利实际问题直方图解正态分布曲线特点曲线表示意义
正态曲线
1．正态曲线定义
函数中实数μσ(σ>0)参数称图象正态分布密度曲线简称正态曲线(μ正态分布期σ正态分布标准差)．
2．正态曲线特点
①曲线位轴方x轴相交
②曲线单峰关直线称
③曲线处达峰值
④曲线x轴间面积1
⑤定时曲线位置μ确定曲线着μ变化x轴移
⑥μ定时曲线形状确定越曲线越瘦高表示总体分布越集中越曲线越矮胖表示总体分布越分散．
二正态分布
1．正态分布定义表示
果实数机变量X满足(xaxb正态曲线x轴围成曲边梯形面积)称机变量X服正态分布记作．
2．正态分布三常数
①
②
③
注
考 正态分布
关正态分布某区间取值概率求法：
(1)熟记值．
(2)正态曲线关直线称关称区间概率相．
(3)
(4)X服正态分布充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
典例1 已知机变量服正态分布
A．06827 B．08522
C．09544 D．09772
答案C
解析机变量服正态分布图象关直线称
选C
名师点睛题考查正态分布关键正态分布曲线理解掌握基础题利正态分布称性结合已知求然求解
1．设两正态分布密度函数图象图示
A． B．
C． D．
2．已知机变量ξ服正态分布
A．06 B．04
C．03 D．02
考二 正态分布应
正态分布应年新课标高考中时常出现考查正态曲线性质(特称性)常选择题填空题形式出现难度较时会概率统计结合解答题中考查．
典例2 假设天甲乙旅客数X服正态分布机变量．记天中甲乙旅客数超900概率值
(参考数： )
A．09544 B．06826
C．09974 D．09772
答案D
解析机变量X服正态分布μ800σ50正态分布称性
3．已知某厂生产电子产品寿命（单位：时）服正态分布．
（1）现该厂机抽取件产品求寿命概率
（2）现该厂机抽取3件产品记抽3件产品寿命件数求分布列数学期．
1．机变量服正态分布
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知机变量
A． B．
C． D．
3．已知机变量服正态分布等
A． B．
C． D．
4．已知三正态分布密度函数（）图象图示
A． B．
C． D．
5．某商场营某种包装米质量ξ（单位：kg）服正态分布N（10σ2）根检测结果知P（99≤ξ≤101）＝096某公司位职工购买袋种包装米作福利该公司1000名职工分发米质量99 kg职工数约
A．10 B．20
C．30 D．40
6．已知机变量～正态分布密度曲线图示正方形中机投掷10000点落入阴影部分点数估计值
附：机变量～
A．6038 B．6587
C．7028 D．7539
7．国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会届时冬奥会高山速降运动速度激情完美展现某选手速度服正态分布概率速度低概率
A．005 B．01
C．015 D．02
8．设机变量服正态分布函数没极值点概率
A． B．
C． D．
9．已知机变量服正态分布机变量
A．03413 B．03174
C．01587 D．01586
10．机变量服正态分布
设__________
11．解某区高三男生身体发育状况抽查该区1000名年龄175岁19岁高三男生体重情况抽查结果表明体重X(kg)服正态分布N(μ22)正态分布密度曲线图示体重585 kg等625 kg属正常情况1000名男生中属正常情况数约__________
（附：机变量服正态分布）
12．某校举行次数学竞赛中全体参赛学生竞赛成绩X似服正态分布N（70100）．已知成绩90分（含90分）学生16名．
（1）试问次参赛学生总数约少
（2）该校计划奖励竞赛成绩80分（含80分）学生试问次竞赛获奖励学生约少
附：
13．某企业某种产品中抽取500件测量产品项质量指标值测量结果频率分布直方图：
（1）求500件产品质量指标值样均数样方差（组数该区间中点值作代表）
（2）频率分布直方图认种产品质量指标值Z服正态分布中似样均数似样方差．
（i）利该正态分布求
（ii）某户该企业购买100件种产品记X表示100件产品中质量指标值位区间产品件数利（i）结果求E（X）．
附：．
．
14．某食品店解气温销售量影响机记录该店11月份中5天日销售量（单位：千克）该日低气温（单位：）数表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
（1）求出回方程
（2）判断间正相关负相关该11月份某天低气温请求回方程预测该店日销售量
（3）设该11月份日低气温～中似样均数似样方差求
附：①回方程中
②～
15．评估设备生产某种零件性设备生产零件流水线机抽取100件零件作样测量直径整理表：
直径mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
计算样均值标准差频率值作概率估计值
（1）评判台设备性该设备加工零件中意抽取件记直径根等式进行评判（表示相应事件概率）
①②
③
评判规：时满足述三等式设备等级甲仅满足中两等级乙仅满足中等级丙全部满足等级丁试判断设备性等级
（2）直径等直径零件认次品
（ⅰ）设备生产流水线意抽取2件零件计算中次品数数学期
（ⅱ）样中意抽取2件零件计算中次品数数学期
1．(2015年高考湖北卷)设两正态分布密度曲线图示．列结中正确
A． B．
C．意正数 D．意正数
2．（2015年高考山东卷）已知某批零件长度误差（单位：毫米）服正态分布中机取件长度误差落区间（36）概率
（附：机变量ξ服正态分布
）
A．456 B．1359
C．2718 D．3174
3．(2015年高考湖南卷)图示正方形中机投掷点落入阴影部分(曲线C正态分布密度曲线)点数估计值
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
附：X~N(μσ2)
4．(2017年高考新课标Ⅰ卷)监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995 1012 996 996 1001 992 998 1004
1026 991 1013 1002 922 1004 1005 995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
变式拓展
1．答案A
解析正态分布N(μσ2)性质知xμ正态分布密度函数图象称轴μ1<μ2σ越图象越高瘦σ1<σ2 @#网
名师点评熟练掌握正态密度曲线性质解决正态分布问题关键．
2．答案C
名师点睛关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记P(μ－σ②充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
3．答案（1）（2）分布列见解析期．
解析（1）～正态分布．
∴．
该厂机抽取件产品寿命概率．
数学期：．
思路点拨（1）X～N（1000σ2）P（X≤800）01P（X≥1300）002P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）P（X≥1200）P（X≤800）出P（1200≤X＜1300）
（2）（1）P（800＜X＜1200）1﹣2P（X≤800）Y～B(3 )P（Yk）（k0123）出．
名师点睛求解离散型机变量数学期般步骤：
第步判断取值判断机变量取值取值表示意义
第二步探求概率利排列组合枚举法概率公式求出机变量取值时概率
第三步写分布列规范形式写出分布列注意分布列性质检验求分布列某事件概率否正确
第四步求期值般利离散型机变量数学期定义求期值实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布机变量期直接利种典型分布期公式求
考点关
1．答案B
名师点睛题考查正态分布正态曲线性质直接根正态曲线称性求解属中档题正态曲线常见性质： 学#
（1）正态曲线关称越图象越右边越图象越左边
（2）边越图象越痩长边越图象越矮胖
（3）正态分布区间概率关称
2．答案B
解析正态分布称性知题选B
3．答案A
解析机变量ξ服正态分布N（μσ2）P（）P（）015μ3
P（）1﹣P（）﹣P（）1﹣015﹣015070
∴P（）P（）035．
答案A．
名师点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义考查正态分布中两量μσ应考查曲线称性属基础题．已知P（）1﹣P（）﹣P（）070称性P（）值．
4．答案D
解析正态分布密度曲线关直线称处取峰值图
选D
5．答案B
名师点睛题考查正态曲线特点曲线表示意义基础题解题关键考试成绩ξ关直线x10称利称写出频数题目解．根米质量ξ服正态分布N（10σ2）米质量ξ关直线x10称根P（99≤ξ≤101）096P（ξ＜99）002根频率样容量分发米质量99 kg职工数．
6．答案B
解析题意落入阴影部分概率落入阴影部分点数估计值
选B
7．答案C
解析题意μ100P（80＜ξ＜120）07
P（ξ≤80ξ≥120）1﹣P（80＜ξ＜120）1﹣0703．
∴P（ξ≥120）P（ξ≤80ξ≥120）015速度低120概率015．
选C．
名师点睛根正态分布定义求出P（ξ≤80ξ≥120）概率2答案．关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记P(μ－σ②充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
8．答案C
解析相异实根函数没极值点概率
选C
9．答案C
名师点睛题考查正态分布性质解题关键掌握正态分布称性属基础题利正态分布称性结合题意求结果 学……
10．答案
解析
答案
11．答案683
解析题意P（585＜X＜625）0683
∴1000名男生中属正常情况数约1000×0683≈683
答案683．
名师点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义考查正态曲线称性基础题．题意P（585＜X＜625）0683出1000名男生中属正常情况数．
12．答案（1）696（2）110
解析题知参赛学生成绩X
（）．
次参赛学生总数约696．
（2）
（）．
次竞赛获奖励学生约110．
思路分析（1）题意首先确定正态分布中值然结合正态分布性质求解参赛数
（2）利（1）结结合正态分布图象称性确定需奖励学生数．
13．答案（1）200150（2）（i）06826（ii）6826
方法点晴题考查离散型机变量期方差正态分布应中解答涉离散型机变量期方差公式计算正态分布曲线概率计算等知识点综合考查着重考查分析问题解答问题力推理运算力属中档试题解答中正确准确计算解问题关键
（1）利离散型机变量期方差公式求解样均数样方差
（2）（i）（1）知求出注意运数
（ii）（i）知运求
14．答案（1）（2）956（）千克（3）
解析（1）∵
名师点睛（1）回分析具相关关系两变量进行统计分析方法散点图致呈线性时求出线性回方程实际意义否求出线性回方程毫意义．根回方程进行预报仅预报值真实发生值． 学……
（2）关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记值．
②充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
15．答案（1）见解析（2）（i）（ⅱ）
解析（1）题意知：
图表知道：
名师点睛题考查正态分布中3原简单应概率分布分布列数学期简单计算属中档题
（1）根3原分求应概率进判断出M性级
（2）（i）通题意知样中6件次品知M生产次品率006通二项分布概率分布求次品数学期
（ii）通题意知100件样品中意抽取2件次品数取值012分求概率利期公式解
直通高考
1．答案C
解析正态密度曲线性质知密度曲线分关称结合图象密度曲线较密度曲线瘦高意正数
2．答案B
解析表示零件长度根正态分布性质：
选B
3．答案C
解析题意设落入阴影部分点数nPn3 413选C
4．答案（1）（2）（i）见解析（ii）需天生产程进行检查估计值1002估计值 网
剔外数922剩数样方差
估计值
名师点睛数学期离散型机变量中重数学概念反映机变量取值均水求解离散型机变量分布列数学期时首先分清事件构成性质确定离散型机变量取值然根概率类型选择公式计算变量取值概率列出应分布列求出数学期正态分布种重分布前考次尤正态分布原
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利实际问题直方图解正态分布曲线特点曲线表示意义
正态曲线
1．正态曲线定义
函数中实数μσ(σ>0)参数称图象正态分布密度曲线简称正态曲线(μ正态分布期σ正态分布标准差)．
2．正态曲线特点
①曲线位轴方x轴相交
②曲线单峰关直线称
③曲线处达峰值
④曲线x轴间面积1
⑤定时曲线位置μ确定曲线着μ变化x轴移
⑥μ定时曲线形状确定越曲线越瘦高表示总体分布越集中越曲线越矮胖表示总体分布越分散．
二正态分布
1．正态分布定义表示
果实数机变量X满足(xaxb正态曲线x轴围成曲边梯形面积)称机变量X服正态分布记作．
2．正态分布三常数
①
②
③
注
考 正态分布
关正态分布某区间取值概率求法：
(1)熟记值．
(2)正态曲线关直线称关称区间概率相．
(3)
(4)X服正态分布充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
典例1 已知机变量服正态分布
A．06827 B．08522
C．09544 D．09772
答案C
解析机变量服正态分布图象关直线称
选C
名师点睛题考查正态分布关键正态分布曲线理解掌握基础题利正态分布称性结合已知求然求解
1．设两正态分布密度函数图象图示
A． B．
C． D．
2．已知机变量ξ服正态分布
A．06 B．04
C．03 D．02
考二 正态分布应
正态分布应年新课标高考中时常出现考查正态曲线性质(特称性)常选择题填空题形式出现难度较时会概率统计结合解答题中考查．
典例2 假设天甲乙旅客数X服正态分布机变量．记天中甲乙旅客数超900概率值
(参考数： )
A．09544 B．06826
C．09974 D．09772
答案D
解析机变量X服正态分布μ800σ50正态分布称性
3．已知某厂生产电子产品寿命（单位：时）服正态分布．
（1）现该厂机抽取件产品求寿命概率
（2）现该厂机抽取3件产品记抽3件产品寿命件数求分布列数学期．
1．机变量服正态分布
A．3 B．4
C．5 D．6
2．已知机变量
A． B．
C． D．
3．已知机变量服正态分布等
A． B．
C． D．
4．已知三正态分布密度函数（）图象图示
A． B．
C． D．
5．某商场营某种包装米质量ξ（单位：kg）服正态分布N（10σ2）根检测结果知P（99≤ξ≤101）＝096某公司位职工购买袋种包装米作福利该公司1000名职工分发米质量99 kg职工数约
A．10 B．20
C．30 D．40
6．已知机变量～正态分布密度曲线图示正方形中机投掷10000点落入阴影部分点数估计值
附：机变量～
A．6038 B．6587
C．7028 D．7539
7．国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会届时冬奥会高山速降运动速度激情完美展现某选手速度服正态分布概率速度低概率
A．005 B．01
C．015 D．02
8．设机变量服正态分布函数没极值点概率
A． B．
C． D．
9．已知机变量服正态分布机变量
A．03413 B．03174
C．01587 D．01586
10．机变量服正态分布
设__________
11．解某区高三男生身体发育状况抽查该区1000名年龄175岁19岁高三男生体重情况抽查结果表明体重X(kg)服正态分布N(μ22)正态分布密度曲线图示体重585 kg等625 kg属正常情况1000名男生中属正常情况数约__________
（附：机变量服正态分布）
12．某校举行次数学竞赛中全体参赛学生竞赛成绩X似服正态分布N（70100）．已知成绩90分（含90分）学生16名．
（1）试问次参赛学生总数约少
（2）该校计划奖励竞赛成绩80分（含80分）学生试问次竞赛获奖励学生约少
附：
13．某企业某种产品中抽取500件测量产品项质量指标值测量结果频率分布直方图：
（1）求500件产品质量指标值样均数样方差（组数该区间中点值作代表）
（2）频率分布直方图认种产品质量指标值Z服正态分布中似样均数似样方差．
（i）利该正态分布求
（ii）某户该企业购买100件种产品记X表示100件产品中质量指标值位区间产品件数利（i）结果求E（X）．
附：．
．
14．某食品店解气温销售量影响机记录该店11月份中5天日销售量（单位：千克）该日低气温（单位：）数表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
（1）求出回方程
（2）判断间正相关负相关该11月份某天低气温请求回方程预测该店日销售量
（3）设该11月份日低气温～中似样均数似样方差求
附：①回方程中
②～
15．评估设备生产某种零件性设备生产零件流水线机抽取100件零件作样测量直径整理表：
直径mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
计算样均值标准差频率值作概率估计值
（1）评判台设备性该设备加工零件中意抽取件记直径根等式进行评判（表示相应事件概率）
①②
③
评判规：时满足述三等式设备等级甲仅满足中两等级乙仅满足中等级丙全部满足等级丁试判断设备性等级
（2）直径等直径零件认次品
（ⅰ）设备生产流水线意抽取2件零件计算中次品数数学期
（ⅱ）样中意抽取2件零件计算中次品数数学期
1．(2015年高考湖北卷)设两正态分布密度曲线图示．列结中正确
A． B．
C．意正数 D．意正数
2．（2015年高考山东卷）已知某批零件长度误差（单位：毫米）服正态分布中机取件长度误差落区间（36）概率
（附：机变量ξ服正态分布
）
A．456 B．1359
C．2718 D．3174
3．(2015年高考湖南卷)图示正方形中机投掷点落入阴影部分(曲线C正态分布密度曲线)点数估计值
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
附：X~N(μσ2)
4．(2017年高考新课标Ⅰ卷)监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸外零件数求数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995 1012 996 996 1001 992 998 1004
1026 991 1013 1002 922 1004 1005 995
计算中抽取第零件尺寸．
样均数作估计值样标准差作估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔外数剩数估计（精确001）．
附：机变量服正态分布
．
变式拓展
1．答案A
解析正态分布N(μσ2)性质知xμ正态分布密度函数图象称轴μ1<μ2σ越图象越高瘦σ1<σ2 @#网
名师点评熟练掌握正态密度曲线性质解决正态分布问题关键．
2．答案C
名师点睛关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记P(μ－σ
3．答案（1）（2）分布列见解析期．
解析（1）～正态分布．
∴．
该厂机抽取件产品寿命概率．
数学期：．
思路点拨（1）X～N（1000σ2）P（X≤800）01P（X≥1300）002P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）P（X≥1200）P（X≤800）出P（1200≤X＜1300）
（2）（1）P（800＜X＜1200）1﹣2P（X≤800）Y～B(3 )P（Yk）（k0123）出．
名师点睛求解离散型机变量数学期般步骤：
第步判断取值判断机变量取值取值表示意义
第二步探求概率利排列组合枚举法概率公式求出机变量取值时概率
第三步写分布列规范形式写出分布列注意分布列性质检验求分布列某事件概率否正确
第四步求期值般利离散型机变量数学期定义求期值实际问题中机变量果够断定服某常见典型分布机变量期直接利种典型分布期公式求
考点关
1．答案B
名师点睛题考查正态分布正态曲线性质直接根正态曲线称性求解属中档题正态曲线常见性质： 学#
（1）正态曲线关称越图象越右边越图象越左边
（2）边越图象越痩长边越图象越矮胖
（3）正态分布区间概率关称
2．答案B
解析正态分布称性知题选B
3．答案A
解析机变量ξ服正态分布N（μσ2）P（）P（）015μ3
P（）1﹣P（）﹣P（）1﹣015﹣015070
∴P（）P（）035．
答案A．
名师点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义考查正态分布中两量μσ应考查曲线称性属基础题．已知P（）1﹣P（）﹣P（）070称性P（）值．
4．答案D
解析正态分布密度曲线关直线称处取峰值图
选D
5．答案B
名师点睛题考查正态曲线特点曲线表示意义基础题解题关键考试成绩ξ关直线x10称利称写出频数题目解．根米质量ξ服正态分布N（10σ2）米质量ξ关直线x10称根P（99≤ξ≤101）096P（ξ＜99）002根频率样容量分发米质量99 kg职工数．
6．答案B
解析题意落入阴影部分概率落入阴影部分点数估计值
选B
7．答案C
解析题意μ100P（80＜ξ＜120）07
P（ξ≤80ξ≥120）1﹣P（80＜ξ＜120）1﹣0703．
∴P（ξ≥120）P（ξ≤80ξ≥120）015速度低120概率015．
选C．
名师点睛根正态分布定义求出P（ξ≤80ξ≥120）概率2答案．关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记P(μ－σ
8．答案C
解析相异实根函数没极值点概率
选C
9．答案C
名师点睛题考查正态分布性质解题关键掌握正态分布称性属基础题利正态分布称性结合题意求结果 学……
10．答案
解析
答案
11．答案683
解析题意P（585＜X＜625）0683
∴1000名男生中属正常情况数约1000×0683≈683
答案683．
名师点睛题考查正态分布曲线特点曲线表示意义考查正态曲线称性基础题．题意P（585＜X＜625）0683出1000名男生中属正常情况数．
12．答案（1）696（2）110
解析题知参赛学生成绩X
（）．
次参赛学生总数约696．
（2）
（）．
次竞赛获奖励学生约110．
思路分析（1）题意首先确定正态分布中值然结合正态分布性质求解参赛数
（2）利（1）结结合正态分布图象称性确定需奖励学生数．
13．答案（1）200150（2）（i）06826（ii）6826
方法点晴题考查离散型机变量期方差正态分布应中解答涉离散型机变量期方差公式计算正态分布曲线概率计算等知识点综合考查着重考查分析问题解答问题力推理运算力属中档试题解答中正确准确计算解问题关键
（1）利离散型机变量期方差公式求解样均数样方差
（2）（i）（1）知求出注意运数
（ii）（i）知运求
14．答案（1）（2）956（）千克（3）
解析（1）∵
名师点睛（1）回分析具相关关系两变量进行统计分析方法散点图致呈线性时求出线性回方程实际意义否求出线性回方程毫意义．根回方程进行预报仅预报值真实发生值． 学……
（2）关正态曲线某区间取值概率求法：
①熟记值．
②充分利正态曲线称性曲线x轴间面积1
15．答案（1）见解析（2）（i）（ⅱ）
解析（1）题意知：
图表知道：
名师点睛题考查正态分布中3原简单应概率分布分布列数学期简单计算属中档题
（1）根3原分求应概率进判断出M性级
（2）（i）通题意知样中6件次品知M生产次品率006通二项分布概率分布求次品数学期
（ii）通题意知100件样品中意抽取2件次品数取值012分求概率利期公式解
直通高考
1．答案C
解析正态密度曲线性质知密度曲线分关称结合图象密度曲线较密度曲线瘦高意正数
2．答案B
解析表示零件长度根正态分布性质：
选B
3．答案C
解析题意设落入阴影部分点数nPn3 413选C
4．答案（1）（2）（i）见解析（ii）需天生产程进行检查估计值1002估计值 网
剔外数922剩数样方差
估计值
名师点睛数学期离散型机变量中重数学概念反映机变量取值均水求解离散型机变量分布列数学期时首先分清事件构成性质确定离散型机变量取值然根概率类型选择公式计算变量取值概率列出应分布列求出数学期正态分布种重分布前考次尤正态分布原
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