初中数学概念认知力培养
数学概念认知力培养教学中位作
学生学数学门科学知识教师注重加强学生数学概念认知力培养数学概念数学科学中基础重知识学数学知识起点正确理解领会概念学数学前提条件发展学生智力培养学生思维力提高学生素质缺少环数学认知结构解题力高低数学认知力优劣数学概念掌握情况关加强数学概念教学教师必须高度重视关系学生否学数学关键
二认知数学概念培养方式
概念脑客观事物质属性种反映形式长期实践活动中智慧结晶整教学程积累知识点数学思维重起点数学概念教学学生概念认知力培养密切联系中学数学里包含着量数学概念利恰方法引入概念学生意义获概念意识通概念获程利发展纳推理力相灌输方式教授概念模式言产生更教学效果认知数学概念途径致包括种：
（） 展现生活实例提取现实模型
中学中许数学概念现实生活中找应影子类数学概念实际生活中引入应数学概念助学生客观现实模型数学知识间进行融合加强数学概念认知力动性：现实生活存着温度零零少度说法类具相反关系量引进正数负数互相反数数学概念生活中许应关系身高体重关系圆面积半径关系温度时间变化关系等逐渐体会变量间存关系进引入函数概念变换中旋转移称图形分车轮收割机蝴蝶等实物模型中受启发
（二） 旧换新类中差异
类认知事物发展特征般简单复杂特殊般具体抽象程数学概念产生已知相清晰初级概念中时需根新旧概念间逻辑关系采恰方式学生通观察辨析探讨间异反映出学生建立起新概念认知力敏捷性：行四边形基础增加组邻边相等属性菱形概念菱形基础增加角直角属性正方形概念面中数概念种推演新概念认知学分式约分类分数约分通组织引导学生回忆练分数约分导出分式约分概念法等
（三） 历史性数学问题中拓展出数学新概念
数学课堂教学环节里时引入新数学概念时老师会提出难解决问题学生思考学生已知知识中法判断概念教师说说概念正某重历史数学问题源举出例子学生判断属新概念终总结出新概念特性学生逐步加深概念理解增强学生认识新事物探索性学生相已认知概念言新概念认知力升华：边长1正方形角线长度
法直接数轴表示出教师学生认识理数概念基础进步引进理数概念说明概念产生根源正源第次数学危机举例：0
π
属理数追问理数
直接数轴表示出否间接表示啊
长度确定引导学生想想通圆规工具否做呢样学生理数表示知道辅助工具做概念理解会更加透彻
（四）注重概念间关键词关键字形成潜认知力
构成数学概念质属性通关键词关键字眼理解促进学生概念理解深刻性形成潜认知力例：元次方程概念建立元次方程三概念基础元表示未知数次表示未知数高次数次数整式言元次方程简单整式方程样学生便抓住元次方程质学方程概念基础理次函数二次函数正例函数反例函数关键字眼样类理解潜含义
三抓住数学概念涵外延升华认知力
数学概念认知力初步形成时概念涵外延握认知力形成高级阶段数学概念表里思维扩展认知阶段程中学生学数学概念准确性严谨性认知力培养关重数学概念涵外延存着反相关系涵越少外延越涵越外延越然数认识数中开始接触数学概念着类生活发展需逐渐引入理数理数实数概念实数中包含然数理数理数显然实数范围然数四边形边角两方种差抽象化学特殊四边形概念类结构 唯组边行+四边形→梯形两组边行+四边形→行四边形 继续抽象特殊化组边相等+梯形→等腰梯形直角+梯形→直角梯形直角+行四边形→矩形邻边相等+行四边形→菱形直角+邻边相等+行四边形→正方形
构建数四边形基知识结构图重现整章基概念形成变化发展程整章概念系统化层次性实效性利帮助学生架起概念间桥梁形成类结构促进概念迁移辨析提高探索力
数学中数划分概念外延扩程：
正整数零负整数 正分数负分数
整数 分数 数
理数 理数（限循环数理根式）
实数
数学中四边形序出现概念外延收缩程：
四概念认知力培养课堂教学中应
数学概念实质数学语言（文字语言符号语言图形语言）认知理解数学概念认知力培养重环节数学概念语言相互转化力培养研究表明：数学认知力发展更加赖数学表征力发展概念语言认知力数学认知力发展中作进步减弱变非常限数学概念语言相互转化力培养指数学概念中单纯文字语言符号语言图形语言转化
数学概念单纯文字语言符号语言转化关键概念表面文字信息转化符号信息例讲圆关概念时圆初三学生非常熟悉种图形圆概念学生明确圆概念面定点距离等定长点组成图形做圆定点定长需老师图形学生加解释点需老师图形形式展现学生学生更理解透彻圆定义
例讲锐角三角函数教学中学生理解正弦余弦正切余切概念表示两条相应线段实质值值点角终边位置关应角关角确定值唯确定变量角学生更加明白三角函数概念教师助直角三角形三边间关系直观说明概念
表示
余弦函数完整符号仅表示三角函数种类名称果变量角度表示
变量
函数直角三角形中锐角中邻边斜边值果字母y表示函数函数变量间关系次函数二次函数样等式表示写成y
学生明白
整体符号cos没意义
学数学概念目实践学生通实际问题掌握概念升华概念概念获般概念应般学生掌握概念静止动头脑中进行积极思维程仅已知识次形象化具体化学生概念理解更全面更深刻
总概念数学基础知识基础概念学尤重教师学生数学概念认知力培养程中应努力通抓住概念认知力培养基方式涵外延巩固应现实课堂教学中起隐性概念显性化培养学生认知结构力学生建立起整初中数学知识结构图基础达抽象概念学学透进学学活数学目
初中数学综合实践课教学设计建议—三角形首饰盒例
1引言
2011版数学课程标准明确综合实践列入课程容综合实践类问题载体学生参学活动[1]综合实践课程设置目培养学生综合运关知识方法解决实际问题培养学生问题意识应意识创新意识积累学生活动验提高学生解决现实问题力[2]
折纸种充满数学味道艺术惊叹折纸艺术美时否驻足停留深究中数学原理呢精美盒子展开时否关注条条折痕折射出数学线条呢折纸作种趣数学活动学生历做程思考程折纸会帮助学生积累数学活动验研究三角形首饰盒折叠作综合实践课教学素材原
2教学设计
21选材分析
开展综合实践课教学必须合理利教学资源学生体抓住学生兴趣开展教学[3]初中学生奇心强三角形首饰盒激发学生学兴趣
初三学生已相似三角形锐角三角函数提高学生已学知识应特选择三角形首饰盒作堂综合实践课容
22材料准备
三角形首饰盒盒盖盒底组成盒盖盒底分3相部分拼接成学生需准备6张样正方形纸选取边长15cm正方形纸作节课材料
23学情分析
次实践课选材容涉数学知识点授课象定初三学生堂课研究三角形首饰盒展开图分析盒子边长正方形边长关系堂课前学生已掌握盒底盒盖折叠方法堂课重应数学原理解决实际问题培养初中学生抽象逻辑思维
24教学目标分析
教学目标根2011数学课程标准综合实践课标求知识技数学思考问题解决情感态度四维度制定
知识技：根相似三角形锐角三角函数基础知识理解折叠程数学原理
数学思考：通观察盒盖盒底学会提出问题参观察三角形首饰盒展开图应找盒盖盒底边长程中学会独立思考清晰表达想法
问题解决：解决盒子边长正方形边长关系时综合运相似三角形锐角三角函数数学知识解决简单实际问题增强应意识提高实践力
情感态度：折叠计算中体验获成功乐趣锻炼克服困难意志建立信心分享验程中锻炼语言组织表达力
25教学重难点分析
重点：三角形首饰盒展开图折痕分析计算
难点：通折痕计算三角形首饰盒边长正方形纸关系
26教学程设计
1）复回顾
通学生展示作品学生回忆步骤动手操作完成盒盖盒底折叠设计意图实物展示调动学生积极性培养学生动手操作力
盒盖折叠方法回顾
盒底折叠方法回顾：
2） 提出问题
通观察折叠盒盖盒底发现盒盖盒底语言进行表达设计意图学生通观察盒盖盒底发现问题提出问题
3）解决问题
盒盖正盖盒底需折叠盒盖正方形纸张进行裁剪裁剪少宜呢通完成4探究问题寻求问题答案设计意图学生学会联系学数学知识解决简单问题增强应意识
探究问题1：盒底边长正方形纸边长关系 学生盒底展开（方便面叙述计算标示相应字母）盒底展开图示学生通观察盒底展开前展开盒底展开图中找盒底应边长PQ学生通思考发现运三角形相似求PQ边长
解答程：
探究问题2：盒盖边长正方形边长关系
盒盖展开图学生通观察发现盒盖边长HNHNHM+MN
解答程：
问题拓展：HJMG相等
学生通计算发现HJMG相等眼见定实数学定严密计算证明
探究问题3：盒盖盒底关系
盒盖恰盖盒底时兼顾美观精致盒盖边长盒底边长02cm需盒盖边长877cm
探究问题4： 折边长877cm盒盖需正方形纸
通前面探究学生已知盒盖边长正方形边长般关系式设正方形边长a
HN877cm时a1215cm
定正方形纸边长15cm正方形纸边长裁剪1215cm边长1215cm正方形纸折叠盒盖15cm正方形纸折盒底折叠三角形首饰盒精致
4） 折叠操作
通观察学生折叠程发现学生存问题时指导学生互相分享折叠验设计意图学生体验获成功乐趣提高语言表达力
3教学建议
考虑学生折叠程花费太时间建议前节课学折叠盒盖盒底样会避免学生忘记折叠方法浪费时间
综合实践活动中 教师应该真正参学生实践活动中解学生想法 发现学生问题时间限学生折叠操作环节教师没时间予学生指导法深入解学生
综合实践课问题设置浅入深呈梯度推进[4]然节课涉4探究问题环环相扣仅调动学生思考积极性调动学生联系已数学知识解决实际问题应问题更般化增加探究问题5—折叠定盒子时需正方形纸样学生灵活应已数学知识
综合实践课问题解决具灵活性文盒底盒盖边长入手进行计算盒底盒盖高度进行分析计算
参考文献：
[1] 朱桂凤孙仁 数学综合实践课设计思考—节综合实践课教学设计例[J]中学数学杂志2012（6）：3740
[2] 2011版数学课程标准
[3] 黄燕苹李秉彝 折纸数学[M]北京：科学出版社2012
[4] 贾海燕初中数学综合实践课开展研究[J]教育研究2007（12）：449
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数学概念认知力培养教学中位作
学生学数学门科学知识教师注重加强学生数学概念认知力培养数学概念数学科学中基础重知识学数学知识起点正确理解领会概念学数学前提条件发展学生智力培养学生思维力提高学生素质缺少环数学认知结构解题力高低数学认知力优劣数学概念掌握情况关加强数学概念教学教师必须高度重视关系学生否学数学关键
二认知数学概念培养方式
概念脑客观事物质属性种反映形式长期实践活动中智慧结晶整教学程积累知识点数学思维重起点数学概念教学学生概念认知力培养密切联系中学数学里包含着量数学概念利恰方法引入概念学生意义获概念意识通概念获程利发展纳推理力相灌输方式教授概念模式言产生更教学效果认知数学概念途径致包括种：
（） 展现生活实例提取现实模型
中学中许数学概念现实生活中找应影子类数学概念实际生活中引入应数学概念助学生客观现实模型数学知识间进行融合加强数学概念认知力动性：现实生活存着温度零零少度说法类具相反关系量引进正数负数互相反数数学概念生活中许应关系身高体重关系圆面积半径关系温度时间变化关系等逐渐体会变量间存关系进引入函数概念变换中旋转移称图形分车轮收割机蝴蝶等实物模型中受启发
（二） 旧换新类中差异
类认知事物发展特征般简单复杂特殊般具体抽象程数学概念产生已知相清晰初级概念中时需根新旧概念间逻辑关系采恰方式学生通观察辨析探讨间异反映出学生建立起新概念认知力敏捷性：行四边形基础增加组邻边相等属性菱形概念菱形基础增加角直角属性正方形概念面中数概念种推演新概念认知学分式约分类分数约分通组织引导学生回忆练分数约分导出分式约分概念法等
（三） 历史性数学问题中拓展出数学新概念
数学课堂教学环节里时引入新数学概念时老师会提出难解决问题学生思考学生已知知识中法判断概念教师说说概念正某重历史数学问题源举出例子学生判断属新概念终总结出新概念特性学生逐步加深概念理解增强学生认识新事物探索性学生相已认知概念言新概念认知力升华：边长1正方形角线长度
法直接数轴表示出教师学生认识理数概念基础进步引进理数概念说明概念产生根源正源第次数学危机举例：0
π
属理数追问理数
直接数轴表示出否间接表示啊
长度确定引导学生想想通圆规工具否做呢样学生理数表示知道辅助工具做概念理解会更加透彻
（四）注重概念间关键词关键字形成潜认知力
构成数学概念质属性通关键词关键字眼理解促进学生概念理解深刻性形成潜认知力例：元次方程概念建立元次方程三概念基础元表示未知数次表示未知数高次数次数整式言元次方程简单整式方程样学生便抓住元次方程质学方程概念基础理次函数二次函数正例函数反例函数关键字眼样类理解潜含义
三抓住数学概念涵外延升华认知力
数学概念认知力初步形成时概念涵外延握认知力形成高级阶段数学概念表里思维扩展认知阶段程中学生学数学概念准确性严谨性认知力培养关重数学概念涵外延存着反相关系涵越少外延越涵越外延越然数认识数中开始接触数学概念着类生活发展需逐渐引入理数理数实数概念实数中包含然数理数理数显然实数范围然数四边形边角两方种差抽象化学特殊四边形概念类结构 唯组边行+四边形→梯形两组边行+四边形→行四边形 继续抽象特殊化组边相等+梯形→等腰梯形直角+梯形→直角梯形直角+行四边形→矩形邻边相等+行四边形→菱形直角+邻边相等+行四边形→正方形
构建数四边形基知识结构图重现整章基概念形成变化发展程整章概念系统化层次性实效性利帮助学生架起概念间桥梁形成类结构促进概念迁移辨析提高探索力
数学中数划分概念外延扩程：
正整数零负整数 正分数负分数
整数 分数 数
理数 理数（限循环数理根式）
实数
数学中四边形序出现概念外延收缩程：
四概念认知力培养课堂教学中应
数学概念实质数学语言（文字语言符号语言图形语言）认知理解数学概念认知力培养重环节数学概念语言相互转化力培养研究表明：数学认知力发展更加赖数学表征力发展概念语言认知力数学认知力发展中作进步减弱变非常限数学概念语言相互转化力培养指数学概念中单纯文字语言符号语言图形语言转化
数学概念单纯文字语言符号语言转化关键概念表面文字信息转化符号信息例讲圆关概念时圆初三学生非常熟悉种图形圆概念学生明确圆概念面定点距离等定长点组成图形做圆定点定长需老师图形学生加解释点需老师图形形式展现学生学生更理解透彻圆定义
例讲锐角三角函数教学中学生理解正弦余弦正切余切概念表示两条相应线段实质值值点角终边位置关应角关角确定值唯确定变量角学生更加明白三角函数概念教师助直角三角形三边间关系直观说明概念
表示
余弦函数完整符号仅表示三角函数种类名称果变量角度表示
变量
函数直角三角形中锐角中邻边斜边值果字母y表示函数函数变量间关系次函数二次函数样等式表示写成y
学生明白
整体符号cos没意义
学数学概念目实践学生通实际问题掌握概念升华概念概念获般概念应般学生掌握概念静止动头脑中进行积极思维程仅已知识次形象化具体化学生概念理解更全面更深刻
总概念数学基础知识基础概念学尤重教师学生数学概念认知力培养程中应努力通抓住概念认知力培养基方式涵外延巩固应现实课堂教学中起隐性概念显性化培养学生认知结构力学生建立起整初中数学知识结构图基础达抽象概念学学透进学学活数学目
初中数学综合实践课教学设计建议—三角形首饰盒例
1引言
2011版数学课程标准明确综合实践列入课程容综合实践类问题载体学生参学活动[1]综合实践课程设置目培养学生综合运关知识方法解决实际问题培养学生问题意识应意识创新意识积累学生活动验提高学生解决现实问题力[2]
折纸种充满数学味道艺术惊叹折纸艺术美时否驻足停留深究中数学原理呢精美盒子展开时否关注条条折痕折射出数学线条呢折纸作种趣数学活动学生历做程思考程折纸会帮助学生积累数学活动验研究三角形首饰盒折叠作综合实践课教学素材原
2教学设计
21选材分析
开展综合实践课教学必须合理利教学资源学生体抓住学生兴趣开展教学[3]初中学生奇心强三角形首饰盒激发学生学兴趣
初三学生已相似三角形锐角三角函数提高学生已学知识应特选择三角形首饰盒作堂综合实践课容
22材料准备
三角形首饰盒盒盖盒底组成盒盖盒底分3相部分拼接成学生需准备6张样正方形纸选取边长15cm正方形纸作节课材料
23学情分析
次实践课选材容涉数学知识点授课象定初三学生堂课研究三角形首饰盒展开图分析盒子边长正方形边长关系堂课前学生已掌握盒底盒盖折叠方法堂课重应数学原理解决实际问题培养初中学生抽象逻辑思维
24教学目标分析
教学目标根2011数学课程标准综合实践课标求知识技数学思考问题解决情感态度四维度制定
知识技：根相似三角形锐角三角函数基础知识理解折叠程数学原理
数学思考：通观察盒盖盒底学会提出问题参观察三角形首饰盒展开图应找盒盖盒底边长程中学会独立思考清晰表达想法
问题解决：解决盒子边长正方形边长关系时综合运相似三角形锐角三角函数数学知识解决简单实际问题增强应意识提高实践力
情感态度：折叠计算中体验获成功乐趣锻炼克服困难意志建立信心分享验程中锻炼语言组织表达力
25教学重难点分析
重点：三角形首饰盒展开图折痕分析计算
难点：通折痕计算三角形首饰盒边长正方形纸关系
26教学程设计
1）复回顾
通学生展示作品学生回忆步骤动手操作完成盒盖盒底折叠设计意图实物展示调动学生积极性培养学生动手操作力
盒盖折叠方法回顾
盒底折叠方法回顾：
2） 提出问题
通观察折叠盒盖盒底发现盒盖盒底语言进行表达设计意图学生通观察盒盖盒底发现问题提出问题
3）解决问题
盒盖正盖盒底需折叠盒盖正方形纸张进行裁剪裁剪少宜呢通完成4探究问题寻求问题答案设计意图学生学会联系学数学知识解决简单问题增强应意识
探究问题1：盒底边长正方形纸边长关系 学生盒底展开（方便面叙述计算标示相应字母）盒底展开图示学生通观察盒底展开前展开盒底展开图中找盒底应边长PQ学生通思考发现运三角形相似求PQ边长
解答程：
探究问题2：盒盖边长正方形边长关系
盒盖展开图学生通观察发现盒盖边长HNHNHM+MN
解答程：
问题拓展：HJMG相等
学生通计算发现HJMG相等眼见定实数学定严密计算证明
探究问题3：盒盖盒底关系
盒盖恰盖盒底时兼顾美观精致盒盖边长盒底边长02cm需盒盖边长877cm
探究问题4： 折边长877cm盒盖需正方形纸
通前面探究学生已知盒盖边长正方形边长般关系式设正方形边长a
HN877cm时a1215cm
定正方形纸边长15cm正方形纸边长裁剪1215cm边长1215cm正方形纸折叠盒盖15cm正方形纸折盒底折叠三角形首饰盒精致
4） 折叠操作
通观察学生折叠程发现学生存问题时指导学生互相分享折叠验设计意图学生体验获成功乐趣提高语言表达力
3教学建议
考虑学生折叠程花费太时间建议前节课学折叠盒盖盒底样会避免学生忘记折叠方法浪费时间
综合实践活动中 教师应该真正参学生实践活动中解学生想法 发现学生问题时间限学生折叠操作环节教师没时间予学生指导法深入解学生
综合实践课问题设置浅入深呈梯度推进[4]然节课涉4探究问题环环相扣仅调动学生思考积极性调动学生联系已数学知识解决实际问题应问题更般化增加探究问题5—折叠定盒子时需正方形纸样学生灵活应已数学知识
综合实践课问题解决具灵活性文盒底盒盖边长入手进行计算盒底盒盖高度进行分析计算
参考文献：
[1] 朱桂凤孙仁 数学综合实践课设计思考—节综合实践课教学设计例[J]中学数学杂志2012（6）：3740
[2] 2011版数学课程标准
[3] 黄燕苹李秉彝 折纸数学[M]北京：科学出版社2012
[4] 贾海燕初中数学综合实践课开展研究[J]教育研究2007（12）：449
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