图已知点AFEC断线AB∥CD∠ABE∠CDFAFCE．
（1）图中找两组全等三角形
（2）（1）中选组进行证明．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根标题条件分析出△ABE≌△CDF△AFD≌△CEB
（2）根AB∥CD∠1∠2根AFCEAEFC然证明△ABE≌△CDF．
解答：
解：（1）△ABE≌△CDF△AFD≌△CEB
（2）∵AB∥CD
∴∠1∠2
∵AFCE
∴AF+EFCE+EF
AEFC
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
点评：
题次考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
10．（2014•南京）成绩提出
学三角形全等判定方法（SASASAAASSSS）直角三角形全等判定方法（HL）继续两三角形满足两边中边角应相等情形进行研讨．
初步考虑
妨成绩符号言语表示：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E然∠B进行分类分∠B直角钝角锐角三种情况进行探求．
深入探求
种情况：∠B直角时△ABC≌△DEF．
（1）图①△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E90°根 HL 知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：∠B钝角时△ABC≌△DEF．
（2）图②△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E钝角求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：∠B锐角时△ABC△DEF定全等．
（3）△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角请尺规图③中作出△DEF△DEF△ABC全等．（写作法保留作图痕迹）
（4）∠B满足什条件△ABC≌△DEF？请直接写出结：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角 ∠B≥∠A △ABC≌△DEF．
考点：
全等三角形判定性质作图—运设计作图．版权切
专题：
压轴题探求型．
分析：
（1）根直角三角形全等方法HL证明
（2）点C作CG⊥AB交AB延伸线G点F作FH⊥DE交DE延伸线H根等角补角相等求出∠CBG∠FEH利角角边证明△CBG△FEH全等根全等三角形应边相等CGFH利HL证明Rt△ACGRt△DFH全等根全等三角形应角相等∠A∠D然利角角边证明△ABC△DEF全等
（3）点C圆心AC长半径画弧AB相交点DEB重合FC重合△DEF△ABC全等
（4）根三种情况结∠B∠A．
解答：
（1）解：HL
（2）证明：图点C作CG⊥AB交AB延伸线G点F作FH⊥DE交DE延伸线H
∵∠ABC∠DEF∠ABC∠DEF钝角
∴180°﹣∠B180°﹣∠E
∠CBG∠FEH
△CBG△FEH中
∴△CBG≌△FEH（AAS）
∴CGFH
Rt△ACGRt△DFH中
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）
∴∠A∠D
△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（3）解：图△DEF△ABC全等
（4）解：∠B≥∠A△ABC≌△DEF．
答案：（1）HL（4）∠B≥∠A．
点评：
题考查全等三角形判定性质运设计作图纯熟掌握三角形全等判定方法解题关键阅读量较审题认真细心．
11．（2014•梅州）图Rt△ABC中∠B90°分AC圆心AC长半径画弧两弧相交点MN连结MNACBC分交点DE连结AE：
（1）∠ADE 90 °
（2）AE EC（填＞＜）
（3）AB3AC5时△ABE周长 7 ．
考点：
线段垂直分线性质勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）作图知MN线段AC垂直分线出结
（2）根线段垂直分线性质出结
（3）先根勾股定理求出BC长进出结．
解答：
解：（1）∵作图知MN线段AC垂直分线
∴∠ADE90°．
答案：90°
（2）∵MN线段AC垂直分线
∴AEEC．
答案：
（3）∵Rt△ABC中∠B90°AB3AC5
∴BC4
∵AECE
∴△ABE周长AB+BC3+47．
答案：7．
点评：
题考查线段垂直分线性质勾股定理运熟知线段垂直分线性质解答题关键．
12．（2014•锦州）图△ABC中点DABCDCB点EBD中点点FAC中点连结EF交CD点M连接AM．
（1）求证：EFAC．
（2）∠BAC45°求线段AMDMBC间数量关系．
考点：
直角三角形斜边中线等腰三角形判定性质等腰直角三角形．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根等腰三角形三线合性质CE⊥BD根直角三角形斜边中线等斜边半EFAC
（2）判断出△AEC等腰直角三角形根等腰直角三角形性质EF垂直分AC根线段垂直分线点两端点距离相等AMCM然求出CDAM+DM等量代换解．
解答：
（1）证明：∵CDCB点EBD中点
∴CE⊥BD
∵点FAC中点
∴EFAC
（2）解：∵∠BAC45°CE⊥BD
∴△AEC等腰直角三角形
∵点FAC中点
∴EF垂直分AC
∴AMCM
∵CDCM+DMAM+DMCDCB
∴BCAM+DM．
点评：
题考查直角三角形斜边中线等斜边半性质等腰三角形性质等腰直角三角形判定性质难点（2）判断出EF垂直分AC．
13．（2014•吉林）图△ABC△DAE中∠BAC∠DAEABAEACAD连接BDCE求证：△ABD≌△AEC．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根∠BAC∠DAE∠BAD∠CAE根全等条件出结．
解答：
证明：∵∠BAC∠DAE
∴∠BAC﹣∠BAE∠DAE﹣∠BAE
∠BAD∠CAE
△ABD△AEC中
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
点评：
题考查全等三角形判定判断三角形全等方法：SSSSASASAAAS判断两直角三角形全等方法HL．
14．（2014•黄石）明听说武黄城际列车开通便设计成绩：图黄石A坐客车武昌客运站BA坐城际列车武汉青山站C青山站C坐市公汽车武昌客运站B．设AB80kmBC20km∠ABC120°．请协助明处理成绩：
（1）求AC间距离（参考数46）
（2）客车均速度60kmh市公汽车均速度40kmh城际列车均速度180kmh短工夫达武昌客运站明应该选择种车？请阐明理．（计候车工夫）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）点C作AB垂线交AB延伸线E点利勾股定理求AC长
（2）分求车工夫然较答案．
解答：
解：（1）点C作AB垂线交AB延伸线E点
∵∠ABC120°BC20
∴BE10
△ACE中
∵AC28100+300
∴
（2）客车需工夫（时）
列车需工夫（时）
∴选择城际列车．
点评：
题考查勾股定理运解题关键正确构造直角三角形．
15．（2014•衡阳）图△ABC中ABACBDCDDE⊥ABDF⊥AC垂足分点EF．
求证：△BED≌△CFD．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根ABAC∠B∠CDE⊥ABDF⊥AC∠BED∠CFD90°然利AAS定理判定△BED≌△CFD．
解答：
证明：∵DE⊥ABDF⊥AC
∴∠BED∠CFD90°
∵ABAC
∴∠B∠C
△BED△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）．
点评：
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
16．（2014•菏泽）（1）△ABC中AD分∠BACBD⊥AD垂足DD作DE∥AC交ABEAB5求线段DE长．
（2）已知x2﹣4x+10求﹣值．
考点：
等腰三角形判定性质分式化简求值行线性质直角三角形斜边中线．版权切
分析：
（1）求出∠CAD∠BAD∠EDA推出AEDE求出∠ABD∠EDB推出BEDE求出AEBE根直角三角形斜边中线性质求出．
（2）化简前全体思想代入答案．
解答：
解：（1）∵AD分∠BAC
∴∠BAD∠CAD
∵DE∥AC
∴∠CAD∠ADE
∴∠BAD∠ADE
∴AEDE
∵AD⊥DB
∴∠ADB90°
∴∠EAD+∠ABD90°∠ADE+∠BDE∠ADB90°
∴∠ABD∠BDE
∴DEBE
∵AB5
∴DEBEAE25．
（2）原式
∵x2﹣4x+10∴x2﹣4x﹣1
原式
点评：
题考查行线性质等腰三角形性质判定直角三角形斜边中线性质运关键求出DEBEAE．学会全体思想解答关成绩学关键．
17．（2014•菏泽）图AB⊙O直径点C⊙O连接BCAC作OD∥BC点A切线交点D连接DC延伸交AB延伸线点E．
（1）求证：DE⊙O切线
（2）求cos∠ABC值．
考点：
勾股定理切线判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）图连接OC．欲证DE⊙O切线需证OC⊥DE
（2）设CE2k（k＞0）DE3kRt△DAE中勾股定理求AE2k．tan∠E．Rt△OCE中tan∠E．
Rt△AOD中勾股定理ODkcos∠ABCcos∠AOD．
解答：
（1）证明：图连接OC．
∵AD点A切线AB⊙O直径
∴AD⊥AB
∴∠DAB90°．
∵OD∥BC
∴∠1∠2∠3∠4．
∵OCOB
∴∠2∠4．
∴∠1∠3．
△COD△AOD中
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD∠DAB90°OC⊥DE点C．
∵OC⊙O半径
∴DE⊙O切线
（2）解：设CE2k（k＞0）DE3k
∴ADDCk．
∴Rt△DAE中AE2k．
∴tan∠E．
∵Rt△OCE中tan∠E．
∴
∴OCOA．
∴Rt△AOD中ODk
∴cos∠ABCcos∠AOD．
点评：
题考查切线判定性质．证某线圆切线已知线圆某点连接圆心点（半径）证垂直．
18．（2014•德州）成绩背景：
图1：四边形ABCD中ABAD∠BAD120°∠B∠ADC90°．EF分BCCD点．∠EAF60°．探求图中线段BEEFFD间数量关系．
王窗探求成绩方法延伸FD点G．DGBE．连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应 EFBE+DF
探求延伸：
图2四边形ABCD中ABAD∠B+∠D180°．EF分BCCD点∠EAF∠BAD述结否然成立阐明理
实践运：
图3某次军事演中舰艇甲指挥（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥南偏东70°B处两舰艇指挥距离相等接举动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离．
考点：
全等三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题探求型．
分析：
成绩背景：根全等三角形应边相等解答
探求延伸：延伸FDGDGBE连接AG根角补角相等求出∠B∠ADG然利边角边证明△ABE△ADG全等根全等三角形应边相等AEAG∠BAE∠DAG求出∠EAF∠GAF然利边角边证明△AEF△GAF全等根全等三角形应边相等EFGF然求解
实践运：连接EF延伸AEBF相交点C然求出∠EAF∠AOB判断出符合探求延伸条件根探求延伸结解答．
解答：
解：成绩背景：EFBE+DF
探求延伸：EFBE+DF然成立．
证明：图延伸FDGDGBE连接AG
∵∠B+∠ADC180°∠ADC+∠ADG180°
∴∠B∠ADG
△ABE△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴AEAG∠BAE∠DAG
∵∠EAF∠BAD
∴∠GAF∠DAG+∠DAF∠BAE+∠DAF∠BAD﹣∠EAF∠EAF
∴∠EAF∠GAF
△AEF△GAF中
∴△AEF≌△GAF（SAS）
∴EFFG
∵FGDG+DFBE+DF
∴EFBE+DF
实践运：图连接EF延伸AEBF相交点C
∵∠AOB30°+90°+（90°﹣70°）140°
∠EOF70°
∴∠EOF∠AOB
∵OAOB
∠OAC+∠OBC（90°﹣30°）+（70°+50°）180°
∴符合探求延伸中条件
∴结EFAE+BF成立
EF15×（60+80）210海里．
答：时两舰艇间距离210海里．
点评：
题考查全等三角形判定性质读懂成绩背景求解思绪作辅助线构造出全等三角形两次证明三角形全等解题关键题难点．
19．（2013•淄博）图AD∥BCBD分∠ABC．求证：ABAD．
考点：
等腰三角形判定性质行线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根AD∥BC求证∠ADB∠DBC利BD分∠ABC等量代换求证∠ABD∠ADB然出结．
解答：
证明：∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∵BD分∠ABC
∴∠ABD∠DBC
∴∠ABD∠ADB
∴ABAD．
点评：
题次考查先生等腰三角形判定性质行线性质理解掌握题简单属基础题．
20．（2013•云南）图点BAE点DACABAD．请添加适条件△ABC≌△ADE（添加）．
（1）添加条件 ∠C∠E ．
（2）添加条件请阐明△ABC≌△ADE理．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
开放型．
分析：
（1）根全等三角形判定方法选择添加条件
（2）根全等三角形判定方法证明．
解答：
解：（1）∵ABAD∠A∠A
∴利AAS添加∠C∠E
利ASA添加∠ABC∠ADE∠EBC∠CDE
利SAS添加ACAEBEDC
综述添加条件∠C∠E（∠ABC∠ADE∠EBC∠CDEACAEBEDC）
答案：∠C∠E
（2）选∠C∠E条件．
理：△ABC△ADE中
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定开放型标题根三角形全等判定方法选择添加条件相反．
21．（2013•湘西州）图Rt△ABC中∠C90°AD分∠CABDE⊥ABEAC6BC8CD3．
（1）求DE长
（2）求△ADB面积．
考点：
角分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）根角分线性质出CDDE代入求出
（2）利勾股定理求出AB长然计算△ADB面积．
解答：
解：（1）∵AD分∠CABDE⊥AB∠C90°
∴CDDE
∵CD3
∴DE3
（2）Rt△ABC中勾股定理：AB10
∴△ADB面积S△ADBAB•DE×10×315．
点评：
题考查角分线性质勾股定理运留意：角分线点角两边距离相等．
22．（2013•仙桃）图已知△ABC≌△ADEABED交点MBCEDAD分交点FN．请写出图中两全等三角形（△ABC≌△ADE外）选择中加证明．
考点：
全等三角形判定．版权切
分析：
找两三角形全等条件三角形全等写出选择组证明．
解答：
解：△AEM≌△ACN△BMF≌△DNF△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN
理：
∵△ADE≌△ABC
∴AEAC∠E∠C∠EAD∠CAB
∴∠EAM∠CAN
∵△AEM△ACN中
∴△AEM≌△ACN（ASA）．
点评：
题考查三角形全等判定方法等腰三角形性质判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
23．（2013•天水）图四边形ABCD中角线ACBD交点E∠BAC90°∠CED45°∠DCE30°DEBE2．求CD长四边形ABCD面积．
考点：
勾股定理含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
利等腰直角三角形性质出EHDH1进出利直角三角形中30°边等斜边半出CD长求出ACAB长出四边形ABCD面积．
解答：
解：点D作DH⊥AC
∵∠CED45°DH⊥ECDE
∴EHDH
∵EH2+DH2ED2
∴EH21
∴EHDH1
∵∠DCE30°
∴DC2HC
∵∠AEB45°∠BAC90°
BE2
∴ABAE2
∴AC2+1+3+
∴S四边形ABCD×2×（3+）+×1×（3+）．
点评：
题次考查解直角三角形三角形面积求法根已知构造直角三角形进出直角边长度解题关键．
24．（2013•州）图点FBEC断线BFCE∠ABC∠DEF．否面已知条件证明△ABC≌△DEF？果请出证明果请列三条件中选择合适条件添加已知条件中△ABC≌△DEF出证明．
提供三条件：①ABDE②ACDF③AC∥DF．
考点：
全等三角形判定．版权切
分析：
BFCEEFCB条件∠ABC∠DEF证明△ABC≌△DEF加条件①ABDE利SAS定理判定△ABC≌△DEF．
解答：
解：
选择条件：①ABDE
∵BFCE
∴BF+BECE+BE
EFCB
△ABC△DFE中
∴△ABC≌△DFE（SAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
25．（2013•宁德）图点DAC断线AB∥CEABCD∠B∠D
求证：△ABC≌△CDE．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根AB∥CE∠BAC∠DCE加条件ABCD∠B∠D利ASA定理证明三角形全等．
解答：
证明：∵AB∥CE
∴∠BAC∠DCE
△ABC△CDE中
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
点评：
题次考查全等三角形判定关键掌握判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
26．（2013•荆州）图△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°DAB连结BE．请找出全等三角形阐明理．
考点：
全等三角形判定等腰直角三角形．版权切
分析：
分析 根等角余角相等出∠ACD∠BCECACBCDCE证明△ACD≌△BCE．
解答：
解：△ACD≌△BCE．
证明∵∠ACB∠DCE90°
∴∠ACB﹣∠DCB∠DCE﹣∠DCB
∠ACD∠BCE．
∵△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°
∴CACBCDCE
△ACD△BCE中
∵
∴△ACD≌△BCE．
点评：
题考查全等三角形判定性质解答题关键掌握三角形全等判定定理．
27．（2013•杭州）（1）先求解列两题：
①图①点BD射线AM点CE射线ANABBCCDDE已知∠EDM84°求∠A度数
②图②直角坐标系中点Ay轴正半轴AC∥x轴点BC横坐标3BC2点DAC横坐标1反例函数图象点BD求k值．
（2）解题发现两题什点？请简单写出．
考点：
等腰三角形性质反例函数图象点坐标特征．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）①根等边等角∠A∠BCA∠CBD∠BDC∠ECD∠CED根三角形外角等相邻两角∠A+∠BCA∠CBD∠A+∠CDB∠ECD∠A+∠CED∠EDM然∠A表示出∠EDM计算求解
②先根反例函数图象点坐标特征表示出点B坐标表示出点C坐标然根AC∥x轴点CD坐标相反表示出点D坐标代入反例函数解析式进行计算解．
（2）数学思想考虑解答．
解答：
解：（1）①∵ABBCCDDE
∴∠A∠BCA∠CBD∠BDC∠ECD∠CED
根三角形外角性质∠A+∠BCA∠CBD∠A+∠CDB∠ECD∠A+∠CED∠EDM
∵∠EDM84°
∴∠A+3∠A84°
解∠A21°
②∵点B反例函数y图象点BC横坐标3
∴点B（3）
∵BC2
∴点C（3+2）
∵AC∥x轴点DAC横坐标1
∴D（1+2）
∵点D反例函数图象
∴+2k
解k3
（2）已知量关系表达未知量运转换思想方法．（开放题）
点评：
题考查等腰三角形两底角相等性质三角形外角等相邻两角性质反例函数图象点坐标特征基础题．
28．（2013•贵阳）△ABC中BCaACbABc设c长边a2+b2c2时△ABC直角三角形a2+b2≠c2时利代数式a2+b2c2关系探求△ABC外形（角分类）．
（1）△ABC三边分689时△ABC 锐角 三角形△ABC三边分6811时△ABC 钝角 三角形．
（2）猜想a2+b2 ＞ c2时△ABC锐角三角形a2+b2 ＜ c2时△ABC钝角三角形．
（3）判断a2b4时△ABC外形求出应c取值范围．
考点：
勾股定理逆定理勾股定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利勾股定理列式求出两直角边68时斜边值然作出判断
（2）根（1）中计算作出判断
（3）根三角形意两边第三边求出长边c点值然c取值范围然分情况讨解．
解答：
解：（1）两直角边分68时斜边10
∴△ABC三边分689时△ABC锐角三角形
△ABC三边分6811时△ABC钝角三角形
答案：锐角钝角
（2）a2+b2＞c2时△ABC锐角三角形
a2+b2＜c2时△ABC钝角三角形
答案：＞＜
（3）∵c长边2+46
∴4≤c＜6
a2+b222+4220
①a2+b2＞c2c2＜200＜c＜2
∴4≤c＜2时三角形锐角三角形
②a2+b2c2c220c2
∴c2时三角形直角三角形
③a2+b2＜c2c2＞20c＞2
∴2＜c＜6时三角形钝角三角形．
点评：
题考查勾股定理勾股定理逆定理读懂标题信息理解三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形时三条边数量关系解题关键．
29．（2013•佛山）课指出：公认真命题称公理公理外真命题（推定理等）正确性需求推理方法证明．
（1）叙说三角形全等判定方法中推AAS
（2）证明推AAS．
求：叙说推文字表达图形中符号表达已知求证证明证明步骤注明根．
考点：
全等三角形判定命题定理．版权切
分析：
（1）两边夹角分应相等两三角形全等．
（2）根三角形角定理全等三角形判断定理ASA证明．
解答：
解：（1）三角形全等判定方法中推AAS指：两角中角边应相等两三角形全等．
（2）已知：△ABC△DEF中∠A∠D∠C∠FBCEF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：图△ABC△DEF中∠A∠D∠C∠F（已知）
∴∠A+∠C∠D+∠F（等量代换）．
∵∠A+∠B+∠C180°∠D+∠E+∠F180°（三角形角定理）
∴∠B∠E．
∵△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
点评：
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
30．（2013•防城港）图ABAE∠1∠2∠C∠D．
求证：△ABC≌△AED．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根∠1∠2∠BAC∠EAD加条件ABAE∠C∠D证明△ABC≌△AED．
解答：
证明：∵∠1∠2
∴∠1+∠EAC∠2+∠EAC
∠BAC∠EAD
∵△ABC△AED中
∴△ABC≌△AED（AAS）．
点评：
题次考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
31．（2013•鄂州）明华栋电梯楼前感慨楼房真高．明说：楼少20层华然：20层？没数数知道明说：事数明白华想想说：没成绩量量吧明华楼体两侧选AB两点测量数图中矩形CDEF表示楼体AB150米CD10米∠A30°∠B45°（ACDB四点断线）问：
（1）楼高少米？
（2）层楼3米计算支持明华观点呢？请阐明理．（参考数：≈173≈141≈224）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
运题．
分析：
（1）设楼高xCFDExRt△ACFRt△DEB中分x表示ACBD值然根AC+CD+BD150求出x值
（2）根（1）求出楼高x然求出20层楼高度较x20层楼高判断谁观点正确．
解答：
解：（1）设楼高x米CFDEx米
∵∠A30°∠B45°∠ACF∠BDE90°
∴ACx米BDx米
∴x+x150﹣10
解x70（﹣1）（米）
∴楼高70（﹣1）米．
（2）x70（﹣1）≈70（173﹣1）70×073511米＜3×20米
∴支持华观点楼20层．
点评：
题考查勾股定理运解答题关键构造直角三角形利方程思想求解难度普通．
32．（2013•郴州）图△ABC中ABBCAC8tanAkPAC边动点设PCx作PE∥AB交BCEPF∥BC交ABF．
（1）证明：△PCE等腰三角形
（2）EMFNBH分△PEC△AFP△ABC高含xk代数式表示EMFN探求EMFNBH间数量关系
（3）k4时求四边形PEBF面积Sx函数关系式．x值时S值？求出S值．
考点：
等腰三角形判定性质二次函数值解直角三角形．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根等边等角∠A∠C然根两直线行位角相等求出∠CPE∠A∠CPE∠C证
（2）根等腰三角形三线合性质求出CMCP然求出EM理求出FNBH长根结果整理EM+FNBH
（3）分求出EMFNBH然根S△PCES△APFS△ABC根SS△ABC﹣S△PCE﹣S△APF整理Sx关系式然利二次函数值成绩解答．
解答：
（1）证明：∵ABBC
∴∠A∠C
∵PE∥AB
∴∠CPE∠A
∴∠CPE∠C
∴△PCE等腰三角形
（2）解：∵△PCE等腰三角形EM⊥CP
∴CMCPtanCtanAk
∴EMCM•tanC•k
理：FNAN•tanA•k4k﹣
BHAH•tanA×8•k4k
EM+FN+4k﹣4k
∴EM+FNBH
（3）解：k4时EM2xFN16﹣2xBH16
S△PCEx•2xx2S△APF（8﹣x）•（16﹣2x）（8﹣x）2S△ABC×8×1664
SS△ABC﹣S△PCE﹣S△APF
64﹣x2﹣（8﹣x）2
﹣2x2+16x
配方S﹣2（x﹣4）2+32
x4时S值32．
点评：
题考查等腰三角形判定性质行线性质锐角三角函数二次函数值成绩表示出三角形高线解题关键题难点．
33．（2013•阳）某段河流两岸行数学兴味组老师带领涉水河测河宽度样做：
①河流条岸边B点选岸正颗树A
②河岸直走20步树C继续前行20步达D处
③D处河岸垂直方行走达A树正C树遮挡住E处中止行走
④测DE长河宽AB．
请证明做法正确性．
考点：
全等三角形运．版权切
分析：
标题中实践成绩转化数学成绩然利全等三角形判定方法证两三角形全等阐明做法正确性．
解答：
证明：图做法知：
Rt△ABCRt△EDC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）
∴ABED
做法正确．
点评：
题考查全等三角形运解题关键实践成绩转化数学成绩．
34．（2013•包头）图根长6米木棒（AB）斜面（OM）垂直墙（ON）面倾斜角（∠ABO）60°．木棒A端墙滑点A′时B端面右滑行点B′．
（1）求OB长
（2）AA′1米时求BB′长．
考点：
勾股定理运解直角三角形运．版权切
分析：
（1）已知数解直角三角形AOB
（2）首先求出OA长OA′长根勾股定理求出OB′长．
解答：
解：（1）根题意知：AB6∠ABO60°∠AOB90°
Rt△AOB中∵cos∠ABO
∴OBABcos∠ABO6cos60°3米
∴OB长3米
（2）根题意知A′B′AB6米
Rt△AOB中∵sin∠ABO
∴OAABsin∠ABO6sin60°9米
∵OA′OA﹣AA′AA′1米
∴OA′8米
Rt△A′OB′中OB′2米
∴BB′OB′﹣OB（2﹣3）米．
点评：
题考查勾股定理运角锐角三角函数中考常见题型．
35．（2012•遵义）图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动（AC重合）QCB延伸线点点P时相反速度BCB延伸线方运动（QB重合）P作PE⊥ABE连接PQ交ABD．
（1）∠BQD30°时求AP长
（2）运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请阐明理．
考点：
等边三角形性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
压轴题动点型．
分析：
（1）△ABC边长6等边三角形知∠ACB60°∠BQD30°知∠QPC90°设APxPC6﹣xQBxRt△QCP中∠BQD30°PCQC6﹣x（6+x）求出x值
（2）作QF⊥AB交直线AB延伸线点F连接QEPF点PQ做匀速运动速度相反知APBQ根全等三角形判定定理出△APE≌△BQFAEBFPEQFPE∥QF知四边形PEQF行四边形进出EB+AEBE+BFABDEAB等边△ABC边长6出DE3点PQ运动时线段DE长度会改变．
解答：
解：（1）∵△ABC边长6等边三角形
∴∠ACB60°
∵∠BQD30°
∴∠QPC90°
设APxPC6﹣xQBx
∴QCQB+BC6+x
∵Rt△QCP中∠BQD30°
∴PCQC6﹣x（6+x）解x2
∴AP2
（2）点PQ时运动速度相反时线段DE长度会改变．理：
作QF⊥AB交直线AB延伸线点F连接QEPF
∵PE⊥ABE
∴∠DFQ∠AEP90°
∵点PQ速度相反
∴APBQ
∵△ABC等边三角形
∴∠A∠ABC∠FBQ60°
△APE△BQF中
∵∠AEP∠BFQ90°
∴∠APE∠BQF
△APE△BQF中
∴△APE≌△BQF（AAS）
∴AEBFPEQFPE∥QF
∴四边形PEQF行四边形
∴DEEF
∵EB+AEBE+BFAB
∴DEAB
∵等边△ABC边长6
∴DE3
∴点PQ时运动速度相反时线段DE长度会改变．
点评：
题考查等边三角形性质全等三角形判定定理行四边形判定性质根题意作出辅助线构造出全等三角形解答题关键．
36．（2012•珠海）图△ABC中ABACAD高AM△ABC外角∠CAE分线．
（1）尺规作图方法作∠ADC分线DN（保留作图痕迹写作法证明）
（2）设DNAM交点F判断△ADF外形．（写结果）
考点：
等腰三角形判定性质作图—基作图．版权切
专题：
作图题．
分析：
（1）D圆心意长半径画弧交ADG交DCH分GH圆心GH半径画弧两弧交N作射线DN交AMF．
（2）求出∠BAD∠CAD求出∠FAD×180°90°求出∠CDF∠AFD∠ADF推出ADAF出答案．
解答：
解：（1）图示：
（2）△ADF外形等腰直角三角形
理：∵ABACAD⊥BC
∴∠BAD∠CAD
∵AF分∠EAC
∴∠EAF∠FAC
∵∠FAD∠FAC+∠DAC∠EAC+∠BAC×180°90°
△ADF直角三角形
∵ABAC
∴∠B∠ACB
∵∠EAC2∠EAF∠B+∠ACB
∴∠EAF∠B
∴AF∥BC
∴∠AFD∠FDC
∵DF分∠ADC
∴∠ADF∠FDC∠AFD
∴ADAF
直角三角形ADF等腰直角三角形．
点评：
题考查作图﹣基作图等腰三角形性质判定运次培养先生动手操作力推理力标题较典型难度适中．
37．（2012•枣庄）已知：图四边形ABCD中∠ABC90°CD⊥ADAD2+CD22AB2．
（1）求证：ABBC
（2）BE⊥ADE时试证明：BEAE+CD．
考点：
勾股定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根勾股定理AB2+BC2AC2出AB2+BC22AB2进出ABBC
（2）首先证明CDEF矩形根△BAE≌△CBF出AEBF进证明结．
解答：
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC90°
∴AB2+BC2AC2．
∵CD⊥AD
∴AD2+CD2AC2．
∵AD2+CD22AB2
∴AB2+BC22AB2
∴BC2AB2
∵AB＞0BC＞0
∴ABBC．
（2）C作CF⊥BEF．
∵BE⊥ADCF⊥BECD⊥AD
∴∠FED∠CFE∠D90°
∴四边形CDEF矩形．
∴CDEF．
∵∠ABE+∠BAE90°∠ABE+∠CBF90°
∴∠BAE∠CBF
∴△BAE△CBF中
∴
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AEBF．
∴BEBF+EFAE+CD．
点评：
题次考查勾股定理运三角形全等证明根已知出四边形CDEF矩形△BAE≌△CBF处理成绩关键．
38．（2012•益阳）图已知AE∥BCAE分∠DAC．
求证：ABAC．
考点：
等腰三角形判定性质行线性质等腰三角形判定．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
根角分线定义∠1∠2根两直线行位角相等∠1∠B两直线行错角相等∠2∠C∠B∠C然根等角等边证．
解答：
证明：∵AE分∠DAC
∴∠1∠2
∵AE∥BC
∴∠1∠B∠2∠C
∴∠B∠C
∴ABAC．
点评：
题考查等腰三角形判定行线性质基础题熟记性质解题关键．
39．（2012•湘潭）图△ABC边长3等边三角形△ABC直线BC右移B点C点重合△DCE连接BD交ACF．
（1）猜想ACBD位关系证明结
（2）求线段BD长．
考点：
等边三角形性质勾股定理移性质．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）移性质知BE2BC6DEAC3出BD⊥DE∠E∠ACB60°知AC∥DE出结
（2）Rt△BDE中利勾股定理出BD长．
解答：
解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE△ABC移成
∴BE2BC6DEAC3∠E∠ACB60°
∴DEBE
∴BD⊥DE
∵∠E∠ACB60°
∴AC∥DE
∴BD⊥AC
∵△ABC等边三角形
∴BF边AC中线
∴BD⊥ACBDAC互相垂直分
（2）∵（1）知AC∥DEBD⊥AC
∴△BED直角三角形
∵BE6DE3
∴BD3．
点评：
题考查等边三角形性质移性质熟知图形移图形原图形全等性质解答题关键．
40．（2012•梧州）图等腰梯形ABCD中AD∥BC点EAD延伸线点CECD．
求证：∠B∠E．
考点：
等腰三角形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
先根等腰梯形性质出∠B+∠ADC180°根两角互补性质出∠B∠CDE根CECD出∠CDE∠E进出结．
解答：
证明：∵四边形ABCD等腰梯形
∴∠B+∠ADC180°
∵∠ADC+∠CDE180°
∴∠B∠CDE
∵CECD
∴△CDE等腰三角形
∴∠CDE∠E
∴∠B∠E．
点评：
题考查等腰三角形判定性质等腰梯形性质熟知等腰梯形两底角相等解答题关键．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心概念引入概念．
定义：三角形两顶点距离相等点做三角形准外心．
举例：图1PAPB点P△ABC准外心．
运：图2CD等边三角形ABC高准外心P高CDPDAB求∠APB度数．
探求：已知△ABC直角三角形斜边BC5AB3准外心PAC边试探求PA长．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质等边三角形性质勾股定理．版权切
专题：
新定义．
分析：
运：连接PAPB根准外心定义分①PBPC②PAPC③PAPB三种情况利等边三角形性质求出PDAB关系然判断出情况③合适根等腰直角三角形性质求出∠APB45°然求出∠APB度数
探求：先根勾股定理求出AC长度根准外心定义分①PBPC②PAPC③PAPB三种情况根三角形性质计算解．
解答：
运：解：①PBPC连接PB∠PCB∠PBC
∵CD等边三角形高
∴ADBD∠PCB30°
∴∠PBD∠PBC30°
∴PDDBAB
已知PDAB矛盾∴PB≠PC
②PAPC连接PA理PA≠PC
③PAPBPDABPDBD
∴∠APD45°
∠APB90°
探求：解：∵BC5AB3
∴AC4
①PBPC设PAxx2+32（4﹣x）2
∴xPA
②PAPCPA2
③PAPB图知Rt△PAB中．
PA2．
点评：
题考查线段垂直分线性质等腰三角形性质勾股定理读懂题意弄清楚准外心定义解题关键根准外心定义留意分三种情况进行讨．
42．（2012•南京）图AB⊙O两定点P⊙O动点（PAB重合）称∠APB⊙O关点AB滑动角．
（1）已知∠APB⊙O关点AB滑动角
①AB⊙O直径∠APB 90 °
②⊙O半径1AB求∠APB度数
（2）已知O2⊙O1外点O2圆心作圆⊙O1相交AB两点∠APB⊙O1关点AB滑动角直线PAPB分交⊙O2MN（点M点A点N点B均重合）连接AN试探求∠APB∠MAN∠A间数量关系．
考点：
勾股定理垂径定理圆周角定理点圆位关系圆圆位关系．版权切
专题：
综合题压轴题．
分析：
（1）①根直径圆周角等90°求解
②根勾股定理逆定理∠AOB90°分点P优弧点P劣弧两种情况讨求解
（2）根点P⊙O1位分四种情况∠APB∠MAN∠A间数量关系．
解答：
解：（1）①AB⊙O直径∠APB90．
②图连接ABOAOB．
△AOB中
∵OAOB1．AB
∴OA2+OB2AB2．
∴∠AOB90°．
点P优弧时∠APB∠AOB45°
点P劣弧时∠AP′B（360°﹣∠AOB）135°
（2）根点P⊙O1位分四种情况．
种情况：点P⊙O2外点A点P点M间点B点P点N间图①
∵∠MAN∠APB+∠A
∴∠APB∠MAN﹣∠A
第二种情况：点P⊙O2外点A点P点M间点N点P点B间图②．
∵∠MAN∠APB+∠ANP∠APB+（180°﹣∠A）
∴∠APB∠MAN+∠A﹣180°
第三种情况：点P⊙O2外点M点P点A间点B点P点N间图③．
∵∠APB+∠A+∠MAN180°
∴∠APB180°﹣∠MAN﹣∠A
第四种情况：点P⊙O2图④
∠APB∠MAN+∠A．
点评：
综合考查圆周角定理勾股定理逆定理点圆位关系题难度较留意分类思想运．
43．（2012•牡丹江）图①△ABC中．ABACP底边BC点PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB垂足分EFH．易证PE+PFCH．证明程：
图①连接AP．
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH．
∵S△ABP+S△ACPS△ABC
∴AB•PE+AC•PFAB•CH．
∵ABAC
∴PE+PFCH．
（1）图②PBC延伸线点时条件变PEPFCH样数量关系？请写出猜想加证明：
（2）填空：∠A30°△ABC面积49点P直线BCP直线AC距离PFPF3时AB边高CH 7 ．点PAB边距离PE 410 ．
考点：
等腰三角形性质三角形面积．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）连接AP．先根三角形面积公式分表示出S△ABPS△ACPS△ABCS△ABPS△ACP+S△ABC出PEPF+PH
（2）先根直角三角形性质出AC2CH△ABC面积49求出CH7CH＞PF分两种情况进行讨：①P底边BC点运结PE+PFCH②PBC延伸线点时运结PEPF+CH．
解答：
解：（1）图②PEPF+CH．证明：
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH
∵S△ABPS△ACP+S△ABC
∴AB•PEAC•PF+AB•CH
∵ABAC
∴PEPF+CH
（2）∵△ACH中∠A30°
∴AC2CH．
∵S△ABCAB•CHABAC
∴×2CH•CH49
∴CH7．
分两种情况：
①P底边BC点图①．
∵PE+PFCH
∴PECH﹣PF7﹣34
②PBC延伸线点时图②．
∵PEPF+CH
∴PE3+710．
答案：7410．
点评：
题考查等腰三角形性质三角形面积难度适中运面积证明成绩简便（2）中分情况讨解题关键．
44．（2012•黄冈） 图△ABC中ABAC∠A36°AB垂直分线交AC点E垂足点D连接BE∠EBC度数 36° ．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质．版权切
分析：
DEAB垂直分线根线段垂直分线性质AEBE求∠ABE度数ABAC根等边等角三角形角定理求∠ABC度数继求答案．
解答：
解：∵DEAB垂直分线
∴AEBE
∴∠ABE∠A36°
∵ABAC
∴∠ABC∠C72°
∴∠EBC∠ABC﹣∠ABE72°﹣36°36°．
答案：36°．
点评：
题考查线段垂直分线性质等腰三角形性质．题较简单留意数形思想运．
45．（2012•淮安）图△ABC中∠C90°点DAC已知∠BDC45°BD10AB20．求∠A度数．
考点：
含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
首先直角三角形BDC中利BD长∠BDC45°求线段BC长然直角三角形ABC中求∠A度数
解答：
解：∵直角三角形BDC中∠BDC45°BD10
∴BCBD•sin∠BDC10×10
∵∠C90°AB20
∴sin∠A
∴∠A30°．
点评：
题考查等腰直角三角形含30°角直角三角形知识属基础题较简单．
46．（2012•河池）图10×10正方形网格中△ABC顶点线段EF端点边长1正方形顶点．
（1）填空：tanA AC 2 （结果保留根号）
（2）请图中找出点D（仅点）连接DEDFDEF顶点三角形△ABC全等加证明．
考点：
勾股定理全等三角形判定锐角三角函数定义．版权切
专题：
网格型．
分析：
（1）延伸ABC作延伸线垂线CG直角三角形ACG中CGAG长利锐角三角函数定义求出tanA值利勾股定理求出AC值
（2）图中找出点D连接DEDF△ABC≌△EFD图示理：直角三角形FDM中FMMD长利勾股定理求出FD长理求出BC长出FDBC理出EDACEFAB利SSS出△ABC≌△EFD．
解答：
解：（1）延伸ABC作CG⊥AB交延伸线点G
Rt△ACG中CG2AG4
根勾股定理：AC2
tanA
（2）图中找出点D连接DEDF△ABC≌△EFD右图示
证明：Rt△EMD中EM4MD2
根勾股定理：ED2
Rt△FDM中FM2MD2
根勾股定理：FD2
理Rt△BCG中根勾股定理：BC2
△ABC△EFD中
∵
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
答案：（1）2
点评：
题考查勾股定理锐角三角函数定义全等三角形判定纯熟掌握勾股定理解题关键．
47．（2012•抚）图Rt△ABC中∠ACB90°∠ABC30°．点D直线BC动点连接ADAD边AD右侧作等边△ADE．
（1）图①点E恰线段BC时请判断线段DEBE数量关系图①证明结
（2）点E直线BC时连接BE条件变（1）中结否成立？成立请图②予证明成立请直接写出新结
（3）AC3点D直线BC挪动程中否存ACDE顶点四边形梯形？果存直接写出线段CD长度果存请阐明理．
考点：
等边三角形性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形勾股定理梯形．版权切
分析：
（1）利等边三角形性质等腰三角形判定解答
（2）点E作EF⊥AB垂足F证△ADC≌△AEF直角三角形中30度角直角边斜边半处理成绩
（3）ACDE顶点梯形性质入手逐渐找出处理成绩．
解答：
解：（1）DEBE． 理：
∵△ADE等边三角形
∴ADDEAE∠AED60°．
∵∠ABC30°∠AED∠ABC+∠EAB
∴∠EAB60°﹣30°30°
∴∠ABC∠EAB
∴EBAE
∴EBDE
（2）图
点E作EF⊥AB垂足F
△ABC中∠ABC30°
∴∠CAB60°
∴∠DAE∠CAB
∴∠DAE﹣∠CAE∠BAC﹣∠CAE
∠CAD∠EAF．
∵ADAE∠ACD∠AFE
∴△ADC≌△AEF
∴ACAF．
△ABC中∠ABC30°
∴ACAB
∴AFBF
∴EAEB
∴DEEB
（3）图
∵四边形ACDE梯形∠ACD90°
∴∠CAE90°．
∵∠CAE∠CAD+∠EAD
∵正三角形ADE中∠EAD60°
∴∠CAD30°．
直角三角形ACD中AC3∠CAD30°
勾股定理CD．
理：点D点B重合AC行DE时CD3
综述：AE∥CDCD点D点B重合时CD3．
点评：
题综合考查等边三角形性质三角形全等判定性质等腰三角形判定性质梯形性质等知识点．
48．（2012•鄂州）明位善考虑先生数学课副直角三角板图位摆放ABD断线EF∥AD∠A∠EDF90°∠C45°∠E60°量DE8试求BD长．
考点：
勾股定理行线性质含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
点F作FM⊥ADM利直角三角形中30°角直角边等斜边半行线性质等腰直角三角形性质求出BD长．
解答：
解：点F作FM⊥ADM
∵∠EDF90°∠E60°
∴∠EFD30°
∵DE8
∴EF16
∴DF8
∵EF∥AD
∴∠FDM30°
∴FMDF4
∴MD12
∵∠C45°
∴∠MFB∠B45°
∴FMBM4
∴BDDM﹣BM12﹣4．
点评：
题考查勾股定理运行线性质等腰直角三角形性质解题关键作垂直构造直角三角形利勾股定理求出DM长．
49．（2012•庆）已知等边△ABC边长3单位点PA出发秒1单位速度三角形边A→B→C→A方运动次回点A处中止运动设APSt表示运动工夫．
（1）点PBC运动程中t表示S
（2）t取值时S等（求出切t值）
（3）根（2）中t取值直接写出时段AP？
考点：
等边三角形性质元二次方程运勾股定理．版权切
专题：
代数综合题动点型．
分析：
（1）t表示出PB长利余弦定理表示出AP长
（2）令S等建立关t方程解答
（3）利（2）中求出AP时t取值．
解答：
解：（1）∵AB3BPt﹣3
∴AP232+（t﹣3）2﹣2×3•（t﹣3）•cos60°
9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×
18﹣6t+t2+9﹣3t
t2﹣9t+27
∴S．
（2）tBC时
∵S
∴t2﹣9t+277
解t14t25
pAB时t
pCA时t9﹣．
点PBC时（2）∵S开口
S交点横坐标t14t25
综述：t4t59﹣
（3）根（2）知：0≤t＜4＜t＜59﹣＜t≤9
三工夫段S＜．
点评：
题考查等边三角形性质余弦定理元二次方程二次函数间关系难度较会解元二次方程解题关键．
50．（2012•常州）图四边形ABCD中AD∥BC角线AC中点O点O作AC垂线分ADBC相交点EF连接AF．求证：AEAF．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形判定性质．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
方法：连接CEEF线段AC垂直分线AECEAE∥BC知∠ACB∠DAC出△AOE≌△COFAECF四边形AFCE行四边形根AECE知四边形AFCE菱形出结．
方法二：首先证明△AOE≌△COFOEOF进AC垂直分EF根线段垂直分线性质AEAF．
解答：
证明：连接CE
∵EF线段AC垂直分线
∴AECEOAOC
∵AE∥BC
∴∠ACB∠DAC
△AOE△COF中
∵
∴△AOE≌△COF
∴AECF
∴四边形AFCE行四边形
∵AECE
∴四边形AFCE菱形
∴AEAF．
法：∵AD∥BC
∴∠EAO∠FCO∠AEO∠CFO
∵
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚
∴OEOF
∴AC垂直分EF
∴AEAF．
点评：
题考查线段垂直分线性质菱形判定定理根题意作出辅助线构造出行四边形解答题关键．
51．（2011•株洲）图△ABC中ABAC∠A36°AC垂直分线交ABED垂足连接EC．
（1）求∠ECD度数
（2）CE5求BC长．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质．版权切
专题：
计算题图形成绩．
分析：
（1）EDAC垂直分线AEEC∠A∠C已知∠A36求
（2）△ABC中ABAC∠A36°∠B72°∠BEC∠A+∠ECA72°BCEC5
解答：
解：（1）∵DE垂直分AC
∴CEAE∴∠ECD∠A36°
（2）∵ABAC∠A36°
∴∠B∠ACB72°
∴∠BEC∠A+∠ECD72°
∴∠BEC∠B
∴BCEC5．
答：（1）∠ECD度数36°
（2）BC长5．
点评：
题考查等腰三角形线段垂直分线性质应熟记性质：线段垂直分线点线段两端点距离相等．
52．（2011•枣庄）图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点请求完成列题：
（1）画线段AD∥BCADBC连接CD
（2）线段AC长 2 CD长 AD长 5
（3）△ACD 直角 三角形四边形ABCD面积 10
（4）EBC中点tan∠CAE值 ．
考点：
勾股定理勾股定理逆定理作图—基作图锐角三角函数定义．版权切
专题：
作图题．
分析：
（1）根题意画出AD∥BCADBC连接CD
（2）网格中利直角三角形先求AC2CD2AD2值求出AC长CD长AD长
（3）利勾股定理逆定理判断直角三角形求出四边形ABCD面积
（4）成绩转化Rt△ACF中利三角函数定义解题．
解答：
解：（1）图
（2）图象知AC222+4220CD212+225AD232+4225
∴AC2CDAD5
答案：25
（3）∵AD2CD2+AC2∴△ACD直角三角形．
四边形ABCD面积2×（2×÷2）10
答案：直角10
（4）图象知CF2AF4
∴tan∠CAE．
答案：．
点评：
题考查勾股定理逆定理运锐角三角函数定义关键运网格表示线段长度．
53．（2011•州）图等腰直角三角形ABC中∠ABC90°DAC边中点D点作DE丄DF交ABE交BCFAE4FC3求EF长．
考点：
勾股定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
首先连接BD已知等腰直角三角形ABC推出BD⊥ACBDCDAD∠ABD45°DE丄DF推出∠FDC∠EDB等腰直角三角形ABC∠C45°△EDB≌△FDC出BEFC3AB7BC7BF4根勾股定理求出EF长．
解答：
解：连接BD
∵等腰直角三角形ABC中DAC边中点
∴BD⊥AC（三线合）BDCDAD∠ABD45°
∴∠C45°
∴∠ABD∠C
∵DE丄DF
∴∠FDC+∠BDF∠EDB+∠BDF
∴∠FDC∠EDB
△EDB△FDC中
∵
∴△EDB≌△FDC（ASA）
∴BEFC3
∴AB7BC7
∴BF4
Rt△EBF中
EF2BE2+BF232+42
∴EF5．
答：EF长5．
点评：
题考查知识点勾股定理全等三角形判定关键已知先证三角形全等求BEBF勾股定理求出EF长．
54．（2011•沈阳）图△ABC中ABACDBC边点∠B30°∠DAB45°．
（1）求∠DAC度数
（2）求证：DCAB．
考点：
等腰三角形性质．版权切
专题：
计算题．
分析：
（1）ABAC根等腰三角形两底角相等∠B∠C30°根三角形角定理计算出∠BAC120°∠DAB45°∠DAC∠BAC﹣∠DAB120°﹣45°
（2）根三角形外角性质∠ADC∠B+∠DAB75°（1）∠DAC75°根等腰三角形判定DCAC样结．
解答：
（1）解：∵ABAC
∴∠B∠C30°
∵∠C+∠BAC+∠B180°
∴∠BAC180°﹣30°﹣30°120°
∵∠DAB45°
∴∠DAC∠BAC﹣∠DAB120°﹣45°75°
（2）证明：∵∠DAB45°
∴∠ADC∠B+∠DAB75°
∴∠DAC∠ADC
∴DCAC
∴DCAB．
点评：
题考查等腰三角形性质判定定理：等腰三角形两底角相等两角相等三角形等腰三角形．考查三角形角定理．
55．（2011•青海）认真阅读面关三角形外角分线夹角探求片段完成提出成绩．
探求1：图1△ABC中O∠ABC∠ACB分线BOCO交点分析发现∠BOC90°+理：
∵BOCO分∠ABC∠ACB角分线
∴
∴
∵∠ABC+∠ACB180°﹣∠A
∴
∴∠BOC180°﹣（∠1+∠2）180°﹣（90°﹣∠A）
探求2：图2中O∠ABC外角∠ACD分线BOCO交点试分析∠BOC∠A样关系？请阐明理．
探求3：图3中O外角∠DBC外角∠ECB分线BOCO交点∠BOC∠A样关系？（写结需证明）
结： ∠BOC90°﹣∠A ．
考点：
三角形外角性质三角形角定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根提供信息根三角形外角等相邻两角∠A∠1表示出∠2利∠O∠1表示出∠2然整理∠BOC∠A关系
（2）根三角形外角等相邻两角角分线定义表示出∠OBC∠OCB然根三角形角定理列式整理解．
解答：
解：（1）探求2结：∠BOC∠A
理：
∵BOCO分∠ABC∠ACD角分线
∴∠1∠ABC∠2∠ACD
∵∠ACD△ABC外角
∴∠ACD∠A+∠ABC
∴∠2（∠A+∠ABC）∠A+∠1
∵∠2△BOC外角
∴∠BOC∠2﹣∠1∠A+∠1﹣∠1∠A
（2）探求3：∠OBC（∠A+∠ACB）∠OCB（∠A+∠ABC）
∠BOC180°﹣∠0BC﹣∠OCB
180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）
180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB）
结∠BOC90°﹣∠A．
点评：
题考查三角形外角性质角定理熟记三角形外角等相邻两角解题关键读懂标题提供信息然利提供信息思绪重．
56．（2011•宁波）阅读面情景话然解答成绩：
（1）根奇异三角形定义请判断华提出命题：等边三角形定奇异三角形真命题假命题？
（2）Rt△ABC中∠C90°ABcACbBCab＞aRt△ABC奇异三角形求a：b：c
（3）图AB⊙O直径C⊙O点（点AB重合）D半圆中点CD直径AB两侧⊙O存点EAEADCBCE．
①求证：△ACE奇异三角形
②△ACE直角三角形时求∠AOC度数．
考点：
勾股定理等边三角形性质圆周角定理．版权切
专题：
压轴题新定义．
分析：
（1）根奇异三角形定义等边三角形性质求证
（2）根勾股定理奇异三角形性质a2+b2c2a2+c22b2a表示出bc求答案
（3）①AB⊙O直径求∠ACB∠ADB90°然利勾股定理圆性质证
②利（2）中结分AC：AE：CE1：：AC：AE：CE：：1分析求结果．
解答：
解：（1）设等边三角形边aa2+a22a2
∴符合奇异三角形定义．
∴真命题
（2）∵∠C90°
a2+b2c2①
∵Rt△ABC奇异三角形b＞a
∴a2+c22b2②
①②：baca
∴a：b：c1：：
（3）∵①AB⊙O直径
∴∠ACB∠ADB90°
Rt△ACB中AC2+BC2AB2
Rt△ADB中AD2+BD2AB2
∵点D半圆中点
∴
∴ADBD
∴AB2AD2+BD22AD2
∴AC2+CB22AD2
∵CBCEAEAD
∴AC2+CE22AE2
∴△ACE奇异三角形
②①△ACE奇异三角形
∴AC2+CE22AE2
△ACE直角三角形时
（2）：AC：AE：CE1：：AC：AE：CE：：1
AC：AE：CE1：：时AC：CE1：AC：CB1：
∵∠ACB90°
∴∠ABC30°
∴∠AOC2∠ABC60°
AC：AE：CE：：1时AC：CE：1AC：CB：1
∵∠ACB90°
∴∠ABC60°
∴∠AOC2∠ABC120°．
∴∠AOC度数60°120°．
点评：
题考查新定义知识勾股定理圆性质三角函数等知识．解题关键理解题意抓住数形思想运．
57．（2011•牡丹江）△ABC中AB2AC4BC2AB边△ABC外作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
考点：
勾股定理逆定理全等三角形判定性质．版权切
分析：
根题意中△ABD等腰直角三角形显然应分三种情况：∠ABD90°∠BAD90°∠ADB90°．然巧妙构造辅助线出现全等三角形直角三角形利全等三角形性质勾股定理进行求解．
解答：
解：∵AC4BC2AB
∴AC2+BC2AB2
∴△ACB直角三角形∠ACB90°．
分三种情况：
图（1）点D作DE⊥CB垂足点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED∠ACB90°（垂直定义）
∴∠CAB+∠CBA90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD等腰直角三角形（已知）
∴ABBD∠ABD90°（等腰直角三角形定义）
∴∠CBA+∠DBE90°（角定义）
∴∠CAB∠EBD（角余角相等）
△ACB△BED中
∵∠ACB∠BED∠CAB∠EBDABBD（已证）
∴△ACB≌△BED（AAS）
∴BEAC4DECB2（全等三角形应边相等）
∴CE6（等量代换）
根勾股定理：CD2
图（2）点D作DE⊥CA垂足点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED∠ACB90°（垂直定义）
∴∠EAD+∠EDA90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD等腰直角三角形（已知）
∴ABAD∠BAD90°（等腰直角三角形定义）
∴∠CAB+∠DAE90°（角定义）
∴∠BAC∠ADE（角余角相等）
△ACB△DEA中
∵∠ACB∠DEA（已证）∠CAB∠EDA（已证） ABDA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DEAC4AEBC2（全等三角形应边相等）
∴CE6（等量代换）
根勾股定理：CD2
图（3）点D作DE⊥CB垂足点E点A作AF⊥DE垂足点F．
∵∠C90°
∴∠CAB+∠CBA90°
∵∠DAB+∠DBA90°
∴∠EBD+∠DAF90°
∵∠EBD+∠BDE90°∠DAF+∠ADF90°
∴∠DBE∠ADF
∵∠BED∠AFD90°DBAD
∴△AFD≌△DEB
EDAF
∠ACB∠CED∠AFE90°
四边形CEFA矩形
CEAFEFAC4
设DFxBEx
EC2+xAFDEEF﹣DF4﹣x
2+x4﹣x
解：x1
ECDE3
CD3．
点评：
题综合考查全等三角形判定性质勾股定理．
58．（2011•梅州）图1已知线段AB长2a点PAB动点（PAB重合）分APPB边线段AB侧作正△APC正△PBD．
（1）△APC△PBD面积取值时AP a （直接写结果）
（2）连接ADBC相交点Q设∠AQCαα否会点P挪动面变化？请阐明理
（3）图2点P固定△PBD绕点P时针方旋转（旋转角180°）时α否发生变化？（需直接写出猜想必证明）
考点：
等边三角形性质三角形角定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）设AP长x然利x表示出两三角形面积利二次函数性质求x值
（2）首先证△APD≌△CPB然根三角形外角性质求解
（3）旋转程中（2）中两三角形全等关系变角度会变化．
解答：
解：（1）设AP长xBP2a﹣x
∴S△APC+S△PBDx•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）
x2﹣ax+a2
x﹣﹣a时△APC△PBD面积取值
答案：a
（2）α会点P挪动变化
理：∵△APC等边三角形
∴PAPC∠APC60°
∵△BDP等边三角形
∴PBPD∠BPD60°
∴∠APC∠BPD
∴∠APD∠CPB
∴△APD≌△CPB
∴∠PAD∠PCB
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠AQC180°﹣120°60°
（3）时α会发生改变直等60°．
理：∵△APC等边三角形
∴PAPC∠APC60°
∵△BDP等边三角形
∴PBPD∠BPD60°
∴∠APC∠BPD
∴∠APD∠CPB
∴△APD≌△CPB
∴∠PAD∠PCB
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠AQC180°﹣120°60°．
点评：
题考查旋转性质全等三角形判定性质正确证明两三角形全等解题关键．
59．（2011•连云港）某课题研讨组图形面积成绩进行专题研讨发现结：
（1）条边应相等两三角形面积等条边应高
（2）角应相等两三角形面积等夹角两边积
…
现请继续面成绩进行探求探求程直接运述结．（S表示面积）
成绩1：图1现块三角形纸板ABCP1P2三等分边ABR1R2三等分边AC．探求知S△ABC请证明．
成绩2：块三角形纸板成绩1中拼合成四边形ABCD图2Q1Q2三等分边DC．请探求S四边形ABCD间数量关系．
成绩3：图3P1P2P3P4五等分边ABQ1Q2Q3Q4五等分边DC．S四边形ABCD1求．
成绩4：图4P1P2P3四等分边ABQ1Q2Q3四等分边DCP1Q1P2Q2P3Q3四边形ABCD分成四部分面积分S1S2S3S4．请直接写出含S1S2S3S4等式．
考点：
三角形面积．版权切
专题：
压轴题．
分析：
成绩1图1中连接P1R2R2B三角形中线性质S△AP1R1S△P1R1R2S△P1R2P2S△P2R2BR1R2AC三等分点S△BCR2S△ABR2根图形面积关系S△ABCS四边形P1P2R2R1数量关系证明结
成绩2图2中连接AQ1Q1P2P2C三角形中线性质S△AQ1P1S△P1Q1P2S△P2Q1Q2S△P2Q2CQ1P2CDAB三等分点知S△ADQ1S△AQ1CS△BCP2S△AP2C出S△ADQ1+S△BCP2S四边形AQ1CP2关系根图形面积关系S四边形ABCDS四边形P1Q1Q2P2等量关系
成绩3图3中次设四边形面积S1S2S3S4S5成绩2结推出2S2S1+S32S3S2+S42S4S3+S5三式相加S2+S4S1+S5利换元法求S1+S2+S3+S4+S5S3数量关系已知S四边形ABCD1求S四边形P2Q2Q3P3
成绩4图4中成绩2结知2S2S1+S32S3S2+S4两式相加S1S2S3S4等量关系．
解答：
解：成绩1证明：
图1连接P1R2R2B△AP1R2中∵P1R1中线∴S△AP1R1S△P1R1R2
理S△P1R2P2S△P2R2B
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2S△ABR2S四边形P1P2R2R1
R1R2AC三等分点知S△BCR2S△ABR2
∴S△ABCS△BCR2+S△ABR2S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R13S四边形P1P2R2R1
∴S四边形P1P2R2R1S△ABC
成绩2S四边形ABCD3S四边形P1Q1Q2P2．
理：图2连接AQ1Q1P2P2C△AQ1P2中∵Q1P1中线
∴S△AQ1P1S△P1Q1P2理S△P2Q1Q2S△P2Q2C
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2S四边形AQ1CP2S四边形P1Q1Q2P2
Q1P2CDAB三等分点知S△ADQ1S△AQ1CS△BCP2S△AP2C
∴S△ADQ1+S△BCP2（S△AQ1C+S△AP2C）S四边形AQ1CP2
∴S四边形ABCDS△ADC+S△ABCS四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP23S四边形P1Q1Q2P2
S四边形ABCD3S四边形P1Q1Q2P2
成绩3解：
图3成绩2结知3S2S1+S2+S32S2S1+S3理2S3S2+S42S4S3+S5
三式相加S2+S4S1+S5
∴S1+S2+S3+S4+S52（S2+S4）+S32×2S3+S35S3
S四边形P2Q2Q3P3S四边形ABCD
成绩4图4关系式：S2+S3S1+S4．
点评：
题考查三角形面积成绩．关键利三角形中线三角形分面积相等两三角形性质进行推理．
60．（2011•乐山）图直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCDDE垂直分AB求∠B度数．
考点：
线段垂直分线性质三角形角定理角分线性质．版权切
专题：
计算题．
分析：
根DE垂直分AB求证∠DAE∠B利角分线性质三角形角定理求∠B度数．
解答：
解：∵直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCD
∴∠DAE∠CAB（90°﹣∠B）
∵DE垂直分AB
∴ADBD
∴∠DAE∠B
∴∠DAE∠CAB（90°﹣∠B）∠B
∴3∠B90°
∴∠B30°．
答：DE垂直分AB∠B度数30°．
点评：
题题考查知识点线段垂直分线性质角分线性质三角形角定理等知识点较简单合适先生训练．
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（含答案解析）
解 答 题（60题）
1．（2014•重庆）图△ABC中∠BAC90°ABACAD⊥BC垂足DAE分∠BAD交BC点E．△ABC外点FFA⊥AEFC⊥BC．
（1）求证：BECF
（2）AB取点MBM2DE连接MC交AD点N连接ME．
求证：①ME⊥BC②DEDN．
2．（2014•张家界）图四边形ABCD中ABADCBCDACBD相交O点OCOAECD意点连接BE交AC点F连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF
（2）AC2BD2求四边形ABCD周长
（3）请添加条件∠EFD∠BAD予证明．
3．（2014•湘潭）图修公路遇座山修条隧道．加快施工进度想山侧时施工．山侧开挖点CAB延伸线设想C点作直线AB垂线L点B作断线（山旁边）L相交D点测量∠ABD135°BD800米求直线L距离D点远C处开挖？（≈14141米）
4．（2014•西宁）课间明着老师等腰三角板玩心掉两墙间图．
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）三角板刻度知AC25cm请帮明求出砌墙砖块厚度a（块砖厚度相等）．
5．（2014•温州）图等边三角形ABC中点DE分边BCACDE∥AB点E作EF⊥DE交BC延伸线点F．
（1）求∠F度数
（2）CD2求DF长．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘美证法样巧妙中面积法聪灵感惊喜发现两全等直角三角形图1图2摆放时面积法证明面聪利图1证明勾股定理程：
两全等直角三角形图1示摆放中∠DAB90°求证：a2+b2c2．
证明：连结DB点D作BC边高DFDFECb﹣a．
∵S四边形ADCBS△ACD+S△ABCb2+ab．
∵S四边形ADCBS△ADB+S△DCBc2+a（b﹣a）
∴b2+abc2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2
请参述证法利图2完成面证明．
两全等直角三角形图2示摆放中∠DAB90°．
求证：a2+b2c2
证明：连结
∵S五边形ACBED
∵S五边形ACBED
∴
∴a2+b2c2．
7．（2014•）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE．请残缺阐明△ABC△DEC全等理．
8．（2014•遂宁）图根图中数完成填空求答题：
sin2A1+sin2B1 sin2A2+sin2B2 sin2A3+sin2B3 ．
（1）观察述等式猜想：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B ．
（2）图④Rt△ABC中∠C90°∠A∠B∠C边分abc利三角函数定义勾股定理证明猜想．
（3）已知：∠A+∠B90°sinA求si．
9．（2014•邵阳）图已知点AFEC断线AB∥CD∠ABE∠CDFAFCE．
（1）图中找两组全等三角形
（2）（1）中选组进行证明．
10．（2014•南京）成绩提出
学三角形全等判定方法（SASASAAASSSS）直角三角形全等判定方法（HL）继续两三角形满足两边中边角应相等情形进行研讨．
初步考虑
妨成绩符号言语表示：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E然∠B进行分类分∠B直角钝角锐角三种情况进行探求．
深入探求
种情况：∠B直角时△ABC≌△DEF．
（1）图①△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E90°根 知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：∠B钝角时△ABC≌△DEF．
（2）图②△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E钝角求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：∠B锐角时△ABC△DEF定全等．
（3）△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角请尺规图③中作出△DEF△DEF△ABC全等．（写作法保留作图痕迹）
（4）∠B满足什条件△ABC≌△DEF？请直接写出结：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角 △ABC≌△DEF．
11．（2014•梅州）图Rt△ABC中∠B90°分AC圆心AC长半径画弧两弧相交点MN连结MNACBC分交点DE连结AE：
（1）∠ADE °
（2）AE EC（填＞＜）
（3）AB3AC5时△ABE周长 ．
12．（2014•锦州）图△ABC中点DABCDCB点EBD中点点FAC中点连结EF交CD点M连接AM．
（1）求证：EFAC．
（2）∠BAC45°求线段AMDMBC间数量关系．
13．（2014•吉林）图△ABC△DAE中∠BAC∠DAEABAEACAD连接BDCE求证：△ABD≌△AEC．
14．（2014•黄石）明听说武黄城际列车开通便设计成绩：图黄石A坐客车武昌客运站BA坐城际列车武汉青山站C青山站C坐市公汽车武昌客运站B．设AB80kmBC20km∠ABC120°．请协助明处理成绩：
（1）求AC间距离（参考数46）
（2）客车均速度60kmh市公汽车均速度40kmh城际列车均速度180kmh短工夫达武昌客运站明应该选择种车？请阐明理．（计候车工夫）
15．（2014•衡阳）图△ABC中ABACBDCDDE⊥ABDF⊥AC垂足分点EF．
求证：△BED≌△CFD．
16．（2014•菏泽）（1）△ABC中AD分∠BACBD⊥AD垂足DD作DE∥AC交ABEAB5求线段DE长．
（2）已知x2﹣4x+10求﹣值．
17．（2014•菏泽）图AB⊙O直径点C⊙O连接BCAC作OD∥BC点A切线交点D连接DC延伸交AB延伸线点E．
（1）求证：DE⊙O切线
（2）求cos∠ABC值．
18．（2014•德州）成绩背景：
图1：四边形ABCD中ABAD∠BAD120°∠B∠ADC90°．EF分BCCD点．∠EAF60°．探求图中线段BEEFFD间数量关系．
王窗探求成绩方法延伸FD点G．DGBE．连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应
探求延伸：
图2四边形ABCD中ABAD∠B+∠D180°．EF分BCCD点∠EAF∠BAD述结否然成立阐明理
实践运：
图3某次军事演中舰艇甲指挥（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥南偏东70°B处两舰艇指挥距离相等接举动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离．
19．（2013•淄博）图AD∥BCBD分∠ABC．求证：ABAD．
20．（2013•云南）图点BAE点DACABAD．请添加适条件△ABC≌△ADE（添加）．
（1）添加条件 ．
（2）添加条件请阐明△ABC≌△ADE理．
21．（2013•湘西州）图Rt△ABC中∠C90°AD分∠CABDE⊥ABEAC6BC8CD3．
（1）求DE长
（2）求△ADB面积．
22．（2013•仙桃）图已知△ABC≌△ADEABED交点MBCEDAD分交点FN．请写出图中两全等三角形（△ABC≌△ADE外）选择中加证明．
23．（2013•天水）图四边形ABCD中角线ACBD交点E∠BAC90°∠CED45°∠DCE30°DEBE2．求CD长四边形ABCD面积．
24．（2013•州）图点FBEC断线BFCE∠ABC∠DEF．否面已知条件证明△ABC≌△DEF？果请出证明果请列三条件中选择合适条件添加已知条件中△ABC≌△DEF出证明．
提供三条件：①ABDE②ACDF③AC∥DF．
25．（2013•宁德）图点DAC断线AB∥CEABCD∠B∠D
求证：△ABC≌△CDE．
26．（2013•荆州）图△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°DAB连结BE．请找出全等三角形阐明理．
27．（2013•杭州）（1）先求解列两题：
①图①点BD射线AM点CE射线ANABBCCDDE已知∠EDM84°求∠A度数
②图②直角坐标系中点Ay轴正半轴AC∥x轴点BC横坐标3BC2点DAC横坐标1反例函数图象点BD求k值．
（2）解题发现两题什点？请简单写出．
28．（2013•贵阳）△ABC中BCaACbABc设c长边a2+b2c2时△ABC直角三角形a2+b2≠c2时利代数式a2+b2c2关系探求△ABC外形（角分类）．
（1）△ABC三边分689时△ABC 三角形△ABC三边分6811时△ABC 三角形．
（2）猜想a2+b2 c2时△ABC锐角三角形a2+b2 c2时△ABC钝角三角形．
（3）判断a2b4时△ABC外形求出应c取值范围．
29．（2013•佛山）课指出：公认真命题称公理公理外真命题（推定理等）正确性需求推理方法证明．
（1）叙说三角形全等判定方法中推AAS
（2）证明推AAS．
求：叙说推文字表达图形中符号表达已知求证证明证明步骤注明根．
30．（2013•防城港）图ABAE∠1∠2∠C∠D．
求证：△ABC≌△AED．
31．（2013•鄂州）明华栋电梯楼前感慨楼房真高．明说：楼少20层华然：20层？没数数知道明说：事数明白华想想说：没成绩量量吧明华楼体两侧选AB两点测量数图中矩形CDEF表示楼体AB150米CD10米∠A30°∠B45°（ACDB四点断线）问：
（1）楼高少米？
（2）层楼3米计算支持明华观点呢？请阐明理．（参考数：≈173≈141≈224）
32．（2013•郴州）图△ABC中ABBCAC8tanAkPAC边动点设PCx作PE∥AB交BCEPF∥BC交ABF．
（1）证明：△PCE等腰三角形
（2）EMFNBH分△PEC△AFP△ABC高含xk代数式表示EMFN探求EMFNBH间数量关系
（3）k4时求四边形PEBF面积Sx函数关系式．x值时S值？求出S值．
33．（2013•阳）某段河流两岸行数学兴味组老师带领涉水河测河宽度样做：
①河流条岸边B点选岸正颗树A
②河岸直走20步树C继续前行20步达D处
③D处河岸垂直方行走达A树正C树遮挡住E处中止行走
④测DE长河宽AB．
请证明做法正确性．
34．（2013•包头）图根长6米木棒（AB）斜面（OM）垂直墙（ON）面倾斜角（∠ABO）60°．木棒A端墙滑点A′时B端面右滑行点B′．
（1）求OB长
（2）AA′1米时求BB′长．
35．（2012•遵义）图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动（AC重合）QCB延伸线点点P时相反速度BCB延伸线方运动（QB重合）P作PE⊥ABE连接PQ交ABD．
（1）∠BQD30°时求AP长
（2）运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请阐明理．
36．（2012•珠海）图△ABC中ABACAD高AM△ABC外角∠CAE分线．
（1）尺规作图方法作∠ADC分线DN（保留作图痕迹写作法证明）
（2）设DNAM交点F判断△ADF外形．（写结果）
37．（2012•枣庄）已知：图四边形ABCD中∠ABC90°CD⊥ADAD2+CD22AB2．
（1）求证：ABBC
（2）BE⊥ADE时试证明：BEAE+CD．
38．（2012•益阳）图已知AE∥BCAE分∠DAC．
求证：ABAC．
39．（2012•湘潭）图△ABC边长3等边三角形△ABC直线BC右移B点C点重合△DCE连接BD交ACF．
（1）猜想ACBD位关系证明结
（2）求线段BD长．
40．（2012•梧州）图等腰梯形ABCD中AD∥BC点EAD延伸线点CECD．
求证：∠B∠E．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心概念引入概念．
定义：三角形两顶点距离相等点做三角形准外心．
举例：图1PAPB点P△ABC准外心．
运：图2CD等边三角形ABC高准外心P高CDPDAB求∠APB度数．
探求：已知△ABC直角三角形斜边BC5AB3准外心PAC边试探求PA长．
42．（2012•南京）图AB⊙O两定点P⊙O动点（PAB重合）称∠APB⊙O关点AB滑动角．
（1）已知∠APB⊙O关点AB滑动角
①AB⊙O直径∠APB °
②⊙O半径1AB求∠APB度数
（2）已知O2⊙O1外点O2圆心作圆⊙O1相交AB两点∠APB⊙O1关点AB滑动角直线PAPB分交⊙O2MN（点M点A点N点B均重合）连接AN试探求∠APB∠MAN∠A间数量关系．
43．（2012•牡丹江）图①△ABC中．ABACP底边BC点PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB垂足分EFH．易证PE+PFCH．证明程：
图①连接AP．
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH．
∵S△ABP+S△ACPS△ABC
∴AB•PE+AC•PFAB•CH．
∵ABAC
∴PE+PFCH．
（1）图②PBC延伸线点时条件变PEPFCH样数量关系？请写出猜想加证明：
（2）填空：∠A30°△ABC面积49点P直线BCP直线AC距离PFPF3时AB边高CH ．点PAB边距离PE ．
44．（2012•黄冈） 图△ABC中ABAC∠A36°AB垂直分线交AC点E垂足点D连接BE∠EBC度数 ．
45．（2012•淮安）图△ABC中∠C90°点DAC已知∠BDC45°BD10AB20．求∠A度数．
46．（2012•河池）图10×10正方形网格中△ABC顶点线段EF端点边长1正方形顶点．
（1）填空：tanA AC （结果保留根号）
（2）请图中找出点D（仅点）连接DEDFDEF顶点三角形△ABC全等加证明．
47．（2012•抚）图Rt△ABC中∠ACB90°∠ABC30°．点D直线BC动点连接ADAD边AD右侧作等边△ADE．
（1）图①点E恰线段BC时请判断线段DEBE数量关系图①证明结
（2）点E直线BC时连接BE条件变（1）中结否成立？成立请图②予证明成立请直接写出新结
（3）AC3点D直线BC挪动程中否存ACDE顶点四边形梯形？果存直接写出线段CD长度果存请阐明理．
48．（2012•鄂州）明位善考虑先生数学课副直角三角板图位摆放ABD断线EF∥AD∠A∠EDF90°∠C45°∠E60°量DE8试求BD长．
49．（2012•庆）已知等边△ABC边长3单位点PA出发秒1单位速度三角形边A→B→C→A方运动次回点A处中止运动设APSt表示运动工夫．
（1）点PBC运动程中t表示S
（2）t取值时S等（求出切t值）
（3）根（2）中t取值直接写出时段AP？
50．（2012•常州）图四边形ABCD中AD∥BC角线AC中点O点O作AC垂线分ADBC相交点EF连接AF．求证：AEAF．
51．（2011•株洲）图△ABC中ABAC∠A36°AC垂直分线交ABED垂足连接EC．
（1）求∠ECD度数
（2）CE5求BC长．
52．（2011•枣庄）图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点请求完成列题：
（1）画线段AD∥BCADBC连接CD
（2）线段AC长 CD长 AD长
（3）△ACD 三角形四边形ABCD面积
（4）EBC中点tan∠CAE值 ．
53．（2011•州）图等腰直角三角形ABC中∠ABC90°DAC边中点D点作DE丄DF交ABE交BCFAE4FC3求EF长．
54．（2011•沈阳）图△ABC中ABACDBC边点∠B30°∠DAB45°．
（1）求∠DAC度数
（2）求证：DCAB．
55．（2011•青海）认真阅读面关三角形外角分线夹角探求片段完成提出成绩．
探求1：图1△ABC中O∠ABC∠ACB分线BOCO交点分析发现∠BOC90°+理：
∵BOCO分∠ABC∠ACB角分线
∴
∴
∵∠ABC+∠ACB180°﹣∠A
∴
∴∠BOC180°﹣（∠1+∠2）180°﹣（90°﹣∠A）
探求2：图2中O∠ABC外角∠ACD分线BOCO交点试分析∠BOC∠A样关系？请阐明理．
探求3：图3中O外角∠DBC外角∠ECB分线BOCO交点∠BOC∠A样关系？（写结需证明）
结： ．
56．（2011•宁波）阅读面情景话然解答成绩：
（1）根奇异三角形定义请判断华提出命题：等边三角形定奇异三角形真命题假命题？
（2）Rt△ABC中∠C90°ABcACbBCab＞aRt△ABC奇异三角形求a：b：c
（3）图AB⊙O直径C⊙O点（点AB重合）D半圆中点CD直径AB两侧⊙O存点EAEADCBCE．
①求证：△ACE奇异三角形
②△ACE直角三角形时求∠AOC度数．
57．（2011•牡丹江）△ABC中AB2AC4BC2AB边△ABC外作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
58．（2011•梅州）图1已知线段AB长2a点PAB动点（PAB重合）分APPB边线段AB侧作正△APC正△PBD．
（1）△APC△PBD面积取值时AP （直接写结果）
（2）连接ADBC相交点Q设∠AQCαα否会点P挪动面变化？请阐明理
（3）图2点P固定△PBD绕点P时针方旋转（旋转角180°）时α否发生变化？（需直接写出猜想必证明）
59．（2011•连云港）某课题研讨组图形面积成绩进行专题研讨发现结：
（1）条边应相等两三角形面积等条边应高
（2）角应相等两三角形面积等夹角两边积
…
现请继续面成绩进行探求探求程直接运述结．（S表示面积）
成绩1：图1现块三角形纸板ABCP1P2三等分边ABR1R2三等分边AC．探求知S△ABC请证明．
成绩2：块三角形纸板成绩1中拼合成四边形ABCD图2Q1Q2三等分边DC．请探求S四边形ABCD间数量关系．
成绩3：图3P1P2P3P4五等分边ABQ1Q2Q3Q4五等分边DC．S四边形ABCD1求．
成绩4：图4P1P2P3四等分边ABQ1Q2Q3四等分边DCP1Q1P2Q2P3Q3四边形ABCD分成四部分面积分S1S2S3S4．请直接写出含S1S2S3S4等式．
60．（2011•乐山）图直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCDDE垂直分AB求∠B度数．
中考数学提分刺真题精析：三角形
参考答案试题解析
解 答 题（60题）
1．（2014•重庆）图△ABC中∠BAC90°ABACAD⊥BC垂足DAE分∠BAD交BC点E．△ABC外点FFA⊥AEFC⊥BC．
（1）求证：BECF
（2）AB取点MBM2DE连接MC交AD点N连接ME．
求证：①ME⊥BC②DEDN．
考点：
全等三角形判定性质角分线性质等腰直角三角形．版权切
专题：
证明题综合题．
分析：
（1）根等腰直角三角形性质求出∠B∠ACB45°求出∠ACF45°∠B∠ACF根角余角相等求出∠BAE∠CAF然利角边角证明△ABE△ACF全等根全等三角形应边相等证明
（2）①点E作EH⊥ABH求出△BEH等腰直角三角形然求出HEBH根角分线点角两边距离相等DEHE然求出HEHM△HEM等腰直角三角形根等腰直角三角形性质求解
②求出∠CAE∠CEA675°根等角等边ACCE利HL证明Rt△ACMRt△ECM全等根全等三角形应角相等∠ACM∠ECM225°求出∠DAE∠ECM根等腰直角三角形性质ADCD利角边角证明△ADE△CDN全等根全等三角形应边相等证明．
解答：
证明：（1）∵∠BAC90°ABAC
∴∠B∠ACB45°
∵FC⊥BC
∴∠BCF90°
∴∠ACF90°﹣45°45°
∴∠B∠ACF
∵∠BAC90°FA⊥AE
∴∠BAE+∠CAE90°
∠CAF+∠CAE90°
∴∠BAE∠CAF
△ABE△ACF中
∴△ABE≌△ACF（ASA）
∴BECF
（2）①图点E作EH⊥ABH△BEH等腰直角三角形
∴HEBH∠BEH45°
∵AE分∠BADAD⊥BC
∴DEHE
∴DEBHHE
∵BM2DE
∴HEHM
∴△HEM等腰直角三角形
∴∠MEH45°
∴∠BEM45°+45°90°
∴ME⊥BC
②题意∠CAE45°+×45°675°
∴∠CEA180°﹣45°﹣675°675°
∴∠CAE∠CEA675°
∴ACCE
Rt△ACMRt△ECM中
∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL）
∴∠ACM∠ECM×45°225°
∵∠DAE×45°225°
∴∠DAE∠ECM
∵∠BAC90°ABACAD⊥BC
∴ADCDBC
△ADE△CDN中
∴△ADE≌△CDN（ASA）
∴DEDN．
点评：
题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形判定性质角分线点角两边距离相等性质熟记性质作辅助线构造出等腰直角三角形全等三角形解题关键难点问根角度数相等角．
2．（2014•张家界）图四边形ABCD中ABADCBCDACBD相交O点OCOAECD意点连接BE交AC点F连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF
（2）AC2BD2求四边形ABCD周长
（3）请添加条件∠EFD∠BAD予证明．
考点：
全等三角形判定性质勾股定理菱形判定性质．版权切
专题：
综合题开放型．
分析：
（1）首先利SSS定理证明△ABC≌△ADC∠BCA∠DCA证明△CBF≌△CDF．
（2）△ABC≌△ADC知△ABC△ADC轴称图形出OBOD∠COB∠COD90°OCOAACBD互相垂直分证四边形ABCD菱形然根勾股定理全等AB长进求四边形面积．
（3）首先证明△BCF≌△DCF∠CBF∠CDF根BE⊥CD∠BEC∠DEF90°进∠EFD∠BCD∠BAD．
解答：
（1）证明：△ABC△ADC中
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BCA∠DCA
△CBF△CDF中
∴△CBF≌△CDF（SAS）
（2）解：∵△ABC≌△ADC
∴△ABC△ADC轴称图形
∴OBODBD⊥AC
∵OAOC
∴四边形ABCD菱形
∴ABBCCDDA
∵AC2BD2
∴OAOB1
∴AB2
∴四边形ABCD周长4AB4×28．
（3）EB⊥CD时EBCD垂直时垂线垂足∠EFD∠BCD
理：∵四边形ABCD菱形
∴BCCD∠BCF∠DCF∠BCD∠BAD
∵△BCF≌△DCF
∴∠CBF∠CDF
∵BE⊥CD
∴∠BEC∠DEF90°
∴∠BCD+∠CBF90°∠EFD+∠CDF90°
∴∠EFD∠BAD．
点评：
题次考查全等三角形判定性质菱形判定性质全等三角形判定全等三角形性质证明线段角相等重工具．
3．（2014•湘潭）图修公路遇座山修条隧道．加快施工进度想山侧时施工．山侧开挖点CAB延伸线设想C点作直线AB垂线L点B作断线（山旁边）L相交D点测量∠ABD135°BD800米求直线L距离D点远C处开挖？（≈14141米）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
首先证明△BCD等腰直角三角形根勾股定理CD2+BC2BD2然代入BD800米进行计算．
解答：
解：∵CD⊥AC
∴∠ACD90°
∵∠ABD135°
∴∠DBC45°
∴∠D45°
∴CBCD
Rt△DCB中：CD2+BC2BD2
2CD28002
CD400≈566（米）
答：直线L距离D点566米C处开挖．
点评：
题次考查勾股定理运运勾股定理处理实践成绩时勾股定理方程处理实践成绩常方法关键题中笼统出勾股定理数学模型画出精确表示图．领会数形思想运．
4．（2014•西宁）课间明着老师等腰三角板玩心掉两墙间图．
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）三角板刻度知AC25cm请帮明求出砌墙砖块厚度a（块砖厚度相等）．
考点：
全等三角形运勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根题意ACBC∠ACB90°AD⊥DEBE⊥DE进∠ADC∠CEB90°根等角余角相等∠BCE∠DAC证明△ADC≌△CEB．
（2）题意：AD4aBE3a根全等DCBE3a根勾股定理（4a）2+（3a）2252解．
解答：
（1）证明：题意：ACBC∠ACB90°AD⊥DEBE⊥DE
∴∠ADC∠CEB90°
∴∠ACD+∠BCE90°∠ACD+∠DAC90°
∴∠BCE∠DAC
△ADC△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
（2）解：题意：
∵块墙砖厚度a
∴AD4aBE3a
（1）：△ADC≌△CEB
∴DCBE3a
Rt△ACD中：AD2+CD2AC2
∴（4a）2+（3a）2252
∵a＞0
解a5
答：砌墙砖块厚度a5cm．
点评：
题次考查全等三角形运勾股定理运关键正确找出证明三角形全等条件．
5．（2014•温州）图等边三角形ABC中点DE分边BCACDE∥AB点E作EF⊥DE交BC延伸线点F．
（1）求∠F度数
（2）CD2求DF长．
考点：
等边三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）根行线性质∠EDC∠B60°根三角形角定理求解
（2）易证△EDC等边三角形根直角三角形性质求解．
解答：
解：（1）∵△ABC等边三角形
∴∠B60°
∵DE∥AB
∴∠EDC∠B60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF90°
∴∠F90°﹣∠EDC30°
（2）∵∠ACB60°∠EDC60°
∴△EDC等边三角形．
∴EDDC2
∵∠DEF90°∠F30°
∴DF2DE4．
点评：
题考查等边三角形判定性质直角三角形性质30度锐角直角边等斜边半．
6．（2014•温州）勾股定理奥秘美证法样巧妙中面积法聪灵感惊喜发现两全等直角三角形图1图2摆放时面积法证明面聪利图1证明勾股定理程：
两全等直角三角形图1示摆放中∠DAB90°求证：a2+b2c2．
证明：连结DB点D作BC边高DFDFECb﹣a．
∵S四边形ADCBS△ACD+S△ABCb2+ab．
∵S四边形ADCBS△ADB+S△DCBc2+a（b﹣a）
∴b2+abc2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2
请参述证法利图2完成面证明．
两全等直角三角形图2示摆放中∠DAB90°．
求证：a2+b2c2
证明：连结 BD点B作DE边高BFBFb﹣a
∵S五边形ACBED S△ACB+S△ABE+S△ADEab+b2+ab
∵S五边形ACBED S△ACB+S△ABD+S△BDEab+c2+a（b﹣a）
∴ ab+b2+abab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2．
考点：
勾股定理证明．版权切
专题：
推理填 空 题．
分析：
首先连结BD点B作DE边高BFBFb﹣a表示出S五边形ACBED进出答案．
解答：
证明：连结BD点B作DE边高BFBFb﹣a
∵S五边形ACBEDS△ACB+S△ABE+S△ADEab+b2+ab
∵S五边形ACBEDS△ACB+S△ABD+S△BDEab+c2+a（b﹣a）
∴ab+b2+abab+c2+a（b﹣a）
∴a2+b2c2．
点评：
题次考查勾股定理证明表示出五边形面积解题关键．
7．（2014•）图四边形ABCD中E点AD中∠BAE∠BCE∠ACD90°BCCE．请残缺阐明△ABC△DEC全等理．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根∠BCE∠ACD90°∠3∠5根∠BAE∠1+∠290°∠2+∠D90°∠1∠D继根AAS判定△ABC≌△DEC．
解答：
解：∵∠BCE∠ACD90°
∴∠3+∠4∠4+∠5
∴∠3∠5
△ACD中∠ACD90°
∴∠2+∠D90°
∵∠BAE∠1+∠290°
∴∠1∠D
△ABC△DEC中
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
点评：
题考查全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
8．（2014•遂宁）图根图中数完成填空求答题：
sin2A1+sin2B1 1 sin2A2+sin2B2 1 sin2A3+sin2B3 1 ．
（1）观察述等式猜想：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B 1 ．
（2）图④Rt△ABC中∠C90°∠A∠B∠C边分abc利三角函数定义勾股定理证明猜想．
（3）已知：∠A+∠B90°sinA求si．
考点：
勾股定理互余两角三角函数关系解直角三角形．版权切
专题：
综合题规律型．
分析：
（1）前面结猜想出：Rt△ABC中∠C90°sin2A+sin2B1
（2）Rt△ABC中∠C90°．利锐角三角函数定义出sinAsisin2A+sin2B根勾股定理a2+b2c2证明sin2A+sin2B1
（3）利关系式sin2A+sin2B1已知条件sinA进行求解．
解答：
解：（1）图知：sin2A1+sin2B1（）2+（）21
sin2A2+sin2B2（）2+（）21
sin2A3+sin2B3（）2+（）21．
观察述等式猜想：sin2A+sin2B1．
（2）图Rt△ABC中∠C90°．
∵sinAsi
∴sin2A+sin2B
∵∠C90°
∴a2+b2c2
∴sin2A+sin2B1．
（3）∵sinAsin2A+sin2B1
∴si．
点评：
题考查直角三角形中互余两角三角函数关系勾股定理锐角三角函数定义较简单．
9．（2014•邵阳）图已知点AFEC断线AB∥CD∠ABE∠CDFAFCE．
（1）图中找两组全等三角形
（2）（1）中选组进行证明．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根标题条件分析出△ABE≌△CDF△AFD≌△CEB
（2）根AB∥CD∠1∠2根AFCEAEFC然证明△ABE≌△CDF．
解答：
解：（1）△ABE≌△CDF△AFD≌△CEB
（2）∵AB∥CD
∴∠1∠2
∵AFCE
∴AF+EFCE+EF
AEFC
△ABE△CDF中
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
点评：
题次考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
10．（2014•南京）成绩提出
学三角形全等判定方法（SASASAAASSSS）直角三角形全等判定方法（HL）继续两三角形满足两边中边角应相等情形进行研讨．
初步考虑
妨成绩符号言语表示：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E然∠B进行分类分∠B直角钝角锐角三种情况进行探求．
深入探求
种情况：∠B直角时△ABC≌△DEF．
（1）图①△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E90°根 HL 知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：∠B钝角时△ABC≌△DEF．
（2）图②△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E钝角求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：∠B锐角时△ABC△DEF定全等．
（3）△ABC△DEFACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角请尺规图③中作出△DEF△DEF△ABC全等．（写作法保留作图痕迹）
（4）∠B满足什条件△ABC≌△DEF？请直接写出结：△ABC△DEF中ACDFBCEF∠B∠E∠B∠E锐角 ∠B≥∠A △ABC≌△DEF．
考点：
全等三角形判定性质作图—运设计作图．版权切
专题：
压轴题探求型．
分析：
（1）根直角三角形全等方法HL证明
（2）点C作CG⊥AB交AB延伸线G点F作FH⊥DE交DE延伸线H根等角补角相等求出∠CBG∠FEH利角角边证明△CBG△FEH全等根全等三角形应边相等CGFH利HL证明Rt△ACGRt△DFH全等根全等三角形应角相等∠A∠D然利角角边证明△ABC△DEF全等
（3）点C圆心AC长半径画弧AB相交点DEB重合FC重合△DEF△ABC全等
（4）根三种情况结∠B∠A．
解答：
（1）解：HL
（2）证明：图点C作CG⊥AB交AB延伸线G点F作FH⊥DE交DE延伸线H
∵∠ABC∠DEF∠ABC∠DEF钝角
∴180°﹣∠B180°﹣∠E
∠CBG∠FEH
△CBG△FEH中
∴△CBG≌△FEH（AAS）
∴CGFH
Rt△ACGRt△DFH中
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL）
∴∠A∠D
△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（3）解：图△DEF△ABC全等
（4）解：∠B≥∠A△ABC≌△DEF．
答案：（1）HL（4）∠B≥∠A．
点评：
题考查全等三角形判定性质运设计作图纯熟掌握三角形全等判定方法解题关键阅读量较审题认真细心．
11．（2014•梅州）图Rt△ABC中∠B90°分AC圆心AC长半径画弧两弧相交点MN连结MNACBC分交点DE连结AE：
（1）∠ADE 90 °
（2）AE EC（填＞＜）
（3）AB3AC5时△ABE周长 7 ．
考点：
线段垂直分线性质勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）作图知MN线段AC垂直分线出结
（2）根线段垂直分线性质出结
（3）先根勾股定理求出BC长进出结．
解答：
解：（1）∵作图知MN线段AC垂直分线
∴∠ADE90°．
答案：90°
（2）∵MN线段AC垂直分线
∴AEEC．
答案：
（3）∵Rt△ABC中∠B90°AB3AC5
∴BC4
∵AECE
∴△ABE周长AB+BC3+47．
答案：7．
点评：
题考查线段垂直分线性质勾股定理运熟知线段垂直分线性质解答题关键．
12．（2014•锦州）图△ABC中点DABCDCB点EBD中点点FAC中点连结EF交CD点M连接AM．
（1）求证：EFAC．
（2）∠BAC45°求线段AMDMBC间数量关系．
考点：
直角三角形斜边中线等腰三角形判定性质等腰直角三角形．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）根等腰三角形三线合性质CE⊥BD根直角三角形斜边中线等斜边半EFAC
（2）判断出△AEC等腰直角三角形根等腰直角三角形性质EF垂直分AC根线段垂直分线点两端点距离相等AMCM然求出CDAM+DM等量代换解．
解答：
（1）证明：∵CDCB点EBD中点
∴CE⊥BD
∵点FAC中点
∴EFAC
（2）解：∵∠BAC45°CE⊥BD
∴△AEC等腰直角三角形
∵点FAC中点
∴EF垂直分AC
∴AMCM
∵CDCM+DMAM+DMCDCB
∴BCAM+DM．
点评：
题考查直角三角形斜边中线等斜边半性质等腰三角形性质等腰直角三角形判定性质难点（2）判断出EF垂直分AC．
13．（2014•吉林）图△ABC△DAE中∠BAC∠DAEABAEACAD连接BDCE求证：△ABD≌△AEC．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
根∠BAC∠DAE∠BAD∠CAE根全等条件出结．
解答：
证明：∵∠BAC∠DAE
∴∠BAC﹣∠BAE∠DAE﹣∠BAE
∠BAD∠CAE
△ABD△AEC中
∴△ABD≌△AEC（SAS）．
点评：
题考查全等三角形判定判断三角形全等方法：SSSSASASAAAS判断两直角三角形全等方法HL．
14．（2014•黄石）明听说武黄城际列车开通便设计成绩：图黄石A坐客车武昌客运站BA坐城际列车武汉青山站C青山站C坐市公汽车武昌客运站B．设AB80kmBC20km∠ABC120°．请协助明处理成绩：
（1）求AC间距离（参考数46）
（2）客车均速度60kmh市公汽车均速度40kmh城际列车均速度180kmh短工夫达武昌客运站明应该选择种车？请阐明理．（计候车工夫）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
图形成绩．
分析：
（1）点C作AB垂线交AB延伸线E点利勾股定理求AC长
（2）分求车工夫然较答案．
解答：
解：（1）点C作AB垂线交AB延伸线E点
∵∠ABC120°BC20
∴BE10
△ACE中
∵AC28100+300
∴
（2）客车需工夫（时）
列车需工夫（时）
∴选择城际列车．
点评：
题考查勾股定理运解题关键正确构造直角三角形．
15．（2014•衡阳）图△ABC中ABACBDCDDE⊥ABDF⊥AC垂足分点EF．
求证：△BED≌△CFD．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根ABAC∠B∠CDE⊥ABDF⊥AC∠BED∠CFD90°然利AAS定理判定△BED≌△CFD．
解答：
证明：∵DE⊥ABDF⊥AC
∴∠BED∠CFD90°
∵ABAC
∴∠B∠C
△BED△CFD中
∴△BED≌△CFD（AAS）．
点评：
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
16．（2014•菏泽）（1）△ABC中AD分∠BACBD⊥AD垂足DD作DE∥AC交ABEAB5求线段DE长．
（2）已知x2﹣4x+10求﹣值．
考点：
等腰三角形判定性质分式化简求值行线性质直角三角形斜边中线．版权切
分析：
（1）求出∠CAD∠BAD∠EDA推出AEDE求出∠ABD∠EDB推出BEDE求出AEBE根直角三角形斜边中线性质求出．
（2）化简前全体思想代入答案．
解答：
解：（1）∵AD分∠BAC
∴∠BAD∠CAD
∵DE∥AC
∴∠CAD∠ADE
∴∠BAD∠ADE
∴AEDE
∵AD⊥DB
∴∠ADB90°
∴∠EAD+∠ABD90°∠ADE+∠BDE∠ADB90°
∴∠ABD∠BDE
∴DEBE
∵AB5
∴DEBEAE25．
（2）原式
∵x2﹣4x+10∴x2﹣4x﹣1
原式
点评：
题考查行线性质等腰三角形性质判定直角三角形斜边中线性质运关键求出DEBEAE．学会全体思想解答关成绩学关键．
17．（2014•菏泽）图AB⊙O直径点C⊙O连接BCAC作OD∥BC点A切线交点D连接DC延伸交AB延伸线点E．
（1）求证：DE⊙O切线
（2）求cos∠ABC值．
考点：
勾股定理切线判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）图连接OC．欲证DE⊙O切线需证OC⊥DE
（2）设CE2k（k＞0）DE3kRt△DAE中勾股定理求AE2k．tan∠E．Rt△OCE中tan∠E．
Rt△AOD中勾股定理ODkcos∠ABCcos∠AOD．
解答：
（1）证明：图连接OC．
∵AD点A切线AB⊙O直径
∴AD⊥AB
∴∠DAB90°．
∵OD∥BC
∴∠1∠2∠3∠4．
∵OCOB
∴∠2∠4．
∴∠1∠3．
△COD△AOD中
∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD∠DAB90°OC⊥DE点C．
∵OC⊙O半径
∴DE⊙O切线
（2）解：设CE2k（k＞0）DE3k
∴ADDCk．
∴Rt△DAE中AE2k．
∴tan∠E．
∵Rt△OCE中tan∠E．
∴
∴OCOA．
∴Rt△AOD中ODk
∴cos∠ABCcos∠AOD．
点评：
题考查切线判定性质．证某线圆切线已知线圆某点连接圆心点（半径）证垂直．
18．（2014•德州）成绩背景：
图1：四边形ABCD中ABAD∠BAD120°∠B∠ADC90°．EF分BCCD点．∠EAF60°．探求图中线段BEEFFD间数量关系．
王窗探求成绩方法延伸FD点G．DGBE．连结AG先证明△ABE≌△ADG证明△AEF≌△AGF出结结应 EFBE+DF
探求延伸：
图2四边形ABCD中ABAD∠B+∠D180°．EF分BCCD点∠EAF∠BAD述结否然成立阐明理
实践运：
图3某次军事演中舰艇甲指挥（O处）北偏西30°A处舰艇乙指挥南偏东70°B处两舰艇指挥距离相等接举动指令舰艇甲正东方60海里时速度前进舰艇乙北偏东50°方80海里时速度前进15时指挥观测甲乙两舰艇分达EF处两舰艇间夹角70°试求时两舰艇间距离．
考点：
全等三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题探求型．
分析：
成绩背景：根全等三角形应边相等解答
探求延伸：延伸FDGDGBE连接AG根角补角相等求出∠B∠ADG然利边角边证明△ABE△ADG全等根全等三角形应边相等AEAG∠BAE∠DAG求出∠EAF∠GAF然利边角边证明△AEF△GAF全等根全等三角形应边相等EFGF然求解
实践运：连接EF延伸AEBF相交点C然求出∠EAF∠AOB判断出符合探求延伸条件根探求延伸结解答．
解答：
解：成绩背景：EFBE+DF
探求延伸：EFBE+DF然成立．
证明：图延伸FDGDGBE连接AG
∵∠B+∠ADC180°∠ADC+∠ADG180°
∴∠B∠ADG
△ABE△ADG中
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴AEAG∠BAE∠DAG
∵∠EAF∠BAD
∴∠GAF∠DAG+∠DAF∠BAE+∠DAF∠BAD﹣∠EAF∠EAF
∴∠EAF∠GAF
△AEF△GAF中
∴△AEF≌△GAF（SAS）
∴EFFG
∵FGDG+DFBE+DF
∴EFBE+DF
实践运：图连接EF延伸AEBF相交点C
∵∠AOB30°+90°+（90°﹣70°）140°
∠EOF70°
∴∠EOF∠AOB
∵OAOB
∠OAC+∠OBC（90°﹣30°）+（70°+50°）180°
∴符合探求延伸中条件
∴结EFAE+BF成立
EF15×（60+80）210海里．
答：时两舰艇间距离210海里．
点评：
题考查全等三角形判定性质读懂成绩背景求解思绪作辅助线构造出全等三角形两次证明三角形全等解题关键题难点．
19．（2013•淄博）图AD∥BCBD分∠ABC．求证：ABAD．
考点：
等腰三角形判定性质行线性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
根AD∥BC求证∠ADB∠DBC利BD分∠ABC等量代换求证∠ABD∠ADB然出结．
解答：
证明：∵AD∥BC
∴∠ADB∠DBC
∵BD分∠ABC
∴∠ABD∠DBC
∴∠ABD∠ADB
∴ABAD．
点评：
题次考查先生等腰三角形判定性质行线性质理解掌握题简单属基础题．
20．（2013•云南）图点BAE点DACABAD．请添加适条件△ABC≌△ADE（添加）．
（1）添加条件 ∠C∠E ．
（2）添加条件请阐明△ABC≌△ADE理．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
开放型．
分析：
（1）根全等三角形判定方法选择添加条件
（2）根全等三角形判定方法证明．
解答：
解：（1）∵ABAD∠A∠A
∴利AAS添加∠C∠E
利ASA添加∠ABC∠ADE∠EBC∠CDE
利SAS添加ACAEBEDC
综述添加条件∠C∠E（∠ABC∠ADE∠EBC∠CDEACAEBEDC）
答案：∠C∠E
（2）选∠C∠E条件．
理：△ABC△ADE中
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定开放型标题根三角形全等判定方法选择添加条件相反．
21．（2013•湘西州）图Rt△ABC中∠C90°AD分∠CABDE⊥ABEAC6BC8CD3．
（1）求DE长
（2）求△ADB面积．
考点：
角分线性质勾股定理．版权切
分析：
（1）根角分线性质出CDDE代入求出
（2）利勾股定理求出AB长然计算△ADB面积．
解答：
解：（1）∵AD分∠CABDE⊥AB∠C90°
∴CDDE
∵CD3
∴DE3
（2）Rt△ABC中勾股定理：AB10
∴△ADB面积S△ADBAB•DE×10×315．
点评：
题考查角分线性质勾股定理运留意：角分线点角两边距离相等．
22．（2013•仙桃）图已知△ABC≌△ADEABED交点MBCEDAD分交点FN．请写出图中两全等三角形（△ABC≌△ADE外）选择中加证明．
考点：
全等三角形判定．版权切
分析：
找两三角形全等条件三角形全等写出选择组证明．
解答：
解：△AEM≌△ACN△BMF≌△DNF△ABN≌△ADM．
选择△AEM≌△ACN
理：
∵△ADE≌△ABC
∴AEAC∠E∠C∠EAD∠CAB
∴∠EAM∠CAN
∵△AEM△ACN中
∴△AEM≌△ACN（ASA）．
点评：
题考查三角形全等判定方法等腰三角形性质判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
23．（2013•天水）图四边形ABCD中角线ACBD交点E∠BAC90°∠CED45°∠DCE30°DEBE2．求CD长四边形ABCD面积．
考点：
勾股定理含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
利等腰直角三角形性质出EHDH1进出利直角三角形中30°边等斜边半出CD长求出ACAB长出四边形ABCD面积．
解答：
解：点D作DH⊥AC
∵∠CED45°DH⊥ECDE
∴EHDH
∵EH2+DH2ED2
∴EH21
∴EHDH1
∵∠DCE30°
∴DC2HC
∵∠AEB45°∠BAC90°
BE2
∴ABAE2
∴AC2+1+3+
∴S四边形ABCD×2×（3+）+×1×（3+）．
点评：
题次考查解直角三角形三角形面积求法根已知构造直角三角形进出直角边长度解题关键．
24．（2013•州）图点FBEC断线BFCE∠ABC∠DEF．否面已知条件证明△ABC≌△DEF？果请出证明果请列三条件中选择合适条件添加已知条件中△ABC≌△DEF出证明．
提供三条件：①ABDE②ACDF③AC∥DF．
考点：
全等三角形判定．版权切
分析：
BFCEEFCB条件∠ABC∠DEF证明△ABC≌△DEF加条件①ABDE利SAS定理判定△ABC≌△DEF．
解答：
解：
选择条件：①ABDE
∵BFCE
∴BF+BECE+BE
EFCB
△ABC△DFE中
∴△ABC≌△DFE（SAS）．
点评：
题次考查全等三角形判定判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
25．（2013•宁德）图点DAC断线AB∥CEABCD∠B∠D
求证：△ABC≌△CDE．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根AB∥CE∠BAC∠DCE加条件ABCD∠B∠D利ASA定理证明三角形全等．
解答：
证明：∵AB∥CE
∴∠BAC∠DCE
△ABC△CDE中
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
点评：
题次考查全等三角形判定关键掌握判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
26．（2013•荆州）图△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°DAB连结BE．请找出全等三角形阐明理．
考点：
全等三角形判定等腰直角三角形．版权切
分析：
分析 根等角余角相等出∠ACD∠BCECACBCDCE证明△ACD≌△BCE．
解答：
解：△ACD≌△BCE．
证明∵∠ACB∠DCE90°
∴∠ACB﹣∠DCB∠DCE﹣∠DCB
∠ACD∠BCE．
∵△ABC△CDE均等腰直角三角形∠ACB∠DCE90°
∴CACBCDCE
△ACD△BCE中
∵
∴△ACD≌△BCE．
点评：
题考查全等三角形判定性质解答题关键掌握三角形全等判定定理．
27．（2013•杭州）（1）先求解列两题：
①图①点BD射线AM点CE射线ANABBCCDDE已知∠EDM84°求∠A度数
②图②直角坐标系中点Ay轴正半轴AC∥x轴点BC横坐标3BC2点DAC横坐标1反例函数图象点BD求k值．
（2）解题发现两题什点？请简单写出．
考点：
等腰三角形性质反例函数图象点坐标特征．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）①根等边等角∠A∠BCA∠CBD∠BDC∠ECD∠CED根三角形外角等相邻两角∠A+∠BCA∠CBD∠A+∠CDB∠ECD∠A+∠CED∠EDM然∠A表示出∠EDM计算求解
②先根反例函数图象点坐标特征表示出点B坐标表示出点C坐标然根AC∥x轴点CD坐标相反表示出点D坐标代入反例函数解析式进行计算解．
（2）数学思想考虑解答．
解答：
解：（1）①∵ABBCCDDE
∴∠A∠BCA∠CBD∠BDC∠ECD∠CED
根三角形外角性质∠A+∠BCA∠CBD∠A+∠CDB∠ECD∠A+∠CED∠EDM
∵∠EDM84°
∴∠A+3∠A84°
解∠A21°
②∵点B反例函数y图象点BC横坐标3
∴点B（3）
∵BC2
∴点C（3+2）
∵AC∥x轴点DAC横坐标1
∴D（1+2）
∵点D反例函数图象
∴+2k
解k3
（2）已知量关系表达未知量运转换思想方法．（开放题）
点评：
题考查等腰三角形两底角相等性质三角形外角等相邻两角性质反例函数图象点坐标特征基础题．
28．（2013•贵阳）△ABC中BCaACbABc设c长边a2+b2c2时△ABC直角三角形a2+b2≠c2时利代数式a2+b2c2关系探求△ABC外形（角分类）．
（1）△ABC三边分689时△ABC 锐角 三角形△ABC三边分6811时△ABC 钝角 三角形．
（2）猜想a2+b2 ＞ c2时△ABC锐角三角形a2+b2 ＜ c2时△ABC钝角三角形．
（3）判断a2b4时△ABC外形求出应c取值范围．
考点：
勾股定理逆定理勾股定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）利勾股定理列式求出两直角边68时斜边值然作出判断
（2）根（1）中计算作出判断
（3）根三角形意两边第三边求出长边c点值然c取值范围然分情况讨解．
解答：
解：（1）两直角边分68时斜边10
∴△ABC三边分689时△ABC锐角三角形
△ABC三边分6811时△ABC钝角三角形
答案：锐角钝角
（2）a2+b2＞c2时△ABC锐角三角形
a2+b2＜c2时△ABC钝角三角形
答案：＞＜
（3）∵c长边2+46
∴4≤c＜6
a2+b222+4220
①a2+b2＞c2c2＜200＜c＜2
∴4≤c＜2时三角形锐角三角形
②a2+b2c2c220c2
∴c2时三角形直角三角形
③a2+b2＜c2c2＞20c＞2
∴2＜c＜6时三角形钝角三角形．
点评：
题考查勾股定理勾股定理逆定理读懂标题信息理解三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形时三条边数量关系解题关键．
29．（2013•佛山）课指出：公认真命题称公理公理外真命题（推定理等）正确性需求推理方法证明．
（1）叙说三角形全等判定方法中推AAS
（2）证明推AAS．
求：叙说推文字表达图形中符号表达已知求证证明证明步骤注明根．
考点：
全等三角形判定命题定理．版权切
分析：
（1）两边夹角分应相等两三角形全等．
（2）根三角形角定理全等三角形判断定理ASA证明．
解答：
解：（1）三角形全等判定方法中推AAS指：两角中角边应相等两三角形全等．
（2）已知：△ABC△DEF中∠A∠D∠C∠FBCEF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：图△ABC△DEF中∠A∠D∠C∠F（已知）
∴∠A+∠C∠D+∠F（等量代换）．
∵∠A+∠B+∠C180°∠D+∠E+∠F180°（三角形角定理）
∴∠B∠E．
∵△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
点评：
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
30．（2013•防城港）图ABAE∠1∠2∠C∠D．
求证：△ABC≌△AED．
考点：
全等三角形判定．版权切
专题：
证明题．
分析：
首先根∠1∠2∠BAC∠EAD加条件ABAE∠C∠D证明△ABC≌△AED．
解答：
证明：∵∠1∠2
∴∠1+∠EAC∠2+∠EAC
∠BAC∠EAD
∵△ABC△AED中
∴△ABC≌△AED（AAS）．
点评：
题次考查三角形全等判定方法判定两三角形全等普通方法：SSSSASASAAASHL．
留意：AAASSA判定两三角形全等判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
31．（2013•鄂州）明华栋电梯楼前感慨楼房真高．明说：楼少20层华然：20层？没数数知道明说：事数明白华想想说：没成绩量量吧明华楼体两侧选AB两点测量数图中矩形CDEF表示楼体AB150米CD10米∠A30°∠B45°（ACDB四点断线）问：
（1）楼高少米？
（2）层楼3米计算支持明华观点呢？请阐明理．（参考数：≈173≈141≈224）
考点：
勾股定理运．版权切
专题：
运题．
分析：
（1）设楼高xCFDExRt△ACFRt△DEB中分x表示ACBD值然根AC+CD+BD150求出x值
（2）根（1）求出楼高x然求出20层楼高度较x20层楼高判断谁观点正确．
解答：
解：（1）设楼高x米CFDEx米
∵∠A30°∠B45°∠ACF∠BDE90°
∴ACx米BDx米
∴x+x150﹣10
解x70（﹣1）（米）
∴楼高70（﹣1）米．
（2）x70（﹣1）≈70（173﹣1）70×073511米＜3×20米
∴支持华观点楼20层．
点评：
题考查勾股定理运解答题关键构造直角三角形利方程思想求解难度普通．
32．（2013•郴州）图△ABC中ABBCAC8tanAkPAC边动点设PCx作PE∥AB交BCEPF∥BC交ABF．
（1）证明：△PCE等腰三角形
（2）EMFNBH分△PEC△AFP△ABC高含xk代数式表示EMFN探求EMFNBH间数量关系
（3）k4时求四边形PEBF面积Sx函数关系式．x值时S值？求出S值．
考点：
等腰三角形判定性质二次函数值解直角三角形．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根等边等角∠A∠C然根两直线行位角相等求出∠CPE∠A∠CPE∠C证
（2）根等腰三角形三线合性质求出CMCP然求出EM理求出FNBH长根结果整理EM+FNBH
（3）分求出EMFNBH然根S△PCES△APFS△ABC根SS△ABC﹣S△PCE﹣S△APF整理Sx关系式然利二次函数值成绩解答．
解答：
（1）证明：∵ABBC
∴∠A∠C
∵PE∥AB
∴∠CPE∠A
∴∠CPE∠C
∴△PCE等腰三角形
（2）解：∵△PCE等腰三角形EM⊥CP
∴CMCPtanCtanAk
∴EMCM•tanC•k
理：FNAN•tanA•k4k﹣
BHAH•tanA×8•k4k
EM+FN+4k﹣4k
∴EM+FNBH
（3）解：k4时EM2xFN16﹣2xBH16
S△PCEx•2xx2S△APF（8﹣x）•（16﹣2x）（8﹣x）2S△ABC×8×1664
SS△ABC﹣S△PCE﹣S△APF
64﹣x2﹣（8﹣x）2
﹣2x2+16x
配方S﹣2（x﹣4）2+32
x4时S值32．
点评：
题考查等腰三角形判定性质行线性质锐角三角函数二次函数值成绩表示出三角形高线解题关键题难点．
33．（2013•阳）某段河流两岸行数学兴味组老师带领涉水河测河宽度样做：
①河流条岸边B点选岸正颗树A
②河岸直走20步树C继续前行20步达D处
③D处河岸垂直方行走达A树正C树遮挡住E处中止行走
④测DE长河宽AB．
请证明做法正确性．
考点：
全等三角形运．版权切
分析：
标题中实践成绩转化数学成绩然利全等三角形判定方法证两三角形全等阐明做法正确性．
解答：
证明：图做法知：
Rt△ABCRt△EDC中
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）
∴ABED
做法正确．
点评：
题考查全等三角形运解题关键实践成绩转化数学成绩．
34．（2013•包头）图根长6米木棒（AB）斜面（OM）垂直墙（ON）面倾斜角（∠ABO）60°．木棒A端墙滑点A′时B端面右滑行点B′．
（1）求OB长
（2）AA′1米时求BB′长．
考点：
勾股定理运解直角三角形运．版权切
分析：
（1）已知数解直角三角形AOB
（2）首先求出OA长OA′长根勾股定理求出OB′长．
解答：
解：（1）根题意知：AB6∠ABO60°∠AOB90°
Rt△AOB中∵cos∠ABO
∴OBABcos∠ABO6cos60°3米
∴OB长3米
（2）根题意知A′B′AB6米
Rt△AOB中∵sin∠ABO
∴OAABsin∠ABO6sin60°9米
∵OA′OA﹣AA′AA′1米
∴OA′8米
Rt△A′OB′中OB′2米
∴BB′OB′﹣OB（2﹣3）米．
点评：
题考查勾股定理运角锐角三角函数中考常见题型．
35．（2012•遵义）图△ABC边长6等边三角形PAC边动点AC运动（AC重合）QCB延伸线点点P时相反速度BCB延伸线方运动（QB重合）P作PE⊥ABE连接PQ交ABD．
（1）∠BQD30°时求AP长
（2）运动程中线段ED长否发生变化？果变求出线段ED长果变化请阐明理．
考点：
等边三角形性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形．版权切
专题：
压轴题动点型．
分析：
（1）△ABC边长6等边三角形知∠ACB60°∠BQD30°知∠QPC90°设APxPC6﹣xQBxRt△QCP中∠BQD30°PCQC6﹣x（6+x）求出x值
（2）作QF⊥AB交直线AB延伸线点F连接QEPF点PQ做匀速运动速度相反知APBQ根全等三角形判定定理出△APE≌△BQFAEBFPEQFPE∥QF知四边形PEQF行四边形进出EB+AEBE+BFABDEAB等边△ABC边长6出DE3点PQ运动时线段DE长度会改变．
解答：
解：（1）∵△ABC边长6等边三角形
∴∠ACB60°
∵∠BQD30°
∴∠QPC90°
设APxPC6﹣xQBx
∴QCQB+BC6+x
∵Rt△QCP中∠BQD30°
∴PCQC6﹣x（6+x）解x2
∴AP2
（2）点PQ时运动速度相反时线段DE长度会改变．理：
作QF⊥AB交直线AB延伸线点F连接QEPF
∵PE⊥ABE
∴∠DFQ∠AEP90°
∵点PQ速度相反
∴APBQ
∵△ABC等边三角形
∴∠A∠ABC∠FBQ60°
△APE△BQF中
∵∠AEP∠BFQ90°
∴∠APE∠BQF
△APE△BQF中
∴△APE≌△BQF（AAS）
∴AEBFPEQFPE∥QF
∴四边形PEQF行四边形
∴DEEF
∵EB+AEBE+BFAB
∴DEAB
∵等边△ABC边长6
∴DE3
∴点PQ时运动速度相反时线段DE长度会改变．
点评：
题考查等边三角形性质全等三角形判定定理行四边形判定性质根题意作出辅助线构造出全等三角形解答题关键．
36．（2012•珠海）图△ABC中ABACAD高AM△ABC外角∠CAE分线．
（1）尺规作图方法作∠ADC分线DN（保留作图痕迹写作法证明）
（2）设DNAM交点F判断△ADF外形．（写结果）
考点：
等腰三角形判定性质作图—基作图．版权切
专题：
作图题．
分析：
（1）D圆心意长半径画弧交ADG交DCH分GH圆心GH半径画弧两弧交N作射线DN交AMF．
（2）求出∠BAD∠CAD求出∠FAD×180°90°求出∠CDF∠AFD∠ADF推出ADAF出答案．
解答：
解：（1）图示：
（2）△ADF外形等腰直角三角形
理：∵ABACAD⊥BC
∴∠BAD∠CAD
∵AF分∠EAC
∴∠EAF∠FAC
∵∠FAD∠FAC+∠DAC∠EAC+∠BAC×180°90°
△ADF直角三角形
∵ABAC
∴∠B∠ACB
∵∠EAC2∠EAF∠B+∠ACB
∴∠EAF∠B
∴AF∥BC
∴∠AFD∠FDC
∵DF分∠ADC
∴∠ADF∠FDC∠AFD
∴ADAF
直角三角形ADF等腰直角三角形．
点评：
题考查作图﹣基作图等腰三角形性质判定运次培养先生动手操作力推理力标题较典型难度适中．
37．（2012•枣庄）已知：图四边形ABCD中∠ABC90°CD⊥ADAD2+CD22AB2．
（1）求证：ABBC
（2）BE⊥ADE时试证明：BEAE+CD．
考点：
勾股定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
证明题．
分析：
（1）根勾股定理AB2+BC2AC2出AB2+BC22AB2进出ABBC
（2）首先证明CDEF矩形根△BAE≌△CBF出AEBF进证明结．
解答：
证明：（1）连接AC．
∵∠ABC90°
∴AB2+BC2AC2．
∵CD⊥AD
∴AD2+CD2AC2．
∵AD2+CD22AB2
∴AB2+BC22AB2
∴BC2AB2
∵AB＞0BC＞0
∴ABBC．
（2）C作CF⊥BEF．
∵BE⊥ADCF⊥BECD⊥AD
∴∠FED∠CFE∠D90°
∴四边形CDEF矩形．
∴CDEF．
∵∠ABE+∠BAE90°∠ABE+∠CBF90°
∴∠BAE∠CBF
∴△BAE△CBF中
∴
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AEBF．
∴BEBF+EFAE+CD．
点评：
题次考查勾股定理运三角形全等证明根已知出四边形CDEF矩形△BAE≌△CBF处理成绩关键．
38．（2012•益阳）图已知AE∥BCAE分∠DAC．
求证：ABAC．
考点：
等腰三角形判定性质行线性质等腰三角形判定．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
根角分线定义∠1∠2根两直线行位角相等∠1∠B两直线行错角相等∠2∠C∠B∠C然根等角等边证．
解答：
证明：∵AE分∠DAC
∴∠1∠2
∵AE∥BC
∴∠1∠B∠2∠C
∴∠B∠C
∴ABAC．
点评：
题考查等腰三角形判定行线性质基础题熟记性质解题关键．
39．（2012•湘潭）图△ABC边长3等边三角形△ABC直线BC右移B点C点重合△DCE连接BD交ACF．
（1）猜想ACBD位关系证明结
（2）求线段BD长．
考点：
等边三角形性质勾股定理移性质．版权切
专题：
探求型．
分析：
（1）移性质知BE2BC6DEAC3出BD⊥DE∠E∠ACB60°知AC∥DE出结
（2）Rt△BDE中利勾股定理出BD长．
解答：
解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE△ABC移成
∴BE2BC6DEAC3∠E∠ACB60°
∴DEBE
∴BD⊥DE
∵∠E∠ACB60°
∴AC∥DE
∴BD⊥AC
∵△ABC等边三角形
∴BF边AC中线
∴BD⊥ACBDAC互相垂直分
（2）∵（1）知AC∥DEBD⊥AC
∴△BED直角三角形
∵BE6DE3
∴BD3．
点评：
题考查等边三角形性质移性质熟知图形移图形原图形全等性质解答题关键．
40．（2012•梧州）图等腰梯形ABCD中AD∥BC点EAD延伸线点CECD．
求证：∠B∠E．
考点：
等腰三角形判定性质等腰三角形性质．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
先根等腰梯形性质出∠B+∠ADC180°根两角互补性质出∠B∠CDE根CECD出∠CDE∠E进出结．
解答：
证明：∵四边形ABCD等腰梯形
∴∠B+∠ADC180°
∵∠ADC+∠CDE180°
∴∠B∠CDE
∵CECD
∴△CDE等腰三角形
∴∠CDE∠E
∴∠B∠E．
点评：
题考查等腰三角形判定性质等腰梯形性质熟知等腰梯形两底角相等解答题关键．
41．（2012•绍兴）联想三角形外心概念引入概念．
定义：三角形两顶点距离相等点做三角形准外心．
举例：图1PAPB点P△ABC准外心．
运：图2CD等边三角形ABC高准外心P高CDPDAB求∠APB度数．
探求：已知△ABC直角三角形斜边BC5AB3准外心PAC边试探求PA长．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质等边三角形性质勾股定理．版权切
专题：
新定义．
分析：
运：连接PAPB根准外心定义分①PBPC②PAPC③PAPB三种情况利等边三角形性质求出PDAB关系然判断出情况③合适根等腰直角三角形性质求出∠APB45°然求出∠APB度数
探求：先根勾股定理求出AC长度根准外心定义分①PBPC②PAPC③PAPB三种情况根三角形性质计算解．
解答：
运：解：①PBPC连接PB∠PCB∠PBC
∵CD等边三角形高
∴ADBD∠PCB30°
∴∠PBD∠PBC30°
∴PDDBAB
已知PDAB矛盾∴PB≠PC
②PAPC连接PA理PA≠PC
③PAPBPDABPDBD
∴∠APD45°
∠APB90°
探求：解：∵BC5AB3
∴AC4
①PBPC设PAxx2+32（4﹣x）2
∴xPA
②PAPCPA2
③PAPB图知Rt△PAB中．
PA2．
点评：
题考查线段垂直分线性质等腰三角形性质勾股定理读懂题意弄清楚准外心定义解题关键根准外心定义留意分三种情况进行讨．
42．（2012•南京）图AB⊙O两定点P⊙O动点（PAB重合）称∠APB⊙O关点AB滑动角．
（1）已知∠APB⊙O关点AB滑动角
①AB⊙O直径∠APB 90 °
②⊙O半径1AB求∠APB度数
（2）已知O2⊙O1外点O2圆心作圆⊙O1相交AB两点∠APB⊙O1关点AB滑动角直线PAPB分交⊙O2MN（点M点A点N点B均重合）连接AN试探求∠APB∠MAN∠A间数量关系．
考点：
勾股定理垂径定理圆周角定理点圆位关系圆圆位关系．版权切
专题：
综合题压轴题．
分析：
（1）①根直径圆周角等90°求解
②根勾股定理逆定理∠AOB90°分点P优弧点P劣弧两种情况讨求解
（2）根点P⊙O1位分四种情况∠APB∠MAN∠A间数量关系．
解答：
解：（1）①AB⊙O直径∠APB90．
②图连接ABOAOB．
△AOB中
∵OAOB1．AB
∴OA2+OB2AB2．
∴∠AOB90°．
点P优弧时∠APB∠AOB45°
点P劣弧时∠AP′B（360°﹣∠AOB）135°
（2）根点P⊙O1位分四种情况．
种情况：点P⊙O2外点A点P点M间点B点P点N间图①
∵∠MAN∠APB+∠A
∴∠APB∠MAN﹣∠A
第二种情况：点P⊙O2外点A点P点M间点N点P点B间图②．
∵∠MAN∠APB+∠ANP∠APB+（180°﹣∠A）
∴∠APB∠MAN+∠A﹣180°
第三种情况：点P⊙O2外点M点P点A间点B点P点N间图③．
∵∠APB+∠A+∠MAN180°
∴∠APB180°﹣∠MAN﹣∠A
第四种情况：点P⊙O2图④
∠APB∠MAN+∠A．
点评：
综合考查圆周角定理勾股定理逆定理点圆位关系题难度较留意分类思想运．
43．（2012•牡丹江）图①△ABC中．ABACP底边BC点PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB垂足分EFH．易证PE+PFCH．证明程：
图①连接AP．
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH．
∵S△ABP+S△ACPS△ABC
∴AB•PE+AC•PFAB•CH．
∵ABAC
∴PE+PFCH．
（1）图②PBC延伸线点时条件变PEPFCH样数量关系？请写出猜想加证明：
（2）填空：∠A30°△ABC面积49点P直线BCP直线AC距离PFPF3时AB边高CH 7 ．点PAB边距离PE 410 ．
考点：
等腰三角形性质三角形面积．版权切
专题：
综合题．
分析：
（1）连接AP．先根三角形面积公式分表示出S△ABPS△ACPS△ABCS△ABPS△ACP+S△ABC出PEPF+PH
（2）先根直角三角形性质出AC2CH△ABC面积49求出CH7CH＞PF分两种情况进行讨：①P底边BC点运结PE+PFCH②PBC延伸线点时运结PEPF+CH．
解答：
解：（1）图②PEPF+CH．证明：
∵PE⊥ABPF⊥ACCH⊥AB
∴S△ABPAB•PES△ACPAC•PFS△ABCAB•CH
∵S△ABPS△ACP+S△ABC
∴AB•PEAC•PF+AB•CH
∵ABAC
∴PEPF+CH
（2）∵△ACH中∠A30°
∴AC2CH．
∵S△ABCAB•CHABAC
∴×2CH•CH49
∴CH7．
分两种情况：
①P底边BC点图①．
∵PE+PFCH
∴PECH﹣PF7﹣34
②PBC延伸线点时图②．
∵PEPF+CH
∴PE3+710．
答案：7410．
点评：
题考查等腰三角形性质三角形面积难度适中运面积证明成绩简便（2）中分情况讨解题关键．
44．（2012•黄冈） 图△ABC中ABAC∠A36°AB垂直分线交AC点E垂足点D连接BE∠EBC度数 36° ．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质．版权切
分析：
DEAB垂直分线根线段垂直分线性质AEBE求∠ABE度数ABAC根等边等角三角形角定理求∠ABC度数继求答案．
解答：
解：∵DEAB垂直分线
∴AEBE
∴∠ABE∠A36°
∵ABAC
∴∠ABC∠C72°
∴∠EBC∠ABC﹣∠ABE72°﹣36°36°．
答案：36°．
点评：
题考查线段垂直分线性质等腰三角形性质．题较简单留意数形思想运．
45．（2012•淮安）图△ABC中∠C90°点DAC已知∠BDC45°BD10AB20．求∠A度数．
考点：
含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
首先直角三角形BDC中利BD长∠BDC45°求线段BC长然直角三角形ABC中求∠A度数
解答：
解：∵直角三角形BDC中∠BDC45°BD10
∴BCBD•sin∠BDC10×10
∵∠C90°AB20
∴sin∠A
∴∠A30°．
点评：
题考查等腰直角三角形含30°角直角三角形知识属基础题较简单．
46．（2012•河池）图10×10正方形网格中△ABC顶点线段EF端点边长1正方形顶点．
（1）填空：tanA AC 2 （结果保留根号）
（2）请图中找出点D（仅点）连接DEDFDEF顶点三角形△ABC全等加证明．
考点：
勾股定理全等三角形判定锐角三角函数定义．版权切
专题：
网格型．
分析：
（1）延伸ABC作延伸线垂线CG直角三角形ACG中CGAG长利锐角三角函数定义求出tanA值利勾股定理求出AC值
（2）图中找出点D连接DEDF△ABC≌△EFD图示理：直角三角形FDM中FMMD长利勾股定理求出FD长理求出BC长出FDBC理出EDACEFAB利SSS出△ABC≌△EFD．
解答：
解：（1）延伸ABC作CG⊥AB交延伸线点G
Rt△ACG中CG2AG4
根勾股定理：AC2
tanA
（2）图中找出点D连接DEDF△ABC≌△EFD右图示
证明：Rt△EMD中EM4MD2
根勾股定理：ED2
Rt△FDM中FM2MD2
根勾股定理：FD2
理Rt△BCG中根勾股定理：BC2
△ABC△EFD中
∵
∴△ABC≌△EFD（SSS）．
答案：（1）2
点评：
题考查勾股定理锐角三角函数定义全等三角形判定纯熟掌握勾股定理解题关键．
47．（2012•抚）图Rt△ABC中∠ACB90°∠ABC30°．点D直线BC动点连接ADAD边AD右侧作等边△ADE．
（1）图①点E恰线段BC时请判断线段DEBE数量关系图①证明结
（2）点E直线BC时连接BE条件变（1）中结否成立？成立请图②予证明成立请直接写出新结
（3）AC3点D直线BC挪动程中否存ACDE顶点四边形梯形？果存直接写出线段CD长度果存请阐明理．
考点：
等边三角形性质全等三角形判定性质含30度角直角三角形勾股定理梯形．版权切
分析：
（1）利等边三角形性质等腰三角形判定解答
（2）点E作EF⊥AB垂足F证△ADC≌△AEF直角三角形中30度角直角边斜边半处理成绩
（3）ACDE顶点梯形性质入手逐渐找出处理成绩．
解答：
解：（1）DEBE． 理：
∵△ADE等边三角形
∴ADDEAE∠AED60°．
∵∠ABC30°∠AED∠ABC+∠EAB
∴∠EAB60°﹣30°30°
∴∠ABC∠EAB
∴EBAE
∴EBDE
（2）图
点E作EF⊥AB垂足F
△ABC中∠ABC30°
∴∠CAB60°
∴∠DAE∠CAB
∴∠DAE﹣∠CAE∠BAC﹣∠CAE
∠CAD∠EAF．
∵ADAE∠ACD∠AFE
∴△ADC≌△AEF
∴ACAF．
△ABC中∠ABC30°
∴ACAB
∴AFBF
∴EAEB
∴DEEB
（3）图
∵四边形ACDE梯形∠ACD90°
∴∠CAE90°．
∵∠CAE∠CAD+∠EAD
∵正三角形ADE中∠EAD60°
∴∠CAD30°．
直角三角形ACD中AC3∠CAD30°
勾股定理CD．
理：点D点B重合AC行DE时CD3
综述：AE∥CDCD点D点B重合时CD3．
点评：
题综合考查等边三角形性质三角形全等判定性质等腰三角形判定性质梯形性质等知识点．
48．（2012•鄂州）明位善考虑先生数学课副直角三角板图位摆放ABD断线EF∥AD∠A∠EDF90°∠C45°∠E60°量DE8试求BD长．
考点：
勾股定理行线性质含30度角直角三角形等腰直角三角形．版权切
分析：
点F作FM⊥ADM利直角三角形中30°角直角边等斜边半行线性质等腰直角三角形性质求出BD长．
解答：
解：点F作FM⊥ADM
∵∠EDF90°∠E60°
∴∠EFD30°
∵DE8
∴EF16
∴DF8
∵EF∥AD
∴∠FDM30°
∴FMDF4
∴MD12
∵∠C45°
∴∠MFB∠B45°
∴FMBM4
∴BDDM﹣BM12﹣4．
点评：
题考查勾股定理运行线性质等腰直角三角形性质解题关键作垂直构造直角三角形利勾股定理求出DM长．
49．（2012•庆）已知等边△ABC边长3单位点PA出发秒1单位速度三角形边A→B→C→A方运动次回点A处中止运动设APSt表示运动工夫．
（1）点PBC运动程中t表示S
（2）t取值时S等（求出切t值）
（3）根（2）中t取值直接写出时段AP？
考点：
等边三角形性质元二次方程运勾股定理．版权切
专题：
代数综合题动点型．
分析：
（1）t表示出PB长利余弦定理表示出AP长
（2）令S等建立关t方程解答
（3）利（2）中求出AP时t取值．
解答：
解：（1）∵AB3BPt﹣3
∴AP232+（t﹣3）2﹣2×3•（t﹣3）•cos60°
9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×
18﹣6t+t2+9﹣3t
t2﹣9t+27
∴S．
（2）tBC时
∵S
∴t2﹣9t+277
解t14t25
pAB时t
pCA时t9﹣．
点PBC时（2）∵S开口
S交点横坐标t14t25
综述：t4t59﹣
（3）根（2）知：0≤t＜4＜t＜59﹣＜t≤9
三工夫段S＜．
点评：
题考查等边三角形性质余弦定理元二次方程二次函数间关系难度较会解元二次方程解题关键．
50．（2012•常州）图四边形ABCD中AD∥BC角线AC中点O点O作AC垂线分ADBC相交点EF连接AF．求证：AEAF．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形判定性质．版权切
专题：
证明题压轴题．
分析：
方法：连接CEEF线段AC垂直分线AECEAE∥BC知∠ACB∠DAC出△AOE≌△COFAECF四边形AFCE行四边形根AECE知四边形AFCE菱形出结．
方法二：首先证明△AOE≌△COFOEOF进AC垂直分EF根线段垂直分线性质AEAF．
解答：
证明：连接CE
∵EF线段AC垂直分线
∴AECEOAOC
∵AE∥BC
∴∠ACB∠DAC
△AOE△COF中
∵
∴△AOE≌△COF
∴AECF
∴四边形AFCE行四边形
∵AECE
∴四边形AFCE菱形
∴AEAF．
法：∵AD∥BC
∴∠EAO∠FCO∠AEO∠CFO
∵
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚
∴OEOF
∴AC垂直分EF
∴AEAF．
点评：
题考查线段垂直分线性质菱形判定定理根题意作出辅助线构造出行四边形解答题关键．
51．（2011•株洲）图△ABC中ABAC∠A36°AC垂直分线交ABED垂足连接EC．
（1）求∠ECD度数
（2）CE5求BC长．
考点：
线段垂直分线性质等腰三角形性质．版权切
专题：
计算题图形成绩．
分析：
（1）EDAC垂直分线AEEC∠A∠C已知∠A36求
（2）△ABC中ABAC∠A36°∠B72°∠BEC∠A+∠ECA72°BCEC5
解答：
解：（1）∵DE垂直分AC
∴CEAE∴∠ECD∠A36°
（2）∵ABAC∠A36°
∴∠B∠ACB72°
∴∠BEC∠A+∠ECD72°
∴∠BEC∠B
∴BCEC5．
答：（1）∠ECD度数36°
（2）BC长5．
点评：
题考查等腰三角形线段垂直分线性质应熟记性质：线段垂直分线点线段两端点距离相等．
52．（2011•枣庄）图边长1正方形组成网格中△ABC三顶点均格点请求完成列题：
（1）画线段AD∥BCADBC连接CD
（2）线段AC长 2 CD长 AD长 5
（3）△ACD 直角 三角形四边形ABCD面积 10
（4）EBC中点tan∠CAE值 ．
考点：
勾股定理勾股定理逆定理作图—基作图锐角三角函数定义．版权切
专题：
作图题．
分析：
（1）根题意画出AD∥BCADBC连接CD
（2）网格中利直角三角形先求AC2CD2AD2值求出AC长CD长AD长
（3）利勾股定理逆定理判断直角三角形求出四边形ABCD面积
（4）成绩转化Rt△ACF中利三角函数定义解题．
解答：
解：（1）图
（2）图象知AC222+4220CD212+225AD232+4225
∴AC2CDAD5
答案：25
（3）∵AD2CD2+AC2∴△ACD直角三角形．
四边形ABCD面积2×（2×÷2）10
答案：直角10
（4）图象知CF2AF4
∴tan∠CAE．
答案：．
点评：
题考查勾股定理逆定理运锐角三角函数定义关键运网格表示线段长度．
53．（2011•州）图等腰直角三角形ABC中∠ABC90°DAC边中点D点作DE丄DF交ABE交BCFAE4FC3求EF长．
考点：
勾股定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
综合题．
分析：
首先连接BD已知等腰直角三角形ABC推出BD⊥ACBDCDAD∠ABD45°DE丄DF推出∠FDC∠EDB等腰直角三角形ABC∠C45°△EDB≌△FDC出BEFC3AB7BC7BF4根勾股定理求出EF长．
解答：
解：连接BD
∵等腰直角三角形ABC中DAC边中点
∴BD⊥AC（三线合）BDCDAD∠ABD45°
∴∠C45°
∴∠ABD∠C
∵DE丄DF
∴∠FDC+∠BDF∠EDB+∠BDF
∴∠FDC∠EDB
△EDB△FDC中
∵
∴△EDB≌△FDC（ASA）
∴BEFC3
∴AB7BC7
∴BF4
Rt△EBF中
EF2BE2+BF232+42
∴EF5．
答：EF长5．
点评：
题考查知识点勾股定理全等三角形判定关键已知先证三角形全等求BEBF勾股定理求出EF长．
54．（2011•沈阳）图△ABC中ABACDBC边点∠B30°∠DAB45°．
（1）求∠DAC度数
（2）求证：DCAB．
考点：
等腰三角形性质．版权切
专题：
计算题．
分析：
（1）ABAC根等腰三角形两底角相等∠B∠C30°根三角形角定理计算出∠BAC120°∠DAB45°∠DAC∠BAC﹣∠DAB120°﹣45°
（2）根三角形外角性质∠ADC∠B+∠DAB75°（1）∠DAC75°根等腰三角形判定DCAC样结．
解答：
（1）解：∵ABAC
∴∠B∠C30°
∵∠C+∠BAC+∠B180°
∴∠BAC180°﹣30°﹣30°120°
∵∠DAB45°
∴∠DAC∠BAC﹣∠DAB120°﹣45°75°
（2）证明：∵∠DAB45°
∴∠ADC∠B+∠DAB75°
∴∠DAC∠ADC
∴DCAC
∴DCAB．
点评：
题考查等腰三角形性质判定定理：等腰三角形两底角相等两角相等三角形等腰三角形．考查三角形角定理．
55．（2011•青海）认真阅读面关三角形外角分线夹角探求片段完成提出成绩．
探求1：图1△ABC中O∠ABC∠ACB分线BOCO交点分析发现∠BOC90°+理：
∵BOCO分∠ABC∠ACB角分线
∴
∴
∵∠ABC+∠ACB180°﹣∠A
∴
∴∠BOC180°﹣（∠1+∠2）180°﹣（90°﹣∠A）
探求2：图2中O∠ABC外角∠ACD分线BOCO交点试分析∠BOC∠A样关系？请阐明理．
探求3：图3中O外角∠DBC外角∠ECB分线BOCO交点∠BOC∠A样关系？（写结需证明）
结： ∠BOC90°﹣∠A ．
考点：
三角形外角性质三角形角定理．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）根提供信息根三角形外角等相邻两角∠A∠1表示出∠2利∠O∠1表示出∠2然整理∠BOC∠A关系
（2）根三角形外角等相邻两角角分线定义表示出∠OBC∠OCB然根三角形角定理列式整理解．
解答：
解：（1）探求2结：∠BOC∠A
理：
∵BOCO分∠ABC∠ACD角分线
∴∠1∠ABC∠2∠ACD
∵∠ACD△ABC外角
∴∠ACD∠A+∠ABC
∴∠2（∠A+∠ABC）∠A+∠1
∵∠2△BOC外角
∴∠BOC∠2﹣∠1∠A+∠1﹣∠1∠A
（2）探求3：∠OBC（∠A+∠ACB）∠OCB（∠A+∠ABC）
∠BOC180°﹣∠0BC﹣∠OCB
180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）
180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB）
结∠BOC90°﹣∠A．
点评：
题考查三角形外角性质角定理熟记三角形外角等相邻两角解题关键读懂标题提供信息然利提供信息思绪重．
56．（2011•宁波）阅读面情景话然解答成绩：
（1）根奇异三角形定义请判断华提出命题：等边三角形定奇异三角形真命题假命题？
（2）Rt△ABC中∠C90°ABcACbBCab＞aRt△ABC奇异三角形求a：b：c
（3）图AB⊙O直径C⊙O点（点AB重合）D半圆中点CD直径AB两侧⊙O存点EAEADCBCE．
①求证：△ACE奇异三角形
②△ACE直角三角形时求∠AOC度数．
考点：
勾股定理等边三角形性质圆周角定理．版权切
专题：
压轴题新定义．
分析：
（1）根奇异三角形定义等边三角形性质求证
（2）根勾股定理奇异三角形性质a2+b2c2a2+c22b2a表示出bc求答案
（3）①AB⊙O直径求∠ACB∠ADB90°然利勾股定理圆性质证
②利（2）中结分AC：AE：CE1：：AC：AE：CE：：1分析求结果．
解答：
解：（1）设等边三角形边aa2+a22a2
∴符合奇异三角形定义．
∴真命题
（2）∵∠C90°
a2+b2c2①
∵Rt△ABC奇异三角形b＞a
∴a2+c22b2②
①②：baca
∴a：b：c1：：
（3）∵①AB⊙O直径
∴∠ACB∠ADB90°
Rt△ACB中AC2+BC2AB2
Rt△ADB中AD2+BD2AB2
∵点D半圆中点
∴
∴ADBD
∴AB2AD2+BD22AD2
∴AC2+CB22AD2
∵CBCEAEAD
∴AC2+CE22AE2
∴△ACE奇异三角形
②①△ACE奇异三角形
∴AC2+CE22AE2
△ACE直角三角形时
（2）：AC：AE：CE1：：AC：AE：CE：：1
AC：AE：CE1：：时AC：CE1：AC：CB1：
∵∠ACB90°
∴∠ABC30°
∴∠AOC2∠ABC60°
AC：AE：CE：：1时AC：CE：1AC：CB：1
∵∠ACB90°
∴∠ABC60°
∴∠AOC2∠ABC120°．
∴∠AOC度数60°120°．
点评：
题考查新定义知识勾股定理圆性质三角函数等知识．解题关键理解题意抓住数形思想运．
57．（2011•牡丹江）△ABC中AB2AC4BC2AB边△ABC外作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
考点：
勾股定理逆定理全等三角形判定性质．版权切
分析：
根题意中△ABD等腰直角三角形显然应分三种情况：∠ABD90°∠BAD90°∠ADB90°．然巧妙构造辅助线出现全等三角形直角三角形利全等三角形性质勾股定理进行求解．
解答：
解：∵AC4BC2AB
∴AC2+BC2AB2
∴△ACB直角三角形∠ACB90°．
分三种情况：
图（1）点D作DE⊥CB垂足点E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED∠ACB90°（垂直定义）
∴∠CAB+∠CBA90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD等腰直角三角形（已知）
∴ABBD∠ABD90°（等腰直角三角形定义）
∴∠CBA+∠DBE90°（角定义）
∴∠CAB∠EBD（角余角相等）
△ACB△BED中
∵∠ACB∠BED∠CAB∠EBDABBD（已证）
∴△ACB≌△BED（AAS）
∴BEAC4DECB2（全等三角形应边相等）
∴CE6（等量代换）
根勾股定理：CD2
图（2）点D作DE⊥CA垂足点E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED∠ACB90°（垂直定义）
∴∠EAD+∠EDA90°（直角三角形两锐角互余）
∵△ABD等腰直角三角形（已知）
∴ABAD∠BAD90°（等腰直角三角形定义）
∴∠CAB+∠DAE90°（角定义）
∴∠BAC∠ADE（角余角相等）
△ACB△DEA中
∵∠ACB∠DEA（已证）∠CAB∠EDA（已证） ABDA（已证）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DEAC4AEBC2（全等三角形应边相等）
∴CE6（等量代换）
根勾股定理：CD2
图（3）点D作DE⊥CB垂足点E点A作AF⊥DE垂足点F．
∵∠C90°
∴∠CAB+∠CBA90°
∵∠DAB+∠DBA90°
∴∠EBD+∠DAF90°
∵∠EBD+∠BDE90°∠DAF+∠ADF90°
∴∠DBE∠ADF
∵∠BED∠AFD90°DBAD
∴△AFD≌△DEB
EDAF
∠ACB∠CED∠AFE90°
四边形CEFA矩形
CEAFEFAC4
设DFxBEx
EC2+xAFDEEF﹣DF4﹣x
2+x4﹣x
解：x1
ECDE3
CD3．
点评：
题综合考查全等三角形判定性质勾股定理．
58．（2011•梅州）图1已知线段AB长2a点PAB动点（PAB重合）分APPB边线段AB侧作正△APC正△PBD．
（1）△APC△PBD面积取值时AP a （直接写结果）
（2）连接ADBC相交点Q设∠AQCαα否会点P挪动面变化？请阐明理
（3）图2点P固定△PBD绕点P时针方旋转（旋转角180°）时α否发生变化？（需直接写出猜想必证明）
考点：
等边三角形性质三角形角定理全等三角形判定性质．版权切
专题：
压轴题．
分析：
（1）设AP长x然利x表示出两三角形面积利二次函数性质求x值
（2）首先证△APD≌△CPB然根三角形外角性质求解
（3）旋转程中（2）中两三角形全等关系变角度会变化．
解答：
解：（1）设AP长xBP2a﹣x
∴S△APC+S△PBDx•x+（2a﹣x）•（2a﹣x）
x2﹣ax+a2
x﹣﹣a时△APC△PBD面积取值
答案：a
（2）α会点P挪动变化
理：∵△APC等边三角形
∴PAPC∠APC60°
∵△BDP等边三角形
∴PBPD∠BPD60°
∴∠APC∠BPD
∴∠APD∠CPB
∴△APD≌△CPB
∴∠PAD∠PCB
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠AQC180°﹣120°60°
（3）时α会发生改变直等60°．
理：∵△APC等边三角形
∴PAPC∠APC60°
∵△BDP等边三角形
∴PBPD∠BPD60°
∴∠APC∠BPD
∴∠APD∠CPB
∴△APD≌△CPB
∴∠PAD∠PCB
∵∠QAP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠QCP+∠QAC+∠ACP120°
∴∠AQC180°﹣120°60°．
点评：
题考查旋转性质全等三角形判定性质正确证明两三角形全等解题关键．
59．（2011•连云港）某课题研讨组图形面积成绩进行专题研讨发现结：
（1）条边应相等两三角形面积等条边应高
（2）角应相等两三角形面积等夹角两边积
…
现请继续面成绩进行探求探求程直接运述结．（S表示面积）
成绩1：图1现块三角形纸板ABCP1P2三等分边ABR1R2三等分边AC．探求知S△ABC请证明．
成绩2：块三角形纸板成绩1中拼合成四边形ABCD图2Q1Q2三等分边DC．请探求S四边形ABCD间数量关系．
成绩3：图3P1P2P3P4五等分边ABQ1Q2Q3Q4五等分边DC．S四边形ABCD1求．
成绩4：图4P1P2P3四等分边ABQ1Q2Q3四等分边DCP1Q1P2Q2P3Q3四边形ABCD分成四部分面积分S1S2S3S4．请直接写出含S1S2S3S4等式．
考点：
三角形面积．版权切
专题：
压轴题．
分析：
成绩1图1中连接P1R2R2B三角形中线性质S△AP1R1S△P1R1R2S△P1R2P2S△P2R2BR1R2AC三等分点S△BCR2S△ABR2根图形面积关系S△ABCS四边形P1P2R2R1数量关系证明结
成绩2图2中连接AQ1Q1P2P2C三角形中线性质S△AQ1P1S△P1Q1P2S△P2Q1Q2S△P2Q2CQ1P2CDAB三等分点知S△ADQ1S△AQ1CS△BCP2S△AP2C出S△ADQ1+S△BCP2S四边形AQ1CP2关系根图形面积关系S四边形ABCDS四边形P1Q1Q2P2等量关系
成绩3图3中次设四边形面积S1S2S3S4S5成绩2结推出2S2S1+S32S3S2+S42S4S3+S5三式相加S2+S4S1+S5利换元法求S1+S2+S3+S4+S5S3数量关系已知S四边形ABCD1求S四边形P2Q2Q3P3
成绩4图4中成绩2结知2S2S1+S32S3S2+S4两式相加S1S2S3S4等量关系．
解答：
解：成绩1证明：
图1连接P1R2R2B△AP1R2中∵P1R1中线∴S△AP1R1S△P1R1R2
理S△P1R2P2S△P2R2B
∴S△P1R1R2+S△P1R2P2S△ABR2S四边形P1P2R2R1
R1R2AC三等分点知S△BCR2S△ABR2
∴S△ABCS△BCR2+S△ABR2S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R13S四边形P1P2R2R1
∴S四边形P1P2R2R1S△ABC
成绩2S四边形ABCD3S四边形P1Q1Q2P2．
理：图2连接AQ1Q1P2P2C△AQ1P2中∵Q1P1中线
∴S△AQ1P1S△P1Q1P2理S△P2Q1Q2S△P2Q2C
∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2S四边形AQ1CP2S四边形P1Q1Q2P2
Q1P2CDAB三等分点知S△ADQ1S△AQ1CS△BCP2S△AP2C
∴S△ADQ1+S△BCP2（S△AQ1C+S△AP2C）S四边形AQ1CP2
∴S四边形ABCDS△ADC+S△ABCS四边形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP23S四边形P1Q1Q2P2
S四边形ABCD3S四边形P1Q1Q2P2
成绩3解：
图3成绩2结知3S2S1+S2+S32S2S1+S3理2S3S2+S42S4S3+S5
三式相加S2+S4S1+S5
∴S1+S2+S3+S4+S52（S2+S4）+S32×2S3+S35S3
S四边形P2Q2Q3P3S四边形ABCD
成绩4图4关系式：S2+S3S1+S4．
点评：
题考查三角形面积成绩．关键利三角形中线三角形分面积相等两三角形性质进行推理．
60．（2011•乐山）图直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCDDE垂直分AB求∠B度数．
考点：
线段垂直分线性质三角形角定理角分线性质．版权切
专题：
计算题．
分析：
根DE垂直分AB求证∠DAE∠B利角分线性质三角形角定理求∠B度数．
解答：
解：∵直角△ABC中∠C90°∠CAB分线AD交BCD
∴∠DAE∠CAB（90°﹣∠B）
∵DE垂直分AB
∴ADBD
∴∠DAE∠B
∴∠DAE∠CAB（90°﹣∠B）∠B
∴3∠B90°
∴∠B30°．
答：DE垂直分AB∠B度数30°．
点评：
题题考查知识点线段垂直分线性质角分线性质三角形角定理等知识点较简单合适先生训练．
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